Ahcène boubekki Sessiondejuin2010 Géométriealgébriqueélémentaire:autourdelasurfacecubique Travaild’étudeetderecherche

(1)

Universit´e Pierre et Marie Curie 4 place Jussieu

75252 Paris cedex 05

Travail d’´ etude et de recherche

Encadr´e par : A. H¨oring

G´ eom´ etrie alg´ ebrique ´ el´ ementaire : autour de la surface cubique

Ahc` ene boubekki Session de juin 2010

(2)

Table des mati` eres

1 Nullstellensatz 1

2 Existence d’une droite sur une cubique´ 8

3 Configuration des 27 droites 13

4 Dimension et multiplicit´e 23

(3)

R´esum´e

L’objectif de ce mémoire est de démontrer l’existence de 27 droites sur les surfaces cubiques projectives. Le travail est basé sur le livre de Hulek [1]. La preuve proposée par Hulek ne requiert guère d’outils algébriques très avancés. C’est pour cela que ce mémoire a été rédigé de manière à être accessible à un étudiant de M1.

Tout d’abord nous allons poser les bases de la théorie générale de la géométrie algébrique en construisant les variétés algébriques à partir d’idéals de polynômes. Puis à l’aide du Nullstellensatz de Hilbert, nous établirons des relations entre certains idéals et certains types de variétés algébriques. Puis nous démontrerons l’existence d’une droite sur les surface cubiques projectives et nous continuerons en montrant qu’il y en a en fait 27. Dans une dernière partie nous reviendrons sur les notions”intuitives” utilisées dans les démonstrations précédentes, en en donnant les définitions.

Dans tout le texte, Kest un corps alg´ebriquement clos.

(4)

Chapitre 1

Nullstellensatz

D´efiniton 1.1 SoitT ⊂K[x1, ..., xn]. Le lieu des z´erosdeT est : V(T) ={P∈Aⁿ| ∀f ∈T, f(P) = 0}

D´efiniton 1.2 SoitY ⊂Aⁿ.Y est un ensemble alg´ebrique affines’il existe T, un sous- ensemble deK[x1, ..., xn]tel que :

Y =V(T)

Considérons J = (T) l’idéal engendré par T et comparons leur zéros. Remarquons queT ⊂J impliqueV(J)⊂V(T). En effet les points deV(J) doivent annuler plus de polynômes que ceux deV(T). Ils sont donc moins nombreux.

L’ensembleT engendreJ, donc tout élémentg deJ s’écrit sous la formeg=f1h1+ ...+fmhm avec esthk ∈T et fk ∈K[x1, ..., xn]. Donc pour un point P de V(T), on a hk(P) = 0, pour tous lesk, et doncg(P) = 0.

AinsiV(T) =V(J).

L’anneau K[x1, ..., xn] étant Noetherien, J est alors engendré par un nombre fini d’élément h1, ..., hm

V(h1...hm) =V(J) =V(T) On d´efinit alors :

V :{Id´eal deK[x1, ..., xn]} 7→ {Ensemble alg´ebrique deAⁿ}

J 7→ V(J)

L’applicationV est surjective par d´efinition des ensembles alg´ebriques et le raisonnement

(5)

précédent. Cependant V n’est pas injective : les idéaux (x1) et (x²₁) possèdent la même image parV.

Proposition 1.3 i. V(0) =Aⁿ, V(K[x1, ..., xn]) =∅ ii. I⊂J ⇒V(J)⊂V(I)

iii. V(J1∩J2) =V(J1)∪V(J2) iv. V(Pm

k=1) =Tm

k=1V(Jk)

Preuve.Le premier point est clair. Le second a déjà été établi précédement. Le point iii. :J1∩J2⊂J1et J1∩J2⊂J2 ainsi d’après ii.V(J1∩J2)⊃V(J1)∪V(J2). Montrons V(J1∩J2)⊂V(J1)∪V(J2). SoitP 6∈V(J1)∪V(J2). Il existe alorsf ∈J2etg∈J2 tels quef(P)6= 0,g(P)6= 0 et f g(P)6= 0. Or f g est un élément deV(J1)∩V(J2), doncP n’est pas un point deV(V(J1)∩V(J2)).

∀P 6∈V(J1)∪V(J2), P 6∈V(J1∩J2) Nous obtenons l’inégalité voulue et donc l’égalité. iv.

P ∈V(Pm

k=1) ⇔ ∀fk ∈Jk, ∀λk∈K, Pm

k=1λkfk(P) = 0

⇔ ∀k, fk(P) = 0

⇔ ∀k, P ∈V(Jk) P ∈V(Pm

k=1) ⇔ P ∈Tm

k=1V(Jk)

Nous venons de construire une application qui à un idéal de polynôme lui associe un sous-ensemble deAⁿ. On peut se questionner sur l’existence d’une sorte d’inverse.

I:{ensemble deAⁿ} 7→ {Id´eal deK[x1, ..., xn]}

X 7→ I(X)

La non injectivité deV se répercute sur l’unicité de l’image d’un ensemble parI. Nous définissonsI ainsi pourX ∈ P(Aⁿ) :

I(X) :={f ∈K[x1, ..., xn]| ∀P ∈X, f(P) = 0}

I(Aⁿ) = (0), I(∅) =K[x1, ..., xn] On remarque que, de la mˆeme mani`ere que pourV,

X⊂Y ⇒I(X)⊃I(Y)

(6)

Cependant, à la différence de V, I n’est ni injective (I(Z) = I(Aⁿ) = (0)) ni surjective ((x²_k)6∈I(P(Aⁿ))). Le premier contrexemple vient du fait que seul polynôme nul s’annule une infinité de fois. Pour le second, soitX =V(x²_k) =V(xk) donc le polynômexk est un

´

el´ement deI(X) mais pas de (x²_k).

Proposition 1.4 i. Pour tout sous ensembleX deAⁿ,X ⊆V(I(X)) ii. Pour tout id´eal J deK[x1, ..., xn], J ⊆I(V(J))

Preuve. i. Rappelons les d´efinitions :

V(J) ={P ∈Aⁿ/∀f ∈J, f(P) = 0}

I(X) ={f ∈K[x1, ..., xn]/∀P∈X, f(P) = 0}

Ainsi∀P ∈X, ∀f ∈I(X), f(P) = 0. D’o`uX ⊆V(I(X)) Puis∀f ∈J, ∀P ∈V(J), f(P) = 0. D’o`u J ⊆I(V(J))

Etudions maintenant les cas d’´´ egalit´e.

