Universit´e Lille I L3 Maths
2013-2014 M-52
Devoir Maison Octobre 2013
Exercice 1
SoitK un compact dans unC-espace vectoriel norm´e (E,k · k), etf :K→Cune applicationlocalement born´ee, c’est-`a-dire telle que
∀x∈K, ∃rx>0, ∃Mx≥0 | ∀y∈B(x, rx), |f(y)| ≤Mx Montrer quef est born´ee surK.
Exercice 2 – Une version du th´eor`eme d’Ascoli
SoitM >0 et k >0 fix´es. On noteA l’ensemble des fonctions de [0; 1] dansRqui sont born´ees parM etk-lipschitziennes : on va montrer queAest un compact de (C([0; 1],R), N∞). Pour cela, on part d’une suite (fn) d’´el´ements deA, et on va construire une sous-suite de (fn) qui converge (pourN∞) vers une fonctionf ∈A.
a) PuisqueQ∩[0; 1] est d´enombrable, on note{a0, . . . , an, . . .}ses ´el´ements, qui forment une partie dense de [0; 1].
i) Montrer que (fn(a0))nadmet une sous-suite convergente fϕ0(n)(a0)
, puis que fϕ0(n)(a1) admet une sous-suite convergente fϕ0(ϕ1(n))(a1)
.
ii) On it`ere le processus, et on poseψ(n) =ϕ0◦. . .◦ϕn(n). V´erifier queψ:N→Nest strictement croissante, et que pour toutj la suite fψ(n)(aj)
n converge.
On a ainsi d´emontr´e que fψ(n)
n est une sous-suite de (fn)n qui converge simplement surQ∩[0; 1].
b) Soit x∈[0; 1] : montrer que pour tousm, n, j,|fn(x)−fm(x)| ≤2k|x−aj|+|fn(aj)−fm(aj)|, puis que fψ(n)(x)
n est de Cauchy. En d´eduire que la suite fψ(n)
n converge simplement sur [0; 1].
On notef : [0; 1]→Rsa limite.
c) Il reste `a montrer que fψ(n)
n converge versf dansA, c’est-`a-dire f ∈Aet N∞(fψ(n)−f)→0.
i) Montrer quef ∈A.
ii) Soitε >0 : justifier l’existence dex1, . . . , xs∈[0; 1] tels que [0; 1]⊂ ∪sj=1]xj−ε;xj+ε[ et montrer que
sup
x∈[0;1]
|fψ(n)(x)−f(x)| ≤2kε+ max
1≤j≤s|fψ(n)(xj)−f(xj)|
En d´eduire que (fψ(n))n converge uniform´ement versf sur [0; 1].
1
