TD6 : théorème de convergence dominée

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Lycée Chrestien de Troyes-PC-mathématiques Page 1

TD5 Intégrales dépendant d’un paramètre : théorème de la convergence dominée

PC Exercice 1. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions



fn^:I



ndéfinie par :

1. I = ]0,+[ ,

   

^sin¹ ²

n x n

n x x

f x

  

 

  2. I = ]0,+[ ,fn

 

t  



¹ ^tn



^ⁿ

Exercice 2. Soit la suite de fonctions définie par : pour tout 𝑛 ∈ ℕ, |𝑓_𝑛: ]0, +∞[ → ℝ 𝑥 ⟼ 𝑛𝑒^−𝑛𝑥 1. Etudier la convergence simple de cette suite de fonctions.

2. Justifier que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑓𝑛 est intégrable sur ]0, +∞[ et calculer pour tout 𝑛 ∈ ℕ, ∫ 𝑓𝑛 +∞

0

3. Calculer lim_𝑛∞∫₀^+∞𝑓_𝑛

4. Est-ce qu’on a : lim

𝑛∞∫₀^+∞𝑓_𝑛= ∫ lim

𝑛∞ 𝑓_𝑛

+∞

0 ?

Exercice 3 Calculer lim

𝑛∞∫ (^sin^𝑛^𝑥

cos 𝑥)

𝜋

04 𝑑𝑥

Exercice 4 (des inégalités classiques à retenir).

1. Montrer que pour tout 𝑥 ∈ ]−1, +∞[ ln(1 + 𝑥) ≤ 𝑥 . 2. Montrer que pour tout 𝑥 ∈ ℝ, |sin 𝑥| ≤ |𝑥|

3. Montrer que pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 + 1 ≤ 𝑒^𝑥 4. Montrer que pour tout 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, |𝑥𝑦| ≤^𝑥²^+𝑦²

2

Exercice 5 Soit la suite de fonctions définie par : pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗, |𝑓𝑛: ]0, +∞[ → ℝ 𝑥 ⟼ ^𝑛

2√𝑡(1+𝑛²𝑡)

1. Etudier la convergence simple de cette suite de fonctions.

2. Justifier que pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗, 𝑓𝑛 est intégrable sur ]0, +∞[

3. Déterminer lim

𝑛∞∫ 𝑓𝑛 +∞

0

Exercice 6 Justifier l’existence de 𝐼_𝑛= ∫₀^+∞_1+𝑛^{𝑛𝑐𝑜𝑠 𝑡}₂_𝑡₂𝑑𝑡 et déterminer lim

𝑛∞𝐼_𝑛

Exercice 7 Pour tout n ^*, I_n =



₀¹^{ln 1}



^^tⁿ



^dt

1. Etudier la nature de la suite (I_n)

2. Déterminer, à l’aide d’un changement de variable, un équivalent de In lorsque n tend vers +.

(On exprimera cet équivalent en fonction de n et d’une intégrale qui ne dépend pas de n) Exercice 8 (exercice classique) Pour tout n^*,

I _n =

2

0

1

n n

t dt n

 

  

 

 

 



1. Montrer que la suite (I_n) est convergente et exprimer sa limite sous forme d’une intégrale.

2. Montrer, à l’aide du changement de variable t nsinu que ²

0 2

e t dt 

  