Proposition 1.5 X =V(I(X))si, et seulement si,X est alg´ebrique.

Preuve. Si X = V(I(X)) alors X est algébrique par définition. Si X est algébrique, alorsX =V(J), avecJ idéal deK[x1, ..., xn]. Or daprès ce qui précède,J ⊆I(V(J)) = I(X). Donc, V(I(X)) ⊂ V(J) = X. De plus d’après les propriétés précédentes sur X ⊂V(I(X)). D’où l’égalité.

Exemple.Z (V(I(Z)) =V(0) =Aⁿ. AinsiZn’est pas algébrique. Il n’y a donc pas de polynôme avec une infinité de racine. Étudions maintenant le cas d’une égalité sur les idéaux. Elle serait J = I(V(J)), avecJ un idéal de l’anneaux K[x1, ..., xn]. On a déjà vu queJ ⊆I(V(J)). On souhaiterions avoir I(V(J))⊆J. Cependant nous avons déjà trouvé un contre-exemple. En effet, pour J = (x²_k), I(V(J)) = (xk)6⊇J. On remarque que pour tout entiern,I(V(xⁿ_k)) = (xk). En fait (xk) est le radical des idéaux (xⁿ_k).

Définiton 1.6 Pour un idéal J de l’anneau A, le radical deJ est défini par :

√J ={r| ∃k≥1, r^k∈J}

J est un id´eal radicalsiJ =√ J

(7)

Proposition 1.7 i. √

J est un id´eal de A ii. J ⊆√

J

Nous verrons que finalement, siJ est une id´eal deK[x1, ..., xn], I(V(J)) =√

J.

Pour démontrer cela il nous faut déterminer sous quelles conditions sur J, V(J) est non vide. C’est le théorème d’annulation, ou Nullstellensatz, de Hilbert qui apporte la réponse.

Théorème 1.8 (Nullstellensatz) SoitKun corps algébriquement clos. Alors : i. Tout idéal maximalm⊂K[x1, ..., xn] est de la forme

m= (x1−a1, ..., xn−an) =I(P) pour un pointP = (a1, ..., an)∈Aⁿ_K.

ii. Si J $ K[x1, ..., xn] est un id´eal propre, alorsV(J)6=∅.

iii. Pout tout id´ealJ ⊂A:

I(V(J)) =√ J

On peut trouver une démonstration du théorème dans le livre de Klaus Hulek [1].

Pour le deuxième point, Enrique Arrondo [4] propose une preuve dans le même esprit que la démonstration de la partie suivante.

Nous allons maintenant approfondir le vocabulaire et quelques notions déjà présentées.

La Topologie de Zariski

Définiton 1.9 Un ensemble algébrique est un fermé pour la topologie de Zariski (ou Zariski fermé) (ou fermé de Zariski). Une variété algébrique affine Aⁿ est un fermé de Zariski.

Définiton 1.10 Un ensemble est un ouvert pour la topologie de Zariski (ou Zariski ouvert) (ou ouvert de Zariski) si son complémentaire est un fermé de Zariski. Une variété algébrique affine Aⁿ est un fermé de Zariski.

Définiton 1.11 Une variété algébrique affineAⁿ est un fermé de Zariski.

(8)

La topologie de Zariski surAⁿ se distingue de la topologie classique par la ”taille” de ses ouverts mais aussi par le fait que c’est une topologie non séparée. Prenons A¹_C=C, Cet∅ sont des ouverts et fermés de Zariski carC=V(0) et∅=V(1). Nous avons déjà vu que les seuls ensembles algébrique de C sont les ensembles finis de points. Ainsi les ouverts de Zariski deCsont denses. En fait c’est toujours le cas. Montrons maintenant que cette topologie n’est pas séparée. Si elle l’était, on pourrait trouver deux ouvertsU et V, tels que U∩V =∅. OrU et V sont denses dansC,c’est à dire qu’ils intersectent tous les ouverts. Ils s’intersectent donc.

La topologie de Zariski induit naturellement une topologie sur les sous ensembles de Aⁿ, et donc en particuliers sur les sous-vari´et´es deAⁿ.

Définiton 1.12 Soit V une variété algébrique de Aⁿ. Une sous variété de V est un fermé deV pour la topologie de Zariski induite.

Définiton 1.13 Un ensemble algébrique X de Aⁿ est dit irréductible s’il n’existe pas d’ensembles algébriques X1$X etX2$X tels que :

X =X1∪X2

Si ce n’est pas le cas,X est dit r´eductible.

Exemple.SurR² :

L’ensembleV(xy) est r´eductible : Cependant l’ensemble V(xy−1) V(xy) =V(x)∪V(y). est irr´eductible.

Figure1.1 – Exemple de variétés réductibles et irréductibles.

Proposition 1.14 Tout ensemble alg´ebrique X ⊂ Aⁿ admet une d´ecomposition en

´

eléments irréductible, unique à l’ordre des facteurs près, de la forme :

X =X1∪...∪Xm

(9)

avec Xi ensemble algébrique irréductible et pour i6=j, Xi 6⊂Xj. Les Xi sont les com- posants irréductibles de X.

Proposition 1.15 SoitV ⊂Aⁿ un fermé de Zariski. On a équivalence : i. V est irréductible.

ii. Pour tout ouverts de Zariski U1, U26=∅ deV, on aU1∩U26=∅.

iii. Tout ouverts de Zariski non vide deV est dense dansV.

Preuve.Montrons i.⇔ii. par contrapos´ee. SoientU1, U2deux ouverts de ZAriski non vides deV tels queU1∩U2=∅. On a alors :

U1∩U2=∅ ⇔(V −U1)∪(V −U2) =V

U1 etU2étant ouverts,V −U1et V −U2 sont fermés. Ainsi V se décompose en l’union de deux fermés, c’est à dire queV est réductible. On en déduit l’équivalence entre i. et ii.

La deuxi`eme assertion indique aussi que pour un ouvert de Zariski U de V, U intersecte tous les ouverts de Zariski de V. Donc U est dense dans V On obtient ainsi l’´equivalence entre ii. et iii..

Etudions maintenant le lien entre la r´´ eductiblité d’un ensemble algébriqueX et son idéalI(X). Supposons queX soit réductible.

