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Exercices sur l’Intégrale de Riemann
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Université d’Eleuthéria-Polites République de Poldévie
Licence Bruno Deschamps
Version.
Suites de fonions
Exercice.—Pourp≥1 etx >0, on pose
fp(x) = 1 (1 +x)1+1/p
Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonions (fp)p.
Exercice.—Sur quels intervalles y-a-t-il convergence uniforme pour la suite (fn)nlorsque : a)fn(x) = 2nx
1 +n2nx2 pourx∈R. b)fn(x) = 4n(x2n−x2n+1) pourx∈[0,1].
Exercice.—Etudier sur [0,+∞[ la convergence simple et uniforme de la suite de fonions (un)n
définie par
un(x) =xnlnx
Exercice.—Etudier sur [0,1] la convergence simple et uniforme de la suite de fonions (un)n définie par
un(x) = x n(1 +xn)
Exercice.—Pourn≥0 etx∈[0,+∞[, on poseun(x) =e−nxsin(nx).
a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur [a,+∞[ poura >0.
b) Même queion sur [0,+∞[.
Exercice.—Pourn≥0 etx∈R, on poseun(x) = 1 (1 +x2)n.
a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur ]− ∞, a]∪[a,+∞[ poura >0.
b) Même queion surR.
Exercice.—Pourn≥0 etx∈[0,+∞[, on poseun(x) =nx2e−nx.
a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur [a,+∞[ poura >0.
b) Même queion sur [0,+∞[.
Exercice.—Pourn≥0 etx >0, on poseun(x) =x2sin 1
nx
etun(0) = 0.
a) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (un)nsur [−a, a] poura >0.
b) Même queion sur [0,+∞[.
Exercice.—Soitfn:R+−→Rdéfinie parfn(x) =
1 +x n
−n
. a) Etudier la limite simple de la suite (fn)n.
b) Montrer que, pour toutx >0, la suite (fn(x))ne riement décroissante et en déduire que fn(x)>lim
n fn(x) c) Après avoir montré que, pour toutt≥0, on a :
t−t2
2 ≤ln(1 +t)≤t
juifier que la suite (fn)nconverge uniformément sur tout intervalle [0, a] (aveca >0).
d) Etablir qu’en fait, la suite de fonions (fn)nconverge uniformément sur [0,+∞[.
Exercice.—Soit (Pn)n une suite de fonions polynomiales qui converge uniformément surR vers une fonionf. Montrer quef enécessairement une fonion polynomiale.
Exercice .—Soient (fn)n et (gn)n deux suites de fonions d’un intervalle I vers R, qui con- vergent uniformément vers des fonionsf etgsupposées bornées. Montrer que la suite (fngn)n
converge uniformément vers la fonionf g.
Exercice.—Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonions uniformément continues d’un intervalleIversReelle-même une fonion uniformément continue.
Exercice.—Etablir que la limite simple d’une suite de fonions convexes d’un intervalleI versReconvexe.
Exercice.—Soientfn : [0,1]−→Rdes fonions décroissantes et continues telles que la suite (fn)nconverge simplement vers la fonion nulle. Montrer que cette convergence euniforme.
Exercice.—(Théorème de Dini) On considère une suite décroissante (fn)nde fonions contin- ues d’un segment [a, b] dansRet qui converge vers la fonion nulle. On désire montrer que la convergence een fait uniforme.
a) Juifier l’exience de limn||fn||∞.
b) Montrer que, pour toutn≥0, il exiexn∈[a, b] tel que||fn||∞=fn(xn).
c) En observant que pour toutp≤n,fn(xn)≤fp(xn), montrer finalement que limn||fn||∞= 0.
Exercice.—Pourx∈[0, π/2], on posefn(x) =nsinxcosnx.
a) Déterminer la limite simple de la suite de fonions (fn)n. b) CalculerIn=
Zπ/2 0
fn(t)dt. Y-a-t-il convergence uniforme de la suite (fn)n? c) Juifier qu’il y a convergence uniforme sur tout segment inclus dans ]0, π/2].
