Rem : C’est une application du théorème de convergence dominée

Leçon 239 - Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre.

Exemple et applications.

(X,A, µ) est un espace mesuré, et E un espace métrique. On considèref :E×X →C mesurable en x et on étudieF(t) :=R

Xf(t, x)dµ(x).

1. Etude de la régularité. — 1. Continuité. —

– Théorème de continuité des intégrales à paramètre : Sif(., x) est presque sûrement continue en t, et si pour tout K compact de E on a une fonction g intégrable telle que|f(t, x)| ≤ |g(x)|surK×E, alors F est continue sur E.

– Rem : C’est une application du théorème de convergence dominée.

– Ex : Pourf : [a, b]→Ccontinue,Rt

af(x)dx est continue en t.

– Ex : La fonction Γ :z7→R+∞

0 x^z−1e^−zdxest continue sur{Re(z)>0}.

– App : Dans le cas où X = N et où µ est la mesure de comptage, on obtient le théorème de continuité des séries de fonctions continues.

– Contre-ex : F(t) =R+∞

0 xe^−txdxn’est pas continue en 0.

2. Dérivabilité. —

– Théorème de dérivabilité des intégrales à paramètre : Ici, E =I intervalle deR. Si f(., x) est presque sûrement dérivable en t, sif(t, .) est intégrable pour tout t, et si pour tout K compact de E on a une fonction g intégrable telle que |^∂f_∂t(t, x)| ≤

|g(x)| sur K×E, alors F bien définie sur I et dérivable sur I, de dérivée F⁰(t) = R

X

∂f

∂t(t, x)dµ(x).

– Rem : Ce résultat se généralise au casD^k et C^k. – Ex : La fonction Γ :z7→R+∞

0 x^z−1e^−zdxest de classeC^∞sur ]0,+∞[.

– App : Dans le cas où X = N et où µ est la mesure de comptage, on obtient le théorème de continuité des séries de fonctions continues.

– Contre-exemple.

– Ex : R+∞

0

sin(tx)

x e^−xdx=artcan(x)

– Ex : Formule sommatoire de Poisson : Soit f de classeC¹telle telle quef(x) =O(_x¹2) etf⁰(x) =O(_x¹₂).

Alors la fonctionS(t) =P+∞

n=−∞f(t+n) est bien définie, continue, et 1-périodique, et la fonctionf^∗(n) =R

Rf(x).e^−2iπnxdx est bien définie, et l’on a : S(t) =_a¹P+∞

m=−∞f^∗(n)e^im2πt – Corollaire du Gourdon.

– Ex : La fonctionF(t) = ¹_πRπ

0 cos(tsin(x))dxest une solution de l’équation de Bessel xy⁰⁰(t) +y⁰(t) +xy(t) = 0.

3. Holomorphie. —

– Théorème d’holomorphie des intégrales à paramètres : Ici, E =Ω ouvert deC. Si f(., x) est presque sûrement holomorphe en t, sif(t, .) est intégrable pour tout t, et si

pour tout K compact de E on a une fonction g intégrable telle que|^∂f_∂t(t, x)| ≤ |g(x)|

surK×E, alors F bien définie sur I et holomorphe sur I.

– Ex : La fonction Γ :z7→R+∞

0 x^z−1e^−zdxest holomorphe sur{Re(z)>0}.

– Contre-exemple.

– Dev : Formule des compléments : Pour tout z tel que 0 < Re(z) < 1, on a : Γ(z).Γ(1−z) = _sin(π.z)^π .

Ainsi, la fonctiong:z7→ _sin(π.z)^π ._Γ(1−z)¹ définie sur{ztqRe(z)>1} − {−n, n∈N} est analytique et coïncide avec Γ sur{ztq 0< Re(z)<1}.

Cela permet de prolonger Γ analytiquement àC− {−n, n∈N}.

2. Convolution. —

1. Convolution et régularisation. —

– Def : Pour f, g : R→C mesurables positives, on définit f ∗g(x) := R

Rf(y)g(x− y)dλ(y)∈[0,+∞].

– Pro : Si ces quantités sont finies, on af ∗g=g∗f etf∗(g∗h) = ((f∗g)∗h) – Inégalité de Young pour la convolution : Pour 1 = ¹_p +¹_q et f ∈ L^p, g ∈L^q, on a

kf ∗gk1≤ kfkp.kgkq.

– Rem : On peut aussi convolerf ∈L¹_loc(R) avecg∈L^∞(R).

– Pro : L¹ muni de * est donc uneK-algèbre commutative.

– Pro : L¹ ne possède pas d’unité.

– Pour ¹_p+¹_q = 1,f ∈L^p,g∈L^q, f∗gest continue surR.

2. Approximations de l’unité. —

– Def : Approximation de l’unité : Une suite (f_n)_n est appelée approximation de l’unité si : R

Rfn(x)d

lambda(x) = 1, si fn≥0, et si∀ε,R

|x|≥εfn(x)dλ(x)→n0.

– Ex : Pourf(x) = _x1¹+1, fn(x) = _nπ¹ f(nx) est une approximation de l’unité.

– Pro : Pour (fn)n approximation de l’unité etg∈L¹,fn∗g→_k.k1 g.