X =X1∪X2, X1$X, X2$X

On a alors I(X) ⊂ I(X1) et I(X) ⊂ I(X2) ; l’inclusion stricte de X1 et X2 dans X implique l’insclusion stricte des id´eaux. Ainsi

I(X1)\I(X)6=∅ I(X2)\I(X)6=∅

Soitf ∈I(X1)−I(X) etg∈I(X2)−I(X), alorsf g∈I(X1)∩I(X2). D’o`u : V(f g)⊃V(I(X1)∩I(X2)) =V(I(X1))∪V(I(X2))⊃X1∪X2

V(f g)⊃X

Doncf g s’annule surX, soitf g ∈I(X). Cependantf et g n’étant pas des éléments de I(X), on en déduit queI(X) n’est pas un idéal premier. On vient donc d’établir :

X est r´eductible⇒I(X) n’est pas premier.

(10)

Proposition 1.16 SoitX 6=∅ un ensemble algébrique d’idéal I(X), alors : X est irréductible⇒I(X)est premier.

Preuve.Montrons la contraposée :X est réductible⇒I(X) n’est pas premier. Le sens direct vient d’être démontrer. Montrons l’autre sens :

I(X) n’est pas un idéal premier, donc il existef, g∈K[x1, ..., xn] etf, g6∈I(X) tels que f g ∈I(X). Soient J1 = (I(X), f) l’idéal engendré par I(X) et f. De même pour J2= (I(X), g).

I(X)⊂J1∩J2⇒X⊃V(J1∩J2) =V(J1)∪V(J2)

SoitP ∈X, alorsf g(P) = 0, doncf(P) =Ooug(P) = 0, soitP ∈V(J1) ouP ∈V(J2), en tout casP ∈V(J1)∪V(J2). D’o`u X=V(J1)∪V(J2) etX est r´eductible.

Nous pouvons clore cette partie avec cette proposition qui r´esume le travail fait jusque ici :

Proposition 1.17 SoientV etI les application définies précédement.

{ensembles deAⁿ} ^I

V

{ Id´eaux de K[x1, ..., xn]}

Ces applications sont des bijections, inverses l’une de l’autre, dans les cas suivants :

{Sous-variétés deAⁿ} ' {Idéaux radicaux deK[x1, ..., xn]}

∪ ∪

{Sous-variétés irréductibles de Aⁿ} ' {Idéaux premiers deK[x1, ..., xn]}

∪ ∪

{Points deAⁿ} ' {Id´eaux maximaux deK[x1, ..., xn]}

(11)

Chapitre 2

Existence d’une droite sur une ´ cubique

Dans cette partie nous allons démonter le théorème suivant :

Th´eor`eme 2.1 Toute surface cubique lisse S de P³_K contient une droite.

Certains concepts inclus dans cet énoncé n’ont pas encore été définis. Mais ils sont ce dont on en a l’intuition. Une courbe cubique est dite lisse si elle est irréductible, sans point double et sans point de rebroussement. Le concepte est similaire pour une surface.

Dans le cas contraire on dit qu’elle est singulière. Une surface cubique deP³_K, quant à elle, est le lieu des zéros dans P³_K d’un polynôme homogène deK[x0, ..., x3] de degré 3.

Avec les notations vues pr´ec´edement :

S=V(f), f ∈K[x0, ..., x3]

La démonstration se décompose en deux parties. La première consiste à montrer que pour un pointP deS, la courbeCP =S∩TPS si elle ne contient pas une droite, peut ˆ

etre une cubique singulière avec un point de rebroussement. La deuxième partie assure l’existence d’une droite même dans le deuxième cas.

Notons queCP est non vide car c’est l’intersection de deux surfaces projectives dans P³_K.

Lemme 2.2 SoitS une surface cubique lisse, alors pour tout pointP deS l’intersection CP =S∩TPS est une courbe cubique singuli`ere plane. De plus si pour tout pointP∈S, CP est irr´eductible il existe un point tel queCP ait un point de rebroussement.

(12)

Preuve. Vérifions que CP est bien une courbe cubique plane. La surface S est irréductible, car lisse donc ne contient pas TPS, ainsi CP 6= TPS et CP est bien une courbe. De plus c’est la restriction de la surface S, à un plan deP_K³, doncCP est plane et est aussi définie par un polynôme de degré 3.

Montrons que P est un point singulier de CP. Fixons P = [0 : 0 : 0 : 1] et TPS = {x2= 0}. Soitf le polynôme homogène de degré 3 définissantS.

f =dx³₃+x²₃(ax0+bx1+cx2) +x3q(x0, x1, x2) +h(x0, x1, x2)

Avec q un polynôme homogène de degré 2 et hun polynôme homogènede degré 3. Or f(P) = 0, alors d= 0.

∂f

∂x0

= ax²₃+x3

∂q

∂x0

+ ∂h

∂x0

∂f

∂x1

= bx²₃+x3

∂q

∂x1

+ ∂h

∂x1

∂f

∂x2

= cx²₃+x3

∂q

∂x2

+ ∂h

∂x2

∂f

∂x3

= c2x3(ax0+bx1+cx2) +q(x0, x1, x2)

Or TPS={x2= 0}, alorsa=b= 0 et on peut supposerc= 1.Ainsif est de la forme.

f =x2x²₃+q(x0, x1, x2)x3+h(x0, x1, x2) AinsiCP est d´efinie par le polynˆome g :

g(x0, x1, x2, x3) =f|_{x₂_=0}(x0, x1, x2, x3) =q(x0, x1,0)x3+h(x0, x1,0)

Posons : q(x0, x1,0) =ax²₀+bx0x1+cx²₁ et h(x0, x1,0) = tx³₀+ux²₀x2+vx0x²₁+wx³₁. Alors, on a

∂g

∂x0

= 2ax0x3+bx1x3+ 3tx²₀+ 2ux0x1+vx²₁

∂g

∂x1

= ax1x3+ 2bx0x3+ 3wx²₁+ 2vx0x1+ux²₀

∂g

∂x2

= 0

∂g

∂x3

= q(x0, x1,0).

On observe que les quatre dérivés partielles s’annulent enP, c’est donc un point singulier deCP et celle ci est donc singulière.

Nous devons maintenant nous assurer que si pour tout point P de S, CP est irr´eductible on peut trouver un point tel queCP ait un point de rebroussement.

Comme le pointP est une singularité deCP, les tangentes sont données par la forme quadratiqueq. Deux cas se présentent, soit ces deux tangentes sont distinctes etP est en

(13)

fait un point double, soit elles sont ´egales etP est un point de rebroussement. Montrons que le second cas se produit.

Cubique avec un point double. Cubique avec un point de rebroussement.

Figure2.1 – Deux types de cubique singuli`ere.