Exercice.—Soitfn: [0,1]−→Rdéfinie parfn(x) =n2x(1−nx) six∈[0,1/n] etfn(x) = 0 sinon.
a) Etudier la convergence simple de la suite (fn)n. b) Calculer
Z1 0
fn(t)dt. Y a-t-il convergence uniforme de la suite (fn)n? c) Etudier la convergence uniforme de (fn)nsur [a,1] aveca >0.
Exercice.—Soitfn:R−→Rdéfinie par fn(x) =
r x2+1
n
Montrer que chaque fn e de classeC1 et que la suite (fn)n converge uniformément vers une fonionf qui n’epas de classeC1.
Exercice.—Soit fn:R+ −→Rdéfinie parfn(x) =x+ 1
n. Montrer que la suite (fn)n converge uniformément mais pas la suite (fn2)n.
Exercice.—Soitf :R−→Rune fonion deux fois dérivable et de dérivée seconde bornée.
Montrer que la suite des fonions (gn)noù gn(x) =n
f
x+1
n
−f(x)
converge uniformément versf0.
Exercice.—Soitf(x) = 2x(1−x) pourx∈[0,1]. Etudier la convergence de la suite (fn)n oùfn
el’itéréen-ième de la fonionf.
Exercice.—Soit (fn)nla suite de fonions définies surR+par,f0(x) =xet, pour toutn≥0, fn+1(x) = x
2 +fn(x)
Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (fn)nsurR+.
Exercice .—Etudier la convergence simple et uniforme sur R de la suite de fonions (fn)n données parfn(x) = sinn(x) cos(x).
Exercice.—a) Montrer que la suite de fonionsfn(x) =x(1+nαe−nx) définies surR+pourα∈R etn≥0, converge simplement vers une fonionf à déterminer.
b) Déterminer les valeurs deαpour lesquelles il y a convergence uniforme.
c) Calculer lim
n
Z1 0
x(1 +
√
ne−nx)dx.
Exercice.—On définit la suite de fonions (un)n de [0,1] versRpar u0(x) = 1 et, pour tout n≥0,
un+1(x) = 1 + Zx
0
un(t−t2)dt
a) Montrer que, pour toutx∈[0,1], 0≤un+1(x)−un(x)≤ xn+1 (n+ 1)!. b) En déduire que pourn, p≥0,||un+p−un||∞≤ X
k≥n+1
1 k!.
c) Etablir que pour toutx∈[0,1], la suite numérique (un(x))nede Cauchy.
d) Etablir que la suite (un)nconverge uniformément vers une fonionunon nulle vérifiantu0(x) = u(x−x2).
Exercice.—On noteEl’ensemble des fonionsf : [0,1]−→R+continues. Pour toutf ∈E, on pose
Φ(f)(x) = Zx
0
pf(t)dt
On considère la suite de fonions (fn)ndéfinie parf0= 1 et, pour toutn≥0,fn+1=Φ(fn).
a) Etudier la suite (fn)n.
b) Si l’on notef = limnfn, trouver une équation différentielle dontf esolution. Y a-t-il unicité de la solution nulle en 0 ?
Sommes de Riemann
Exercice .—Déterminer la limite de la suite (un)nlorsque, pourn≥1, a)un=
n
X
k=1
1
n+k, b)un=
n
X
k=1
n
n2+k2, c)un= 1
√ n
n
X
k=1
√ 1
n+k, d)un= 1
√ n
n
X
k=1
√ 1 k+
√ n−k. e)un=
X2n k=1
k
n2+k2, f)un=
n−1
X
k=0
kα
nα+1+kα+1 (α >0).
Exercice .—Déterminer lim
n un= 1
√
n2+ 2n+ 1
√
n2+ 4n+ 1
√
n2+ 6n+· · ·+ 1
√ 3n2. Exercice .—Déterminer la limite de la suite (un)nlorsque, pourn≥1,
a)un= ch 1
√ n+ 1
!
