13.1 Le théorème de convergence dominée

(1)

Chapitre 13

Intégrales à paramètres

13.1 Le théorème de convergence dominée

13.1.1 La question : passage à la limite dans une intégrale

Contrairement à ce qui se passe pour des intégrales sur un segment, le passage à la limite, même s'il y a convergence uniforme pose problème :

(fn)n suite de fonctions intégrables surI (fn)n converge uniformément versf surI

f intégrable surI







;lim

n

Z

I

f_n= Z

I

limn f_n = Z

I

f

Par exemple, soitI= [0,+∞[et pourn>1,f_n:x→

1/n sur[0, n]

0 pour x > n Sup

I

|fn|= 1

n donc(fn)n converge uniformément vers la fonction nulle surI.

Z +∞

0

f_n= Z n

0

1

n = 1alors queZ +∞

0

lim

n f_n= Z +∞

0

0 = 0

13.1.2 Le théorème de convergence dominée

Théorème 13.1.1 .

• (fn)n∈N suite de fonctions continues par morceaux surI

• (fn)n∈N converge simplement surI vers une fonction f continue par morceaux sur I

• ∃ϕ:I→R+ intégrable sur I tq∀n, |fn|6ϕ











=⇒







• les fonctions fn etf sont intégrables sur I

• lim

n

Z

I

f_n = Z

I

f = Z

I

limn f_n Démonstration hors programme

Remarque 13.1.2 ϕdoit être intégrable surI, doit majorer toutes les fonctions|f_n|et ne doit pas dépendre den.

Cette hypothèse est ce qu'on appelle l'hypothèse de DOMINATION 163

(2)

164 CHAPITRE 13. INTÉGRALES À PARAMÈTRES

Exemple 13.1.3 Déterminerlim

n

Z 1 0

dt 1−nln(t) Exemple 13.1.4 Déterminerlim

n

Z +∞

0

e^−t³^−nt²dt. Exemple 13.1.5

On considère les fonctionsfn:







[0,+∞[ →R

t →

1 + t²

n −n.

1. Montrer que lim

n

Z +∞

0

fn(t)dt= Z +∞

0

e^−t²dt 2. Montrer que Z +∞

0

f_n(t)dt=√ n

Z π/2 0

cos²ⁿ⁻²(t)dt. 3. Posonswn=

Z Π/2 0

cosⁿ(t)dt. Déterminer une relation liantwn àw_n−2 (n>2) En déduire un équivalent de w_n

4. Donner la valeur de Z +∞

0

e^−t²dt

Exemple 13.1.6 Déterminerlim

n

Z +∞

0

dx xⁿ+ 1

Remarque 13.1.7 Si I est borné, une fonction constante peut jouer le rôle de la fonction do- minante

Remarque 13.1.8 L'hypothèse de continuité par morceaux de f n'a pas autant d'importance que l'hypothèse de domination. Cette dernière devra être justiée avec le plus grand soin.

13.1.3 Extension au cas d'une famille à paramètre réel

Théorème 13.1.9 SoitJ un intervalle deRetλ0∈J.

• (f_λ)_λ∈J une famille de fonctions continues par morceaux sur I

• ∀x∈I, f_λ(x)a une limite nie quand λtend vers λ₀, limite notéef(x)

• f ainsi dénie est continue par morceaux sur I

• ∃ϕ∈ CM(I,R⁺)tqϕest intégrable surI et∀λ∈J, |fλ|6ϕ











=⇒











• ∀λ∈J, fλ est intégrable sur I

• f est intégrable surI

• lim

λ→λ0

Z

I

fλ= Z

I λ→λlim0

fλ= Z

I

f

Car ...

Exemple 13.1.10 Soit, pourλ∈R^∗+, fλ:x→

((1−λx)^1/λ si06x <1/λ

0 six>1/λ .

Déterminer lim

λ→0

Z +∞

0

fλ(x)dx

(3)

13.1.4 Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Théorème 13.1.11 Soit (fn)n∈N une suite de fonctions à valeurs dansRouC(notéK), dé- nies sur un intervalleI

• ∀n, fn∈L¹(I,K)

• X

fn CV simplement surI vers une fonctionS continue par morceaux sur I

• XZ

I

|f_n| converge











=⇒







• S est intégrable surI

• Z

I

S = Z

I +∞

X

n=0

fn =

+∞

X

n=0

Z

I

fn

Démonstration hors programme.

Remarque 13.1.12 ATTENTION : Il y a ici une hypothèse de plus que pour les suites : il faut que les fonctionsfn soient intégrables sur I

Remarque 13.1.13 L'hypothèse de domination est remplacée ici par : la série numériqueXZ

I

|fn| converge

Exemple 13.1.14 Montrons queZ +∞

0 +∞

X

n=1

t²e^−ntdt=

+∞

X

n=1

2 n³

Exemple 13.1.15 Montrons queZ 1 0

ln(t) 1 +t²dt=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹ (2n+ 1)² Exemple 13.1.16 Que peut-il se passer si l'hypothèseXZ

I

|fn| converge n'est pas satisfaite ? Exemple de la suite de fonction (fn)n>1 oùfn:x→e^−nx−2e^−2nx sur I=]0,+∞[.