SoitAla matrice associée à la forme quadratiqueq, définie par :

q←→A=







a11 a12 a13

a13 a22 a23

a13 a23 a33







q(x0, x1,0) =l(x0, x1,0)²= (ax0+bx1)²

A=







a² ab 0 ab b² 0

0 0 0







=





 a b 0







a b 0

Le pointP est un point de rebroussement si, et seulement si ses tangentes ont la même directions, ce la se traduit sur q(x0, x1,0) par le fait que ce soit le carré d’une forme linéaire. Cela signifie quedet





a² ab ab b²



= 0.

Consid´erons maintenant le polynˆome Hf =det

∂²f

∂xi∂xj

i,j

Lemme 2.3 SoitM ∈GL(4,K). On a :

Hf◦M =det(M²)Hf◦M

(14)

D’après ce lemme, le lieu d’annulation de Hf est indépendant de la base. On peut donc continuer à utiliser le pointP et sont plan tangent défini au début. Ici :

Hf(P) =







a11 a12 a13 0 a13 a22 a23 0 a13 a23 a33 2

0 0 2 0







En calculant le d´eterminant par bloc, on obtient queHf(P) est nul si, et seulement si le d´eterminant de





a² ab ab b²



est nul.

Donc P est un point de rebroussement si, et seulement si P est dans{Hf = 0}. Or {Hf = 0} est une variété deP³_K définie par un polynôme, c’est soit P³_K tout entier, soit une hypersurface. Dans les deux cas l’intersection avec S est non vide. Donc il existe P ∈S qui est un point de rebroussement deCP.

Nous avons montré queCP est une courbe cubique plane singulière. Si elle est réductible, CP contient une droite et doncS aussi. Si tout lesCP sont irréductibles, nous avons vu qu’il existe un point P tel que CP ait un point de rebroussement en P. Nous allons montrer pour clore la démonstration du théorème, que dans ce cas il y a une droite sur S qui coupeCP. Pour cela nous avons besoin d’un critère pour savoir si une droite est incluse dans sur une surface.

Définiton 2.4 Soitf un polynôme homogène de degré 3. Soient P, Q∈ P³_K, avecQ= (y0, y1, y2, y3). On pose :

f1(P :Q) =

3

X

i=0

∂f

∂xi

(P)yi

Des calculs pas difficiles mais longs permettent d’´etablir, pour P, Q ∈V(f) = S et λ, µ∈K:

f(λP+µQ) =λ³f(P) +λ²µf1(P :Q) +λµ²f1(Q:P) +µ³f(Q) Par d´efinition du plan tangent, nous avous pourP ∈S :

(P Q)⊂TPS⇔f1(P :Q) = 0 En combinant ces deux r´esultats, on trouve :

(P Q)⊂S ⇔ ∀λ, µ∈K, f(λP +µQ= 0)

(15)

(P Q)⊂S ⇔f(P) =f1(P :Q) =f1(Q:P) =f(Q) = 0 Reprenons la d´emonstration.

Preuve. Nous considérons désormais que CP est irréductible. Ainsi elle est paramétrisable par une fonction ϕ. On pose Pα = ϕ(α) avec α ∈ K et Pα ∈ CP. On a donc f(Pα) = 0. Coupons S avec un autre plan, par exemple{x0= 0}. L’intersection

´

etant non vide, on y choisit le point Q= [0 :x1:x2:x3], on a alorsf(Q) = 0. Il nous reste `a trouver un triplet (x1, x2, x3) etαtel que :

f(Pα) =f1(Pα:Q) =f1(Q:Pα) =f(Q) = 0

Notons quef1(Pα:Q) etf1(Q:Pα) sont des polynômes enx1, x2, x3de degré 1 et 2, avec des polynômes enαcomme coefficients. L’annulation def1(Pα:Q) donne une relation entrex3 et x1,x2. On posex3 =Aα(x1, x2). Notons aussi Bα(x1, x2, x3) =f1(Q:Pα) et cα(x1, x2, x3) = f(Q). Pour montrer que les polynômes Bα et Cα ont une racine commune, nous allons calculer leur résultant.

R(α) =Res(Bα(x1, x2, Aα(x1, x2)), Cα(x1, x2, Aα(x1, x2)))

Un calcule long fait dans le livre de Hulek [1] montre que R(α) est un polynôme non nul de degré 27. Le corps K étant algébriquement clos, R(α) a une racine α0. Donc R(α0) = 0 implique que les polynômes Bα0 et Cα0 ont une racine commune. La relation donnée parAα0 permet de donner un triplet (uα0, vα0, wα0) tel queBα0(uα0, vα0, wα0) = Cα0(uα0, vα0, wα0) = 0

Nous avons donc trouv´e un pointPα0 surCP et un pointQα0 = (0, uα0, vα0, wα0) de S tels quef1(Pα₀:Qα₀) =f1(Qα₀ :Pα₀) =f(Qα₀) = 0. La surface cubique projectiveS contient donc la droite (Pα₀Qα₀).

(16)

Chapitre 3

Configuration des 27 droites

Nous avons montré l’existence d’une droite sur toute surface cubique projective. Le résultat est obtenu grâce à un polynôme de degré 27. Nous ne sommes donc plus très loin de l’objectif de ce mémoire. Pour nous assurer de l’existence d’exactement 27 droites, nous allons les exhiber.

Nous avons déjà une droite l sur la surface S. Cette droite est donc incluse dans le plan tangent de chacun de ses points. L’intersection de ces plan avecS est toujours une courbe cubique plane réductible, dontl est une composante irréductible, les autres ou l’autre est alors une courbe quadrique. Dans le cas où la quadrique est réductible, nous allons déterminer la position des trois droites.

Lemme 3.1 SoitS une surface cubique lisse.

i. SoitEun plan, alorsE∩Sest soit une courbe cubique irr´eductible, soit une conique et une droite, soit trois droites distinctes.

ii. Par tout point de la surface S passe au plus 3 droites. Si trois ou deux droites passe par un point P deS, alors il y a un plan E qui les contient toutes et dont l’intersection avecS a l’une des configurations suivantes :

Preuve. i. Nous avons déjà montré que E∩S est une courbe cubique plane. En fait nous n’avons qu’à montrer que si elle est composée de trois droites, celles ci sont toutes distinctes. Supposons queE∩S contiennent une droite double l={x2=x3 = 0} avec E ={x3= 0}. Comme cela a déjà été fait dans la section précédente, en partant de la forme général d’un polynôme homogène de degré 3, et en imposant les condition del et

(17)

H

HH HH

HHH sP

H

HH HH

HHH s

s

s P

Figure 3.1 – Configuration possible de trois droites sur une surface cubique lisse con- tenues dans un mˆeme plan.