+ ch 1
√ n+ 2
!
+· · ·+ ch 1
√ 2n
!
−n.
b)un=n−cos 1
√ n+ 1
!
−cos 1
√ n+ 2
!
− · · · −cos 1
√ 2n
! .
Exercice .—On considère une fonion f :R −→R dérivable en 0 et vérifiant f(0) = 0 et f0(0),0. Déterminer la limite de la suite (un)ndéfinie, pourn≥1, par
un=f π
n Xn−1
k=1
1 2 + coskπ
n
Exercice .—a) Calculer l’intégrale Z2
1
logxdx.
b) pour n≥1, expliciter Rsupn , la n-ième somme de Riemann supérieure associée à la fonion x7−→logxsur le segment [1,2].Que vaut lim
n Rsupn ? c) En déduire que lim
n
(2n)!
nnn!
!1/n
=4 e.
Exercice .—En utilisant les sommes de Riemann pour une fonion bien choisie, montrer que 1122· · ·nn1
n2 'n
√ n e1/4
Intégration par parties
Exercice .—Déterminer les primitives suivantes : a)
Z
tlntdt b) Z
taran(t)dt c) Z
tsin3tdt d) Z
(t2−t+ 1)e−tdt e) Z
(t−1) sintdt f) Z
(t+ 1)ch(t)dt.
Exercice .—Calculer les intégrales suivantes : a)
Z1 0
ln(1 +t2)dt b) Z e
1
tnlntdt c) Zeπ
1
sin (lnt)dt d) Z 1
0
aran(t)dt e)1/02taran(t)dt f) Z 1
0
taran(t)dt.
Changement de variables
Exercice .—Déterminer les primitives suivantes : a)
Z dt
√ t+
√ t3 b)
Z lntdt t+t(lnt)2 c)
Z e2tdt et+ 1 d)
Z dt t
√
t2−1 e)
Z dt t+t(lnt)2 f)
Z dt t
√
lnt+ 1 g) Z dt
et+ 1 h)
Z lntdt√ t i)
Z √
1−t2dt j) Z
t2
√
1−t2dt.
Exercice .— En effeuant le changement de variables t =
r2−x
x−1, déterminer la valeur de Z 8/5
4/3
dx xp
(2−x)(x−1).
Exercice .— On considère une fonion continue f : R −→ R telle que, pour tout x ∈ R, Z 1
0
f(xt)dt= 0. Montrer quef eindentiquement nulle.
(Ind. On pourra utiliser un changement de variables.)
Exercice .—Calculer Z 1/2
0
r1 +x
1−xdxen effeuant le changement de variablex= cost.
Exercice .—a) Montrer que
Z π/4 0
ln(cost)dt= Zπ/4
0
ln(cos(π/4−t))dt.
b) En déduire la valeur de Z π/4
0
ln(1 + tant)dt.
Exercice .—a) Montrer que Z π/2
0
cost
cost+ sintdt= Zπ/2
0
sint
cost+ sintdt=π 4. b) En déduire la valeur de
Z 1 0
dt t+
√ 1−t2.
Exercice .—On considère une fonion continuef : [a, b]−→Rtelle que pour toutx∈[a, b], f(a+b−x) =f(x). Montrer que
Zb a
xf(x)dx=a+b 2
Zb a
f(x)dx
Exercice .—a) Montrer que sif : [0,1]−→Reune fonion continue alors Zπ
0
tf(sint)dt=π 2
Zπ 0
f(sint)dt b) En déduire la valeur, pourn≥0, de
In= Zπ
0
xsin2n(x) sin2n(x) + cos2n(x)dx
Exercice .—Pour deux réelsaetbtels queab >0, on considère I(a, b) =
Zb a
1−x2 (1 +x2)
√
1 +x4dx
a) Calculer, en fonion deI(a, b), les quantitésI(−b,−a),I(a−1, b−1) etI(a−1, a).
b) CalculerI(a, b) quanda, b >1 en utilisant le changement de variablest=x+ 1/xpuisv= 1/t.
c) Montrer, finalement, que la relation ainsi obtenue ree valable si l’on suppose jueab >0.
