Université Bordeaux 1
Algèbre L2/ 2013Feuille d’exercices 3
Valeurs propres - Diagonalisation - Polynôme caractéristique
Exercice 1.Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice
A=
5 6 4
−3 −4 −4
2 4 5
.
Déterminer une matriceP telle que A0=P−1AP soit diagonale. En déduire An pour n∈N. Exercice 2.Soitf l’endomorphisme deR3 de matrice dans la base canonique
A=
4 2 −4
−6 −4 6
−1 −1 1
.
Diagonaliserf puis pourn≥1, déterminer la matrice de fn dans la base canonique.
Exercice 3.SoitAla matrice définie par
A=
2 1 −2 1 0 0 0 1 0
.
a.Déterminer une matriceP telle que A0=P−1AP soit diagonale. CalculerP−1. b.Soit(un)n≥1une suite réelle définie par(u0, u1, u2)et par la relation de récurrence :
∀n≥0, un+3= 2un+2+un+1−2un.
Montrer queUn+1=AUn avecUn=
un+2 un+1 un
. En déduire queUn =AnU0.
c.En utilisant a) donner l’expression de un pourn≥3 en fonction deu0, u1et u2.
Exercice 4.Déterminer les valeurs propres et les espaces propres, puis, lorsque c’est possible diagonaliser les matrices suivantes.
A=
−1 −1 2
2 2 −2
−2 −1 3
B=
1 4 6
−3 −7 −7
4 8 7
Déterminer une matriceP telle que A0=P−1AP soit diagonale. En déduire An pour n∈N. Exercice 5.Soient les matrices deM3(R)suivantes.
M1=
1 2 3 0 2 3 0 0 3
M2=
1 1 1 0 1 1 0 0 1
.
Dire si ces matrices sont diagonalisables. Calculer leur puissancen−ième pour n≥1.
Exercice 6.SoitM la matrice suivante.
M =
3 1 1 1
−1 1 0 −1
−1 −1 0 0
−2 −1 −1 0
.
Calculer le polynôme caractéristique deM.
Exercice 7.On considère la matrice
A=
0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... . .. . .. ...
0 0 0 1
a0 a1 . . . an−2 an−1
.
SoitχA le polynôme caractéristique deA. Montrer queχA(X) =Xn−an−1Xn−1− · · · −a1X−a0.
Exercice 8.Soitϕune involution (i.e.ϕ◦ϕ= IdE) d’un espace vectorielE de dimensionn, différente deIdE et de−IdE.
a.Soitx∈Enon nul. En considérantx+ϕ(x)etx−ϕ(x)montrer que 1 et−1sont des valeurs propres deϕ. Existe-t-il d’autres valeurs propres ?
b.Montrer que tout élément dexse décompose comme la somme d’un élément deE1 etE−1. c.En déduire que ϕest diagonalisable.
Exercice 9.Soitpun projecteur (i.e.p◦p=p) d’un espace vectorielEde dimensionn, différent deIdE
et de0.
a.Montrer queIdE−pest un projecteur deE.
b.Montrer queKer(IdE−p) = Im(p).
c.En déduire que Ker(p)etIm(p)sont supplémentaires.
d.Que peut-on conclure ?
Exercice 10.Montrer que les polynômes caractéristiques de deux matrices semblables sont égaux.
Exercice 11.
a.Soient(a, b, c)∈C3 etAla matrice définie par
A=
1 a 1 0 1 b 0 0 c
.
Pour quelles valeurs de(a, b, c)Aest-elle diagonalisable ? b.Soitm∈Cet soitAmla matrice
m+ 1 3 +m 2m 0
0 2(m+ 1) m−1 m+ 1
0 0 4m+ 4 2−m
0 0 0 −m−1
.
Montrer, avec le minimum de calcul queAmest diagonalisable si et seulement sim6=−1.
Exercice 12.Montrer que sif est un endomorphisme diagonalisable qui n’a qu’une seule valeur propre alorsf est une homothétie.
Exercice 13.SoitE un espace vectoriel de dimension finie.
a.Montrer que 0 est valeur propre d’un endomorphismef deE si et seulement sif n’est pas injective.
b.Soitf est un endomorphisme deEbijectif. Montrer que toute valeur propre def est non nulle et que λest une valeur propre def si et seulementλ−1est une valeur propre de f−1.
c.Soientf et gdeux endomorphismes de E. Montrer que f◦get g◦f ont les mêmes valeurs propres.
Exercice 14.SoitE un espace vectoriel de dimensionn.
a.Soitf ∈ L(E)diagonalisable. Montrer que siF est un sous-espace vectoriel deE stable parf alors la restriction def à F, f|F, est diagonalisable.
b. Soient f et g deux endomorphismes de E diagonalisables, qui commutent c’est-à-dire tels que f ◦g = g◦f. Déduire de la question précédente que f et g sont simultanément diagonalisables, i.e.
il existe une baseBdeE dans laquelle les matrices def et gsont diagonales .