E, on obtient que le polynômef définissantS est de la forme : f =x²₂g(x0, x1, x2) +x3h(x0, x1, x2, x3), avecget hdes polynôme homogènes de degré 1 et 2. Considérons :

∆ :=l∩ {h= 0}={(x0, x1,0,0)|h(x0, x1,0,0) = 0}

Le corpsK´etant alg´ebriquement clos ∆ est non vide. SoitP = (x0, x1,0,0) un point de

∆. Déterminons les dérivées partielles def :

∂f

∂x0

= x²₂ ∂g

∂x0

(x0, x1, x2) +x3

∂h

∂x0

(x0, x1, x2, x3)

∂f

∂x1

= x²₂ ∂g

∂x1

(x0, x1, x2) +x3

∂h

∂x1

(x0, x1, x2, x3)

∂f

∂x2

= 2x2g(x0, x1, x2) +x²₂ ∂g

∂x2

(x0, x1, x2) +x3

∂h

∂x2

(x0, x1, x2, x3)

∂f

∂x3

= h(x0, x1, x2, x3) +x3

∂1

∂x3

(x0, x1, x2, x3)

Evalu´´ e en P, les quatre dérivées partielles s’annulent. Donc ∆ contient des points singuliers deS. Or cela contradit la lissité deS. Donc siE∩Sse décompose en trois droites, celles-ci sont toutes disctinctes.

ii. Si deux droites passent par P, ces deux droites sont donc incluses dans le plan tangent de P. L’intersection de ce plan avec S, d’après i., contient une autre droite disctincte des deux premières. Toutes les droites d’un plan projectif s’intersectant, on obtient la première disposition. Si trois droites passent parP, par unicité du plan tangent, elles sont dans un même plan. D’où la deuxième disposition.

Proposition 3.2 SoitS une cubique lisse etl⊂Sune droite. Alors il y a exactement 10 droites surSqui intersectentl. D’après la proposition précédente, ces droites s’organisent en cinq paires (li, l⁰_i), 1≤i≤5, ayant pour propriété :

(18)

i. Les trois droites l, li, l⁰i s’intersectent et sont contenue dans un mˆeme plan.

ii. Les paires de droites sont disjointes :(li∪l⁰_i)∩(lj∪l⁰_j) =∅ pouri6=j.

Preuve. SoitE un plan contenant la droitel. Alors : E∩S=l∪q

o`uqest une conique. Nous devons montrer qu’il existe cinq plans contenantl tels queq soit r´eductible.

Supposons que l={x2=x3= 0}, les plans contenantl sont donc de la forme : Eλ,µ={λx2−µx3= 0}

Nous allons montrer qu’il existe cinq [λ:µ]∈P¹_Ktels queEλ,µ∩Ssoit constitué de trois droites. Remarquons que les points deEλ,µ peuvent d’écrire sous la forme [x0:x1:λt: µt], avec t∈K. La droitel a alors pour équation{t= 0}.

La surface S contenant la droitel est d´efinie par un polynˆome de la forme :

f =Ax²₀+Bx0x1+Cx²₁+Dx0+Ex1+F, (*) où A, B, et C sont des polynômes homogènes en x2 et x3 de degré 1, D et E sont de degré 2 etF de degré 3. Restreint àEλ,µ, on obtient :

f|_E_λ,µ(x0, x1, λt, µt) = t(A(λ, µ)x²₀+B(λ, µ)x0x1+C(λ, µ)x²₁ +D(λ, µ)x0t+E(λ, µ)x1t+F(λ, µ)t²).

Le deuxième facteur est donc une forme quadratique enx0, x1, tqui défini la conique q. Nous voulons savoir quand est ce qu’elle est réductible, et donc quand est ce que le déterminant, ∆, de sa matrice associée est nul.

∆(λ, µ) = 4det







A(λ, µ) 1/2B(λ, µ) 1/2D(λ, µ) 1/2B(λ, µ) C(λ, µ) 1/2E(λ, µ) 1/2D(λ, µ) 1/2E(λ, µ) F(λ, µ)







Le polynôme ∆ est de degré 5. Pour obtenir cinq plans différents comme souhaité, nous devons nous assurer que ce polynôme n’est pas nul et n’a pas de racine au moins double.

Supposons, modulo un changement de variable, que (0,1) soit une racine de ∆. D’après la proposition précédente, deux configurations sont possibles sur le plan E_(0,1), décrites ici pour un certains choix de coordonnées. Les trois droites s’intersectent en un même point :

l={x3= 0}, l1={x0= 0}, l⁰₁={x0−x3= 0} (3.1)

(19)

ou uniquement deux `a deux :

l={x3= 0}, l1={x0= 0}, l₁⁰ ={x1= 0}. (3.2) Dans le cas premier cas,f est de la forme :

f =x0x3(x0−x3) +x2g,

avecgun polynôme de degré 2. En reprenant la forme donnée dans l’équation (*), nous avons doncD(x2, x3) =−x²₃+x2β(x2, x3), avec β une forme linéare, et les polynômes B,C,E etF divisibles parx2. On obtient :

∆(λ, µ) = 4A(λ, µ)C(λ, µ)F(λ, µ) +B(λ, µ)E(λ, µ)D(λ, µ)

−C(λ, µ)D(λ, µ)²−A(λ, µ)E(λ, µ)²−F(λ, µ)B(λ, µ)²

= −C(λ, µ)D(λ, µ)²modλ²

La forme linéaireC est divisible parx2, doncC(x2, x3) =cx2, pourc∈K. Remarquons que f(0,1,0,0) = C(0,0) = 0 et que df(0,1,0,0) = c 6= 0 car S est lisse. Donc si E(0,1)∩S se décompose en trois droites concourantes, (0,1) n’est pas une racine double de ∆. Vérifions le maintenant pour le cas où les droites ne sont pas concourantes. Icif est de la forme :

f =x0x1x3+x2g.

De même que précédement, on trouveB(x2, x3) =x3 et les polynômesA,C,D,E etF divisibles parx2. D’où :

∆ =−F(λ, µ)B(λ, µ)²modλ². Or F=x2(ax³₂+bx2x3+x²₃. On remarque que

f(0,0,0,1) = 0,

∂f

∂x0

(0,0,0,1) = ∂f

∂x1

(0,0,0,1) = 0,

∂f

∂x2

(0,0,0,1) = ∂F

∂x2

(0,0,0,1) =c,

∂f

∂x3

(0,0,0,1) = ∂F

∂x3

(0,0,0,1) = 0.