Exercice .—Calculer les intégrales suivantes : a)
Z π 0
sint
3 + cos2tdt b) Z2
1
dt 2t+
√ t c)
Z2 1
ln(1 +t)−ln(t)
t2 dt.
Exercice .—Calculer Z
√ 3 0
arcsin 2t
1 +t2
dt.
Exercice .—a) Déterminera, b, c∈Rtels que, pour toutu,1/2, on ait u2−1
2u−1=au+b+ c 2u−1 b) Calculer
Z0
−1
x2−1 2x−1dx.
c) Grâce à un changement de variable trigonométrique, en déduire la valeur de Z0
−π/2
cos3t 1−2 sintdt.
Intégrale fon ion de la borne supérieure
Exercice .—Pour une fonion continuef :R−→Rdonnée, juifier que les fonionsg:R−→
Rsuivantes sont de classeC1et exprimer leur dérivée : a)g(x) =
Zx2 2x
f(t)dt.
b)g(x) = Zx
0
xf(t)dt.
c)g(x) = Z x
0
f(t+x)dt.
Exercice .—Etudier la fonionf(x) = Z2x
x
sht t dt.
Exercice .—Pourf : [0,1]−→Rune fonion continue donnée, on définitF: [0,1]−→Rpar F(x) =
Z1
0
min(x, t)f(t)dt a) Montrer queFede classeC2et calculerF00.
b) En déduire queF(x) = Zx
0
Z1 u
f(t)dtdu.
Exercice .—Pour une fonion continueg:R−→Rdonnée, on pose, pour toutx∈R, f(x) =
Z x 0
sin(x−t)g(t)dt a) Montrer que f edérivable et quef0(x) =
Zx 0
cos(x−t)g(t)dt b) Montrer quef esolution de l’équation différentielley00+y=g(x).
c) Achever la résolution de cette équation différentielle.
Exercice .—Soientf :R−→Rune fonion de classeC1etF :R∗−→Rdéfinie, pourx,0, par
F(x) = 1 2x
Z x
−x
f(t)dt
a) Montrer queFpeut être prolongée par continuité en 0. On effeue ce prolongement.
b) Montrer queFedérivable surR∗et exprimerF0(x) à l’aide d’une intégrale.
c) Montrer queF edérivable en 0 et observerF0(0) = 0.
Exercice .—On considère une application continuef :R−→Rvérifiant que pour toutx, y∈R, f(x)−f(y) =
Z 2y+x 2x+y
f(t)dt Montrer quef ede classeC1et déterminerf.
Exercice .—Pourx∈R+− {0,1}, on pose f(x) =
Zx2 x
dt lnt
a) Calculer la limite def en 0+, 1 et +∞et la limite def(x)/xen +∞. b) Calculer
Z1 0
x−1 lnxdx.
c) Montrer quef ede classeC∞surR+− {0,1}mais qu’elle ejueC1sur [0,+∞[.
d) Etudier les variations def et tracer sa courbe représentative.
Exercice .—Montrer que la fonionf(x) = Z 2x
x
et
tdtedéfinie et dérivable surR∗ et déter- miner lim
x→0f(x).
Exercice .—Pour une fonionf :R−→Rde classeC1donnée, on définit pourx,0, g(x) =1
x Z x
0
f(t)dt
Montrer quegeprolongeable surRen une fonion de classeC1. Exercice .—On considère la fonion
f(x) = Z x
1/x
te−t t−2dt
/ a) Déterminer le domaine de définitionDf de la fonionf. b) Montrer quef edérivable surDf et calculerf0.
c) Etudier les variations def surDf.
/ On considère sur ]1/2,2[ la fonionϕ(t) =te−t−2e−2 t−2 . a) Montrer queϕeprolongeable par continuité en 2.
b) En déduire que Z x
1
te−t t−2dt '
x→2−2e−2ln(2−x) et, par suite, quef(x) '
x→2−2e−2ln(2−x).
c) Donner un équivalent def en 1/2+.