Remarque 13.1.17 L'hypothèse XZ

I

|f_n| converge est fondamentale

L'hypothèse de continuité par morceaux de la somme, imposée par les limitations du programme n'a pas la même importance. On la vériera quand même (ou au pire, on la mentionnera)

13.1.5 Autres possibilités pour intégrer terme à terme une série de fonctions

Théorème 13.1.18 Cas où I est un segment (rappel) (fn)n∈N∈ C(I,R)avec I= [a, b] segment.

Xfn CVU sur[a, b] =⇒ Z b

a +∞

X

n=0

fn(x)

! dx=

+∞

X

n=0

Z b a

fn(x)dx

!

Que faire si I n'est pas un segment et XZ

I

|fn| diverge ?

On peut encore essayer d'utiliser le théorème de convergence dominée appliqué à la suite des sommes partielles, ou à la suite des restes.

(4)

Exemple 13.1.19 Montrons queZ +∞

0

+∞

X

n=1

(−1)ⁿe^−nt

! dt=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n

13.2 Limite et continuité

Dans toute la suite,E est un evn de dimension nie (le plus souvent,E=RouC) etA⊂E, Iintervalle deR.

13.2.1 Continuité par domination

Théorème 13.2.1 Soitf :A×I→Ktq

• ∀t∈I, x→f(x, t)est continue sur A

• ∀x∈A, t→f(x, t)est continue par morceaux surI

• ∃ϕ:I→R+ intégrable sur I et tq∀x∈A, ∀t∈I, |f(x, t)|6ϕ(t)(hypothèse de domination surA) alors

F :x→ Z

I

f(x, t)dtest dénie et continue sur A car ...

Exemple 13.2.2 Soit f continue et intégrable sur R. On dénit la transformée de Fourier de f comme étant la fonction, notée fˆdénie par fˆ: x →

Z +∞

−∞

f(t)e^ixtdt. Montrons que fˆest dénie et continue surR.

Exemple 13.2.3 Montrer que la fonction F : x→ Z +∞

0

sin(xt)

1 +t²dt est dénie et continue sur R.

Exemple 13.2.4 Montrons que la fonctionF :x→ Z +∞

0

dt

x+t⁴ est continue sur ]0,+∞[. Remarque 13.2.5 Comme vu dans l'exemple du dessus, au lieu de l'hypothèse de domination surAon peut se contenter de l'hypothèse de domination sur tout compact deA. Ce qui se traduit par le théorème plus général suivant :

Théorème 13.2.6 Soitf :A×I→Ktq

• ∀t∈I, x→f(x, t)est continue sur A

• ∀K compact de A ,∃ϕK:I→R⁺ intégrable sur I et tq∀x∈K, ∀t∈I, |f(x, t)|6ϕK(t) (hypothèse de domination sur tout compact)

alors

F :x→ Z

I

f(x, t)dt est dénie et continue sur A car ...

Exemple 13.2.7 SoitF







R^∗+ →R

x →

Z +∞

0

1

x²+E(t)²dt. Étudions la continuité deF sur]0,+∞[. Exemple 13.2.8 Soit F







R^∗+ →R

x →

Z +∞

1

dt t(1 +t^x)

. Étudions la continuité de F sur]0,+∞[.

(5)

13.2.2 Continuité dans le cas d'une intégration sur un segment (HP mais savoir le démontrer)

C'est une conséquence du théorème précédent.

Théorème 13.2.9 Soitf :A×[a, b]→Kcontinue.

AlorsF :x→ Z b

a

f(x, t)dtest dénie et continue sur A

car Si K est un compact deA, alorsK×[a, b]est un compact deA×[a, b]. Or|f|est continue surA×[a, b], donc elle est majorée sur tout compact, i.e.

∃MK >0, ∀(x, t)∈K×[a, b], |f(x, t)|6MK. La fonction constantet→MK est intégrable sur [a, b], donc l'hypothèse de domination sur tout compact est satisfaite.F est donc continue surA. Exemple 13.2.10 Montrons que la fonctionF :x→

Z 1 0

ln(x+t²)dt est continue sur]0,+∞[. Exemple 13.2.11 Soit F:x→

Z x 0

sin(t) x+tdt

On voit que la variablexapparait à la fois comme argument de la fonction à intégrer et en borne.

On ne dispose d'aucun théorème dans ce cas.

1. À l'aide d'un changement de variable judicieux, écrireF(x)comme une intégrale sur[0,1]. 2. Montrer queF est dénie et continue sur ]0,+∞[.

13.2.3 Limite

Théorème 13.2.12 Soit f :A×I→Keta∈A.