La surfaceS ´etant lisse on a doncc6= 0. Donc (0,1) n’est pas une racine double de

∆.

Ainsi il y a bien 5 paires de droites qui coupent l et qui se trouvent donc sur cinq plans distincts.

(20)

Pour trouver les 16 droites manquantes, il nous faut quelques lemmes.

Lemme 3.3 Soitl1,..,l4des droites distinctes et disjointes deP³_K, alors deux cas peuvent se produire :

(1) les quatre droites se trouvent sur une quadrique lisse Q. Dans ce cas il y a donc une infinit´e de droites transverses communes aux quatres droites.

(2) les quatre droites ne se trouvent pas sur une quadrique. Dans ce cas il y a une ou deux droites transverses communes aux quatre droites.

b b

l1 l2

l3

l4

Figure 3.2 – Les deux droites rouges sur la quadrique sont transverses aux quatres droitesl1,l2,l3 etl4.

Preuve. Nous verrons plus tard qu’il existe toujours une quadrique lisse deP³_K qui contient trois droites distinctes et disjointes. Soit Qla quadrique lisse contenant l1, l2

et l3. Ainsi les deux cas se r´esument par l4 est contenue dans cette quadrique ou non.

Si c’est le cas, les quatres droites étant disjointes, elles se trouvent sur le même réglage.

dans ce cas toutes les droites de l’autre r´eglage leurs sont transverses. Dans l’autre cas,

(21)

l4∩Qest réduit à un ou deux points. Les droites l1,l2, et l3 sont encore sur le même réglage. Donc il y a une droite, respectivement deux droites, du réglage inverse qui passe par le point, respectivement les points, d’intersection del4avecQ.

Lemme 3.4 Soit S une surface cubique lisse, alors S ne peut contenir quatre droites droites disjointesm1, m2, m3 et m4 intersect´ees par trois droitesn1,n2 etn3. C’est `a dire que que la configuration suivante de sept droites ne peut se produire sur S :

s s s

s s s m1 m2 m3 m4

n1

n2

n3

Figure3.3 – Ce quadrillage ne peut pas se produire sur une cubique lisse.

Preuve. Supposons qu’une telle situation puisse se produire. Le lemme précédent implique que les droite mi soient sur le même réglage d’une quadrique Q, et que les ni

soient sur l’autre réglage. Rappelons que les sept droites considérées sont surS. Soit L une autre droite du même réglage que lesni. AinsiLintersecte lesmi et donc intersecte S en quatre points. Or un polynôme de degré 3 n’ayant au plus que trois racines, cela implique queLest surS. L’ensemble des droites d’un même réglage recouvrant toute la quadrique, on en déduit que Q est incluse dansS. Cela contredit la lissité de S. Ainsi une telle configuration n’est pas possible sur une cubique lisse.

Lemme 3.5 Soient l, li etl⁰_i les droites sur une surface cubique lisseS obtenue par la Proposition 3.2, alors toute autre droite m sur S intersecte seulement l’une des droites l,li etl⁰i.

(22)

Preuve.SoitEile plan d´efini parl,lietl⁰i. La droitemintersecteEicar nous travaillons dans l’espace projectif. Ainsi :

m∩(l∪li∪l⁰_i) =m∩(Ei∩S) = (m∩S)∩Ei =m∩Ei6=∅.

Si m intersecte plus d’une droite, alors m intersecte Ei en au moins deux points avec multiplicit´e, et doncmserait incluse dansEi. Cela contredit le Lemme 3.1.

Maintenant nous avons tous les outils pour exhiber les 27 droites.

Th´eor`eme 3.6 Une surface cubique lisseS contient exactement 27 droites.

Preuve.Nous avons d´ej`a l’existence d’une droite surS. La Proposition 3.2 nous fournit 5 paires de droites (li, l⁰_i).

Soitmune autre droite surS disjointe del. Elle existe par application de la Propo- sition 3.2 à la droitel1. D’après le Lemme 3.5,mintersecte exactement l’une des droites de chaque paires (li, l⁰_i). On peut supposer qu’elle intersecte uniquement l1, ...,l5. Par application de la Proposition 3.2 à m, il existe alors cinq paires (li, l⁰⁰_i) intersectant m.

Ces nouvelles droitesl_i⁰⁰sont distinctes desli par construction, del car cette dernière ne rencontre pas m et des l⁰_i car sinon l_i⁰⁰ intersecterait l et donc les droites l, li, l⁰⁰_i et m seraient coplanaires et cela n’est pas possible d’après le Lemme 3.1. D’après le Lemme 3.5, chaque droitel⁰⁰i doit rencontrer l’un des autres triplets (l, lj, lj⁰), aveci6=j. Les droitesl⁰⁰i

sont construites `a l’aide de la Proposition 3.2 doncl⁰⁰_i ∩lj=∅. Ainsi elles ne rencontrent que les droitesl⁰_j.

Nous avons maintenant 17 droites. Il nous en manque 10, que nous allons trouver ainsi : pour chaque triplet (i, j, k) avec 1≤i < j < k≤5, nous allons montrer l’existence d’une droitelijk distincte des droites déjà trouvées et qui rencontreli,lj etlk.

Supposons l’existence d’une dix-huiti`eme droite,n. Elle ne peut rencontrerletmcar nous avons trouv´e toutes les droites qui les rencontre, ce sont les li, l⁰_i et l⁰⁰_i. Montrons quenne peut rencontrer que trois des droitesli.

– Si nrencontre au moins quatre droitesli, alors les trois droites distinctesl,metn rencontrent quatresli. Or cela ne se produit pas sur S d’apr`es le Lemme 3.4 – Si n ne rencontre aucune ou juste une droite li, alors d’apr`es le Lemme 3.5 n

intersecte au moins quatre desl⁰_i et cela revient au cas pr´ec´edent.

– Sinrencontre exactement deux droitesl4etl5, alors d’apr`es le Lemme 3.5 appliqu´e

`

a l4,l⁰_iet l_i⁰⁰, aveci6= 4 etl5,l⁰_iet l_i⁰⁰, aveci6= 5, nrencontre les droitesl⁰₁,l⁰₂ etl₃⁰

(23)

mais pas les droitesl⁰⁰₄ et l⁰⁰₅. De plus nous savons queli⁰⁰∩l⁰j6=∅. Donc nous avons quatre droites distinctesl⁰₁,l⁰₂,l⁰₃etl4qui intersectent les trois droites distinctesn, l⁰⁰₄ etl⁰⁰₅. Cela contredit le Lemme 3.4

Donc la suppos´ee droite n rencontre exactement trois des droites li. Si une telle droite existe nous la notonslijk en rappel pour les droites qu’elle intersecte. Nous allons maintenant nous assurer de son unicit´e.