Inégalités sur les intégrales
Exercice .—(Inégalité de Tchebycheff)
) On se donne (ak)1≤k≤N et (bk)1≤k≤N deux suites finies croissantes de réels positifs.
a) Pour toutk= 1,· · ·, N, on poseEk=E(a1,· · ·, ak,· · ·, ak) où E(x1,· · ·, xN) =
XN
i=1
xibi− 1 N
XN
i=1
xi
XN
i=1
bi
Montrer que la suite finie (Ek)1≤k≤Necroissante.
b) En déduire que
N
X
i=1
aibi≥ 1 N
N
X
i=1
ai
N
X
i=1
bi
.
) Soientf , g: [0,1]−→R+deux applications croissantes. Montrer que Z 1
0
f g≥ Z 1
0
f
! Z 1 0
g
! . Exercice .—(Inégalité de Wirtinger)
On considère une applicationf : [0, π]−→Rde classeC1et telle quef(0) =f(π) = 0.
) Après avoir montré que les fonions incriminées sont bien intégrables, montrer que Zπ
0
f(x)f0(x)cotan(x)dx=1 2
Zπ 0
f(x)2(1 + cotan(x)2)dx
) En déduire que Zπ
0
f(x)2dx≤ Zπ
0
f0(x)2dxet déterminer les cas d’égalité.
Exercice .—(Caraérisation de la convexité)
) Soientgune fonion continue surRetf une fonion continue par morceaux sur le segment [a, b]. Montrer queg◦f ∈CM([a, b]).
) Montrer quegeconvexe surRsi et seulement si pour toutf ∈CM([0,1]),g Z 1
0
f
!
≤ Z 1
0
g◦f. Exercice .—(Inégalité de Jensen)
Soitϕ: [a, b]−→R+∗une application continue. Montrer que 1
b−a Zb
a
ln◦ϕ≤ln 1 b−a
Zb a
ϕ
!
Suites d’intégrales
Exercice .—Pour toutn≥0, on poseIn= Z1
0
dt 1 +tn. a) CalculerI0, I1etI2.
b) Montrer que la suite (In)ne riement croissante.
c) En utilisant, par exemple, le théorème de convergence dominé, montrer que lim
n In= 1.
d) Montrer que, pour toutn≥1, on a 1−In=ln 2 n −1
n Z1
0
ln(1 +tn)dt.
e) Montrer que, pour tout réelu >−1, on a ln(1 +u)≤u. En déduire que lim
n
Z1 0
ln(1 +tn)dt= 0.
f) Prouver finalement queIn= 1−ln 2 n +o
1 n
.
Exercice .—Pourpetqdeux entiers naturels, on pose : I(p, q) =
Zb a
(t−a)p(b−t)qdt a) Former une relation de récurrence liantI(p, q) etI(p+ 1, q−1).
b) En déduire une expression deI(p, q).
Exercice .—(Intégrales de Wallis et applications)
) Pour tout entiern≥0, on pose
Wn= Z π/2
0
cosn(x)dx
a) Montrer que pour toutn≥0, on aWn= Zπ/2
0
sinn(x)dx.
b) Montrer que la suite (Wn)ne riement décroissante.
c) A l’aide d’une intégration par partie, trouver, pourn≥0, une relation de récurrence liantWn+2 etWn. En déduire, pour tout entierp≥0, une expression simple deW2petW2p+1
d) Montrer que, pour toutn≥0, on aWnWn+1= π 2(n+ 1). f) Prouver que, pour toutn≥0, on a 1− 1
n+ 2<Wn+1
Wn <1. et en déduire un équivalent simple de Wn.