• ∀t∈I, lim

x→af(x, t) =`(t)∈Kett→l(t)continue par morceaux sur I

• ∃ϕ∈ CM(I,R⁺)intégrable sur I tq∀x∈A, ∀t∈I, |f(x, t)|6ϕ(t) domination







=⇒











• ∀x∈A, t→f(x, t)est intégrable surI

• t→`(t)est intégrable surI

• lim

x→a

Z

I

f(x, t)dt= Z

I

`(t)dt car ...

Exemple 13.2.13 Déterminons lim

x→+∞

Z π/2 0

(sint)^xdt

Remarque 13.2.14 Ce théorème ne permet pas de répondre à toutes les situations. Penser aussi à des majorations, ou minorations.

Exemple 13.2.15 Soit F:x→ Z +∞

0

e^−xt 1 +√

tdt dénie pourx >0 1. Déterminons lim

+∞F 2. Déterminonslim

0 F

13.3 Dérivabilité

IciAest un intervalle deR.

(6)

13.3.1 Le théorème de dérivation de Leibniz

Théorème 13.3.1 Soitf :A×I→K

• f admet en tout point(x, t)∈A×I une dérivée partielle selon x

• ∀x∈A, t→ ∂f

∂x(x, t)est continue par morceaux surI

• ∃ϕ:I→R⁺ intégrable sur I tq∀(x, t)∈A×I,

∂f

∂x(x, t) 6ϕ(t)











=⇒







• la fonctionF :x→ Z

I

f(x, t)dtest dérivable surA et

• ∀x∈A, F⁰(x) =

Z

I

∂f

∂x(x, t)dt car ...

Remarque 13.3.2 Comme pour la continuité, la conclusion reste vraie si au lieu de l'hypothèse de domination, on ne prouve qu'une hypothèse de domination sur tout segment deA

Ceci conduit au théorème

• f admet en tout point(x, t)∈A×I une dérivée partielle selon x

• ∀x∈A, t→ ∂f

∂x(x, t) est continue par morceaux surI

• ∀J segment de A, ∃ϕJ:I→R⁺ intégrable sur I tq

∀(x, t)∈J×I,

∂f

∂x(x, t)

6ϕ_J(t)











=⇒







I

f(x, t)dtest dérivable surA et

• ∀x∈A, F⁰(x) =

Z

I

∂f

∂x(x, t)dt Proposition 13.3.4 Si on suppose en outre que∀t∈I, x→ ∂f

∂x(x, t)est continue surA, alors la fonctionF est de classeC¹ surA.

clair

Exemple 13.3.5 Soit F:x→ Z +∞

−∞

e^−t²cos(xt)dt. 1. Montrons que F est de classeC¹ sur R.

2. Montrons que F est solution d'une équation diérentielle linéaire du premier ordre à dé- terminer.

3. On a vu dans l'exemple 13.1.5 que F(0) = √

π. Déterminons alors l'expression de F(x) pourx∈R.

(7)

13.3.2 Dérivées d'ordre supérieur

• f admet en tout point(x, t)∈A×I des dérivées partielles jusqu'à l'ordre nselon x

• ∀k∈J1, nK, ∀t∈I, x→ ∂^kf

∂x^k(x, t)est continue surA

• ∀x∈A,∀k∈J1, nK, t→ ∂^kf

∂x^k(x, t)est continue par morceaux surI

• ∀k∈J1, nK, ∀J segment de A, ∃ϕk,J :I→R⁺ intégrable sur I tq

∀(x, t)∈J×I,

∂^kf

∂x^k(x, t)

6ϕk,J(t)











=⇒











I

f(x, t)dt est de classeCⁿ sur Aet

• ∀k∈J1, nK, ∀x∈A, F^(k)(x) = Z

I

∂^kf

∂x^k(x, t)dt se fait par récurrence sur n

Exemple 13.3.7 Soit F :x→ Z +∞

0

e^−xt

1 +t²dt. Montrer queF est dénie et continue sur R⁺. Montrer queF de classeC^∞ surR^∗+et qu'elle est solution de l'équation diérentielley⁰⁰+y= 1 Déterminer lim x

x→+∞F^(k)(x)

13.3.3 Cas d'une intégration sur un segment

Dans ce cas le théorème se simplie un peu : Théorème 13.3.8 Soitf :A×[a, b]→K

• ∀x∈A, t→f(x, t)est continue par morceaux sur[a, b]

• ∀t∈[a, b], f admet des dérivées partielles selon xjusqu'à l'ordre n, et ces dérivées partielles sont toutes continues sur A×[a, b]

=⇒ F est de classeCⁿ sur A et∀k∈J1, nK, F^(k)(x) =

Z b a

∂^kf

∂x^k(x, t)dt Car ...

13.3.4 Théorème de Fubini sur un pavé fermé

Théorème 13.3.9 Soitf : [c, d]×[a, b]→E continue sur[c, d]×[a, b]

Alors 1. x→

Z b a

f(x, t)dtest continue sur [c, d]

2. t→ Z d

c

f(x, t)dxest continue sur [a, b]

3. Z b a

Z d c

f(x, t)dx

! dt=

Z d c

Z b a

f(x, t)dt

! dx car ...