Supponsons l’existence d’une autre droite l⁰_ijk avec la même définition quelijk. Ces deux droites ne peuvent s’intersecter sinon les cinqs droiteslijk,l_ijk⁰ ,li,lj et lk seraient sur le même plan et donc en contradiction avec le Lemme 3.1. Donc les quatre droites lijk,l⁰_ijk,l etnsont distinctes et sont transverses aux droitesli,ljetlk. Ceci est ne peut se produire d’après le Lemme 3.4. Ainsi la droitelijk est unique si elle existe. Elle existe bien, nous allons le montrer maintenant.

@

@@

@

@@

@

@@

@

@@

s s s s s s s s s s

s s s s s

s s s s s s s

s s s s s

s s s s s s s s s s

l l123

m

l1 l⁰₁ l2 l⁰₂ l3 l⁰₃ l4 l₄⁰ l5 l⁰₅

l⁰⁰₁ l₂⁰⁰ l⁰⁰₃ l⁰⁰₄ l₅⁰⁰

Figure3.4 – Représentation de la configuration des 18 premières droites trouvées. Toutes les intersections de la formel⁰_i∩l⁰⁰_j n’ont pas été représentées.

Par la Proposition 3.2, l1 intersecte dix droites distinctes. Quatre d’entre elles sont donn´ees par l, l⁰₁,m et l⁰⁰₁. Ils nous en reste six. Or il y aurait ⁴₂

= 6 possible droites d´efinie comme au dessus. Toutes les droitesl1jk existe donc et par extenstion toutes les lijk qui sont au nombre de ⁵₃

= 10, celles qui nous manquaient.

Nous avons donc exhib´e 27 droites sur une surface cubique projective lisse,S.

R´esumons un peu l’organisation de ces 27 droites.

Il y en a 5 types. Il y a l qui résulte de la partie précédente. Lesli etl⁰_i résultent de la Proposition 3.2 appliquée à l. La droite mest le résultat du Lemme 3.5. Les l⁰⁰_i sont le produit de la Propostition 3.2 appliquée àm. Le dernier type, leslijk dont l’existence est plus subtile résulte de la Proposition 3.2 appliquée à chaque li.

(24)

Pour finir voici une configuration possible des 27 droites : l intersecte l1, ..., l5 et l⁰₁, ..., l⁰₅,

m intersecte l⁰₁, ..., l₅⁰ et l⁰⁰₁, ..., l⁰⁰₅,

l1 intersecte l, m, l⁰₁, l⁰⁰₁ etl123, l124, l125, l134, l135, l145, l⁰₁ intersecte l, l1, l⁰⁰₂, l₃⁰⁰, l₄⁰⁰, l⁰⁰₅ etl234, l235, l245, l345, l₁⁰⁰ intersecte m, l1, l₂⁰, l₃⁰, l₄⁰, l₅⁰ etl234, l235, l245, l345, l123 intersecte l1, l2, l3, l₄⁰, l₄⁰⁰, l⁰₅, l⁰⁰₅ et l145, l245, l345. Les autres intersections s’obtiennent par permutation des indices.

Voici deux représentations réelles, avec ses 27 droites, de la cubique de Clebsch d’équation :

x³₀+x³₁+x³₂+x³₃−(x0+x1+x2+x3)³.

Figure3.5 – Cette vue ”´eloign´ee” permet de bien voir les lignes de fuites de la surface.

(25)

Figure3.6 – Zoom sur le ”centre” de la cubique

(26)

Chapitre 4

Dimension et multiplicit´ e

Dans cette partie nous allons revenir sur la notion de lissité et de dimension. Plusieurs possibilités s’offrent à nous, de la plus intuitive à la plus algébrique. Nous n’allons pas nous aventurer jusque dans des résultats d’algèbre trop poussés et n’allons utiliser que les résultats déjà vus dans la première section.

Pour l’instant nous ne considérons que des variétés affines irréductibles. Les résultats sont similaires pour les variétés projectives.

Dimension

Définiton 4.1 Soit X un ensemble de Aⁿ. Une chaˆıne de parties de X est une suite X0⊂X1⊂...⊂Xn avec lesXi⊂X distincts. Une telle chaˆıne est de longueur n. Définiton 4.2 SoitX un espace topologique. La dimensiondeX est la borne supérieure des longueurs des chaˆınes de parties fermées (pour la topologie de Zariski) irréductibles deX. C’est un entier positif ou +∞. On le note dimX.

Exemple 4.3 (La sphère de R³, S².) Les parties fermées irréductibles deS²sont les cercles et les points. Ainsi :

{Un point sur l’´equateur} ⊂ {L’´equateur} ⊂S²

est une chaˆınes de parties ferm´ees irr´eductibles deS². On remarque que l’on ne peut pas construire une chaˆıne plus grande. Ainsi dim S²= 2

Nous allons donner une autre mani`ere d’obtenir la dimension d’une surface alg´ebrique

`

a l’aide son idéal. À la chaˆıne de parties fermées X0 ⊂ X1 ⊂ .. ⊂ Xn, nous pouvons

(27)

associer la chaˆıne I(X0) ⊃ I(X1) ⊃ .. ⊃ I(Xn). Ainsi nous avons aussi la d´efinition suivante :

Définiton 4.4 SoitI idéal deK[x1, ..xn]. La dimensiondeV(I)est la borne supérieure des longueurs des chaˆınes strictes d’idéal de I.

Nous allons maitenant relier la dimension d’une surface avec ses espaces tangents.

Définiton 4.5 Pour une variété irréductible affineV, on définie ladimensiondeV par : dimV =min{dimTPV |P ∈V}

Proposition 4.6 Pour une vari´et´e lisse V, on a, pour tout pointP deV : dim V =dimTPV.

Le r´esultat est assez naturel pour une courbe lisse, donc de dimension 1 : l’espace tangent

`

a un point est un droite, de dimension 1. Pour d´emontrer cette proposition, il faudrait d’abord savoir ce qu’est un point lisse, un point singulier et de voir comment se comporte l’espace tangent en ces points singuliers.