) Montrer que
limn
Yn k=1
1− 1
4k2
= 2 π
(Formule de Wallis)
) On considère la suite (un)ndéfinie pourn≥1 parun= n!en
nn+1/2 et la suite auxiliaire (vn)ndéfinie pourn≥2 parvn= logun−logun−1.
a) Exprimer simplementvnen fonionnet donner un développement limité à l’ordre 2 en 1 nde la suite (vn)n.
b) En déduire que la sérieX
vn econvergente et, par suite, qu’il exie un réelK >0 tel que n!'nK
n e
n√ n.
c) En utilisant cet équivalent, calculer un équivalent simple de la suite (W2p)p. En déduire que K=
√
2πet, par suite, que
n!'n n
e n√
2πn (Formule de Stirling)
) On se propose d’étudier ici le comportement du volume d’une boule de rayon fixé quand on fait varier la dimension de l’espace. Plus précisément, on se fixe un réelR >0 et pour tout entier n≥1 on considère dansRnla bouleBnde centreOet de rayonR:
Bn={(x1,· · ·, xn)∈Rn/ x21+· · ·+x2n≤R2} On noteVnson volume.
a) Soitn≥2. Montrer que, pour tout (x1,· · ·, xn)∈Rn, on a
(x1,· · ·, xn)∈ Bn⇐⇒
(x1,· · ·, xn−1)∈ Bn−1
− q
R2−x21− · · · −x2n−1≤xn≤ q
R2−x21− · · · −x2n−1
En déduire queBnecontinûment paramétrable.
b) Soientλ >0 un réel etm≥0 un entier. Montrer que Z λ
−λ
λ2−x2m2
dx= 2λm+1Wm+1. c) En déduire que pour tout entiern≥2 et toutk= 1,· · ·, n−1 on a
Vn= 2k
k
Y
i=1
Wi
Z
· · · Z
Bn−k
R2−x21− · · · −x2n−k
k2
dxn−k· · ·dx1
d) Prouver finalement que, pour tout entiern≥1, on aVn=
Yn
i=1
Wi
(2R)net, par suite, que pour k≥1V2k=πk
k!R2k et que pourk≥0,V2k+1= 22k+1 k!
(2k+ 1)!πkR2k+1. ExpliciterV1, V2, V3etV4. e) En utilisant la formule de Stirling, donner des équivalents simples des suites (V2k)ket (V2k+1)k. f) En déduire que limnVn= 0.
g) Montrer que, soit la suite (Vn)nedécroissante, soit il exie un rangn0tel que la suite (Vn)n soit croissante jusqu’au rangn0, puis décroissante.
h) Donner les valeurs deRpour lesquelles la suite (Vn)nedécroissante.
i)Que vaut le rangn0de la queion.g. quandR= 1?
Exercice .—Pourn∈N, on poseIn= Z 1
0
(1−x)n n! exdx.
a) Montrer que la suite (In)nconverge vers 0.
b) Montrer que, pourn≥0, on aIn= 1
(n+ 1)!+In+1. c) En déduire quee= lim
n
Xn
k=0
1 k!.
Exercice .—Pourn∈N, on poseIn= Z e
1
(lnx)ndx.
a) CalculerI0etI1.
b) Etablir une relation liantInetIn+1.
c) En déduire que pour toutn≥0, 0< In< e n+ 1.
d) Déterminer la limite puis un équivalent simple de la suite (In)n. e) Soit (un)nune suite réelle définie paru0=aet pour toutn≥0,
un+1=e−(n+ 1)un
On suppose quea,I0. En étudiant la suiteDn=|un−In|, montrer que lim
n
|un|= +∞.
Exercice .—a) Calculer Z 1
0
dt 1 +t2. b) Etablir que, pour toutn≥0,
Z 1 0
Xn
k=0
(−t2)kdt=π 4+ (−1)n
Z 1 0
t2n+2 1 +t2dt.
c) En déduire que lim
n
Xn
k=0
(−1)k 2k+ 1=π
4.
Exercice .—Pourn≥0, on considère la fonionIn(x) = Zπ
0
cos(nt) 1−xcostdt.
) Déterminer le domaine de définition deIn(x).