Sifn∈L^q, cela est aussi vrai pourg∈L^p avecp= _q−1^q .

– Pro : Régularisation par convolution : Pour f de classeC^k dansL^p etg ∈L^q avec q = _p−1^p , alors f ∗g est de classe C^k par théorème de dérivation des intégrales à paramètres. La régularité de la convolée ne porte que sur la régularité d’un seul terme.

– Cor : C_c^∞ est dense dansL^p. (On convole une suite approchant f avec une approxi- mation de l’unité qui soitC_c^∞)

– Def : T:=R/2πZ,en(t) =e^int,DN :=PN

n=−Nen,FN := _N+1¹ .PN n=0Dn.

– Dev : Théorème de Féjer : La suite des F_N est une approximation de l’unité et F_N∗f = _N¹ PN−1

n=0 S_n(f) converge uniformément vers f pour tout f 2π−périodique continue.

Si f admet juste une limite à droite et à gauche en tout point, alorsFN∗f(x)→N 1

2(f(x⁺) +f(x⁻)) ponctuellement.

1

– App : La famille des (en)n∈Zest une base Hilbertienne deL²(T) l’espace des classes de fonctions 2π-périodiques et de carré intégrable.

– Théorème de Dirichlet : Si f estC⁰ et C¹ par morceaux, alors la série de Fourier de f converge uniformément vers f. Si f est justeC¹par morceaux, alors la série de Fourier de f converge uniformément versx→ ¹₂(f(x⁺) +f(x⁻)).

– Dev : Equation de la chaleur sur le cercle : Pour u₀ ∈ L²(R/2πZ), l’équation différentielle ∂tu−∂x(∂xu) = 0 sur ]0,+∞[×R/2πZ admet une unique solution f de classe C² telle que f(t, .) →_t→0+ u0 dans L²(R/2πZ) de la forme f(x, t) = (u0∗Kt)(x) pourKt(x) =P

n∈Ze^−n2te^inx.

3. Transformations de Fourier et de Laplace. — 1. Transformation de Fourier. —

– Def : Pourf ∈L¹(R),fb(x) =R

Re^−ixyf(y)dy.

– Pro : fbest uniformément continue et bornée parkf.k1.

– Thm : fb(x)→0 quandx→ ±∞. (Démontré avec la densité des fonctions C_c¹) – Pro : On af[∗g=f .bbg. La transformée de Fourier linéarise la convolution.

– Pro : Six^kf(x)∈L¹, on a fb(x)∈C^k, avecfb^(k)(x) = (−i)^kR

Re^−ixyy^kf(y)dy.

– Pro : Sif, f⁰∈L¹, alorsfb⁰(x) =−ixfb(x)

– Pro : Théorème d’inversion de Fourier : La transformée de Fourier est une bijection bicontinue surS(R), et on peut calculer son inverse.

– Rem : Ainsi, la transformée de Fourier est injective surL¹. – App : Les polynômes orthogonaux.

– Def : Fonction caractéristique ΦX d’une v.a. réelle X.

– Pro : Si X est de densitédPX(x) =f(x)dx alors ΦX =f.b

– Pro : L’injectivité de la transformée de Fourier implique que ΦX caractérise la loi de X.

– Pro : Si X admet un moment d’ordre k, alors ΦXest de classeC^k. Réciproquement, si ΦX est de classeC^k, alors X admet un moment d’ordre 2b^k₂c.

– Théorème de Lévy : Une suite de v.a rélles (Xn)n converge en loi vers une v.a. X ssi ΦXn converge simplement vers ΦX.

– App : Théorème Central de la limite.

– Ex : Fonctions caractéristiques de v.a. classiques.

2. Transformation de Laplace. —

– Pommellet, Madère : Des choses sur la transformation de Laplace hors probabilités.

– Def : Transformation de Laplace. (Barbe, Ledoux) – Ex :

– Pro : La transformée de Laplace de X caractérise la loi de X.

– Pro : La transformée de Laplace de X est analytique sur l’intervalle sur lequel elle est bien définie.

– Ex : Processus de Galton-Watson. On utilise la transformée de Laplace de X pour étudier la proba d’extinction en temps fini.

Références

Zuily, Queffélec : Th de cont des IàP, Th de dériv des IàP, Th d’holom des IàP. Applica- tion à la fonction Γ.

Hauchecorne : Contre-Exemples d’IàP non continues/dérivables/holom en un point.

Briane, Pagès : Produit de convolution. Transormation de Fourier.

Objectif Agrégation : Polynômes orthogonaux. Th de régularisation du produit de con- volution. Approximations de l’unité, Th de Féjer, Th de Dirichlet.

Gourdon : Exemples d’IàP de classeC^∞. Formule sommatoire de Poisson.

Amar-Materon : Formule des compléments(Dev).

Candelpergler : Equation de la chaleur sur le cercle(Dev).

Ouvrard : Fonction caractéristique, Fonction caractéristique et moments, exemples, Th de Lévy, TCL.

Pommellet, Madère, Barbe, Ledoux : Transformation de Laplace.

May 9, 2017

Vidal Agniel,École normale supérieure de Rennes

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