SoitV une variété irréductibles deAⁿ_K, définie par le polynômef : V =V(f)

Définiton 4.7 SoitP = (a1, ..., an)un point deV. L’espace tangentàV enP est défini par :

TPV :={(x1, ...xn)∈Aⁿ_K|

n

X

i=1

∂f

∂xi

(P)(xi−ai) = 0}.

L’espace TPV est un sous espace affine, et P ∈ TPV. Ainsi si V est d´ej`a un sous espace affine, alors elle son propre espace tangent en tout ses points.

Lemme 4.8 Soit V un variété. Soit W ⊂ V une sous-variété de V. Alors pour tout point P deW, on a :

TPW ⊂TPV.

Ce lemme qui découle directement des définitions données, permet de remarquer que si une droite,L, est incluse sur la variétéV alors elle est incluse dans le plan tangent de chacun de ses points. En effet, une droite étant un espace affine de dimension 1, donc pour tout pointP deL,

L=TPL.

(28)

Or L⊂V, ainsi les espaces tangents enP suivent aussi cette inclusion : L=TPL⊂TPV.

Intéressons nous à la notion de lissité

D´efiniton 4.9 Un point P est un point lisse (ou r´egulier, ou non singulier) d’une hy- persurfaceV si il existe unitel que ∂f

∂xi

(P)6= 0. SinonP est un point singulier(ou une singularit´e) de V.

Cette définition associée à la définiton du plan tangent par un équation, entraˆıne la caractérisation des points lisses et singuliers d’une hypersurface par rapport à leur espace tangent.

P est un point lisse deV ⇐⇒ TPV est un hyperplan affine.

P est un point singulier deV ⇐⇒ TPV est l’espace affine,Aⁿ_K, entier.

Ainsi dans la démonstration du lemme 2.2, nous voulions démontrer que CP était bien une courbe plane. Le fait que S soit lisse implique donc queTPS est bien un plan et doncCP est bien incluse dans un plan, c’est donc une courbe plane.

Multiplicit´ e d’une intersection

La multiplicité d’une racine de polynôme est une notion bien acquise. Il s’agit, pour un polynômeQet une raciner, de la puissance maximale de (x−r) divisant un polynôme Q. Les ensembles algébriques étant des solutions de polynôme, on peut donc parler de multiplicité d’une variété, ou plutôt de la multiplicité d’une composante irréductible d’une variété. En effet les variétés irréductibles sont engendrées par des polynômes irréductibles, ils n’ont donc pas de diviseur. Une variété irréductible est en fait consituée d’une unique composante irréductible de multiplicté 1. Pour une variétéV définie par un polynômef, une composante irréductible est défine par une diviseur de f et sa multiplicité est donc définie comme la puissance maximale de ce diviseur dansf.

Le théorème fondamental de l’algèbre affirme que la somme des multiplicités des racines d’un polynôme est égale au degré du polynôme. Il en est de même pour la mul- tiplicité des composante irréductibles.

Exemple 4.10 – Dans K², V(x−y) est une variété irréductible de degré 1, con- stituée d’une seule droite de multiplicté 1.

– DansK²,V((x−y)²)est une variété réductible de degré 2, constituée d’une seule droite de multiplicté 2.

(29)

Cependant les deux variété représente le même ensemble algébrique.

V(x−y)

Figure4.1 –V(x−y) etV((x−y)²) définissent le même ensemble algébrique, mais pas avec la même multiplicité.

Le théorème fondamental de l’algèbre a une interprétation géométrique. Chercher les racines d’un polynômeP, revient à résoudre l’équation

P(x) = 0.

Cela peut se voir comme chercher les intersections dansK², entre les surfacesV(y−P(x)) etV(y). En effet cela ce traduit par un syst`eme :

y=P(x) y= 0







⇐⇒P(x) = 0

Ainsi le théorème fondamental dit que la variété définie par un polynôme de K^d[x]

intersecte l’hyperplan {y= 0} endpoints.

Bézout a énoncé un théorème plus général que l’on ne démontrera pas mais dont on peut trouver la démonstration dans [2].

Théorème 4.11 Soit C et C⁰ deux courbes planes projectives de degré d et d⁰ sans composante commune. AlorsC et C⁰ s’intersectent endd⁰ points avec multiplicité.

Nous avons maintenant éclairci toutes les notions qui ont été mises en jeu dans les démonstrations des chapitre 2 et 3. Seul un point reste encore à montrer :

Proposition 4.12 Pour trois droitesl1,l2 etl3 distinctes et disjointes deP³_K se situent toujours sur une quadrique lisse.

(30)

Preuve.Un polynôme homogène deK2[x0, ..., x3] est constitué d’au plus 10 monômes et donc dépend de 10 coefficients. Ainsi le sous espace des polynôme homogènes de K2[[x0, ..., x3] est de dimension 10. En passant au projectif il est alors de dimension 9.

L’intersection entre une droite, l et une quadrique,Q est constituée de deux points avec multiplicité. On obtient ce résultat en appliquant le théorème de Bézout à l et à l’intersection de Q et chacun plans contenant l. Ainsi une droite est incluse dans une quadrique si l’intersection entre les deux est composée d’au moins trois points. Pour un pointP, la condition (P ∈Q) se traduit en une condition linéaire en les coefficients de Q. Donc le fait qu’une droite se situe sur une quadrique se traduit en un système de trois

´

equations. Ainsi pour qu’une quadrique contienne trois droites, ces coefficients doivent satisfaire à neuf équatiosn. Or l’espace des solutions d’un tel système est de dimension 9. On en déduit qu’il y a au moins une solution.

Nous devons encore v´erifier qu’une quadrique lisse peut ˆetre solution. Nous allons raisonner sur le rang de la quadrique.

– Une quadrique de rang 1 ou 2 est constituée de l’union deux plans (avec mul- tiplicité), or les droites considérées sont disjointes et deux droites dans un plan projectifs se coupent toujours.

– Une quadrique de rang 3 est un cˆone, or toutes les droites sur un cˆone se rencontrent au sommet.

AinsiQne peut être de rang inférieur à 4. Elle est donc de rang 4 et donc lisse.

(31)

Bibliographie

[1] K. Hulek :Elementary Algebraic Geometry, Student Mathematical Library, 20. Amer- ican Mathematical Society 2003.

[2] D. Perrin : Géométrie algébrique : une introduction, Interéditions , CNRS éd 1995.

[3] O. Forster :Lectures on Riemann surfaces, New York NY Berlin Springer 1981.

[4] E. Arrondo :Another Elementary Proof of the Nullstellensatz, American Mathemat- ical Monthly MONTHLY 113 (2006) 169–171.