.a) On se donne un réela∈]0, π[. En effeuant le changement de variableu= tan(t/2), calculer les deux intégrales
Za 0
1
1−xcostdt et Za
0
cost 1−xcostdt
(Ind. pour la deuxième intégrale, pourxfixé, on pourra déterminer quatre réelsa, b, cetd tels
que 1−u2
(1 +u2)((1−x) + (1 +x)u2)=au+b
1 +u2+ cu+d (1−x) + (1 +x)u2.)
.b) En déduire une expression simple deI0(x) etI1(x).
.a.) Trouver une relation liantIn+2(x) +In(x) etIn+1(x).
.b) En déduire queIn(x) = π xn
√ 1−x2
1−
√ 1−x2n
.
Exercice .—On considère deux entiersn≥0 etm≥0 et l’on pose In,m=
Z e 1
xn(lnx)mdx
a) Montrer queIn,m+1= en+1
n+ 1−m+ 1 n+ 1In,m. b) CalculerIn,0, pour toutn≥0.
c) En déduire queIn,m=en+1
m+1X
k=1
(−1)k+1 m!
(n+ 1)k(m−k+ 1)!
+(−1)m+1m!
(n+ 1)m+1. Exercice .—Pour toutn≥0, on pose
In= Z1
0
(log(1 +x))ndx
a) Montrer que, pour toutn≥1, on a 0≤In≤(log 2)net en déduire la limite de la suite (In)n. b) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour toutn≥1, on a
In= 2
n+ 1(log 2)n+1 1− In+1
2(log 2)n+1
!
c) En déduire que, pour toutn≥1, on a 0≤In≤ 2
n+ 1(log 2)n+1et déterminer alors lim
n
In+1 (log 2)n+1. d) Prouver finalement queIn'n 2
n+ 1(log 2)n+1.
Exercice .—Pour tout réelx,0 et tout entiern≥0, on pose In(x) = 1
n!
Z1
−1
(1−t2)nextdt a..) CalculerI0(x) etI1(x).
a..) A l’aide d’intégrations par parties, montrer que pour toutn≥0, on a In+2(x) = 4
x2In(x)−4n+ 6 x2 In+1(x)
a..) En déduire que, pour toutn≥0, il exie un polynôme à coefficients entiersPn∈Z[x] tel que In(x) = 1
x2n+1(exPn(x)−e−xPn(−x))
a..) Expliciter une relation de récurrence satisfaite parPn, Pn+1etPn+2et en déduire que le degré dePneégal àn.
b) Soitr∈Q∗,r=p/qavecp∈Netq∈Z∗. On suppose qu’il exiea, b∈N∗tel queer=a/bet l’on poseD=abp3.
b..) Montrer que, pour toutn≥0,DnIn(r)∈N. b..) Prouver que lim
n DnIn(r) = 0.
b..) En déduire une absurdité.
c) Prouver finalement que, sir∈Q∗, alorser eirrationel et que, sir∈Q∗+, alors ln(r) eirra- tionel.
Intégrales à paramètres
Exercice .—(Irrationnalité deπ2)
On considère la suite de fonions (Fn(x))ndéfinie pourx∈Retn∈N, par Fn(x) =x2n+1
2n.n!
Z1
0
(1−t2)ncos(xt)dt
) a) Montrer que, pour toutn≥0, la fonionFnede classeC1et que Fn+1(x) = (2n+ 1)Fn(x)−xFn0(x)
b) En déduire que, pour toutn∈N, il exie deux polynômesPn∈Z[X] etQn∈Z[X] tels que Fn(x) =Pn(x) sin(x) +Qncos(x)
et donner deux relations de récurrence liant les polynômesPn+1etQn+1aux polynômesPn, Pn0, Qn(x) etQ0n.
c) Montrer que, pour tout n∈ N, il exie deux polynômes Pn ∈ Z[X] et Qn ∈ Z[X] tels que Pn(x) =Pn(x2) etQn(x) =xQn(x2).
d) Donner deux relations de récurrence liant les polynômesPn+1etQn+1aux polynômesPn, P
0
n, Qn(x) etQ
0
n. quePnetQnsont de degré inférieur ou égal àn.
