G164 – Avec un peu de patience...
Problème proposé par Michel Lafond
Combien faut-il en moyenne de tirages consécutifs au loto (6 numéros tirés sans remise parmi 49) pour voir sortir au moins une fois tous les numéros ?
Solution proposée par Patrick Gordon
Une méthode consisterait à calculer par récurrence les probabilités P(n, k) que, après n tirages, on ait tiré k numéros différents puis, connaissant les P(n,k), la probabilité qn que l'événement "tous les numéros sont sortis au moins une fois" se réalise pour la première fois au tirage n, ce qui permettrait de calculer le nombre moyen de tirages requis.
Les calculs s'avérant très lourds, on recourra plutôt à une approche par les espérances mathématiques.
Notons En l'espérance mathématique du nombre de tirages nécessaires à la sortie des 49 numéros lorsqu'on on en a déjà obtenu n. Le tirage suivant peut apporter de 0 à 6 numéros nouveaux (avec quelques réserves aux bornes) avec des probabilités respectives a0, a1 … a6 ce qui s'exprime par la relation de récurrence entre les En :
1) En = 1 + a0 En + a1 En+1 + a2 En+2 + a3 En+3+ a4 En+4 + a5 En+5 + a6 En+6
(cette somme étant limitée à n+j =49) avec :
a0 = probabilité de tirer 6 numéros parmi les n numéros déjà tirés = C(n,6)/C(49,6)
a1 = probabilité de tirer 5 numéros parmi les n numéros déjà tirés et 1 numéro parmi les 49-n numéros non encore tirés = C(n,5) C(49-n,1) / C(49,6)
etc...
La relation de récurrence (1) s'écrit sous forme condensée : 2) En (1 – a0) = 1 + 16 aj En+j
avec :
aj = C(n,6-j) C(49-n,j) / C(49,6)
et le calcul peut se faire au moyen d'un tableur, en partant de E49 = 0.
Il faut toutefois prendre garde aux bornes, où les termes de la somme 16 aj En+j n'ont pas tous un sens.
Ainsi, à titre illustratif, traitons le cas particulier de E48. La relation (2) s'écrit : E48 (1 – a0) = 1 + 16
aj E48+j
Mais la somme s'arrête à j = 1 car les En ne vont pas au-delà de n = 49 et elle est même nulle, car E49 = 0.
D'où :
E48 = 1 / (1 – a0) = C(49,6) / (C(49,6) – C(48,6)) = 8,1666
Le calcul par récurrence selon la relation (2), en partant de E49 = 0 aboutit à E6 = 34,0835234, d'où E0 = 35,0835234, puisqu'on est sûr d'obtenir 6 nouveaux numéros au premier tirage.
Le nombre moyen de tirages nécessaires pour voir sortir au moins une fois tous les numéros est donc de 35 en chiffres ronds.