) On suppose maintenant queπ2soit un nombre rationnel et l’on écrit doncπ2/4 =p/qoùpetq sont deux entiersriement positifs. On définit alors la suite
In=F2n(π/2) =P2n(π/2) = ¯P2n(p/q)
a) Montrer que, pour toutn≥0, le réelq2nIneun nombre entier et que l’on a q2nIn=
rp q
p 2
2n 1 (2n)!
Z1 0
(1−t2)2ncos πt
2
dt
b) En déduire que, pour toutn≥0, q2nIn
≤ rp
q(p 2)2n 1
(2n)! et, par suite, que lim
n q2nIn= 0.
c) Prouver finalement qu’il exie un indiceN≥0 tel queIN= 0 et conclure.
Exercice .—(Putnam Prize competition) On veut montrer ici que sit∈Retel que pour tout n≥1,nt∈Zalorst∈N.
On se donne un entierN ≥1 et l’on considère, pourx >−N,f(x) = (N+x)t. Pourkentier, on définit lak-ième différence (∆kf) comme étant la fonion obtenue par la relation de récurrence
(∆0f)(x) =f(x)et∀k≥1 (∆kf)(x) = (∆k−1f)(x+ 1)−(∆k−1f)(x) a) Montrer que la fonionf eC∞sur ]−N ,+∞[ et que
(∆kf)(x) = Z 1
0
· · · Z 1
0
f(k)(x+t1+· · ·+tk)dt1· · ·dtk
b) On posek= [t] + 3. Montrer qu’il exieu0>0 tel que pour toutu > u0,|f(k)(u)| ≤u−2. c) Montrer que, pour tout entiern > u0, on a|(∆kf)(n)|<1 et donc que (∆kf)(n) = 0.
d) Prouver finalement qu’il exiek0∈ {0,· · ·, k}tel quet=k0. Exercice .—A/ Pour toutxréel et toutα >0, on pose
Iα(x) = Zα
0
u2du (1 +u2)(1 +x2u2)
) On suppose dans cette queion quex2,1.
a) Trouver deux conantesλetµdépendantes dextelles que pour touturéel, on ait u2
(1 +u2)(1 +x2u2)= λ
1 +u2+ µ 1 +x2u2 b) En déduire la valeur explicite deIα(x).
c) Calculer lim
α→+∞Iα(x).
) On suppose maintenant quex=±1. Calculer explicitementIα(x) et lim
α→+∞Iα(x).
) Prouver alors que la fonionIdéfinie, pourx∈R∗, par I(x) = lim
α→+∞Iα(x) econtinue.
B/ On considère la fonion
f(x) = Z π/2
0
ln
cos2t+x2sin2t dt
a) Donner le domaine de définitionDdef. Montrer quef epaire. Calculerf(1).
b) Montrer quef ede classeC1 surD et donnerf0sous forme d’une intégrale. Prouver alors que
f0(x) = lim
β→π/22x Z β
0
tan2t 1 +x2tan2tdt
c) En opérant le changement de variableu= tantet en utilisant la queion A/, calculer explicite- ment
Z β 0
tan2t
1 +x2tan2tdt. En déduire quef0(x) = 2xI(x) pour toutx∈D.
d) Donner finalement une expression simple pourf(x) et montrer que cette fonion eprolonge- able par continuité àRtout entier.
Exercices variés
Exercice .— On considère une fonion continuef : [0,1]−→R telle que la fonion t 7−→
f(t) +f(
√
1−t2) ne s’annule pas.
Calculer Zπ/2
0
f(sinx)
f(cosx) +f(sinx)dx. En déduire la valeur de Zπ/4
−π/4
dx esinx+ 1. Exercice .—(Intégrale de Dirichlet)
/ Pour toutn≥1, on poseIn= Zπ/2
0
sin(2nt) cost sint dt.
a) Juifier que les intégrales définissant la suite (In)n sont bien définies.
b) CalculerI1.
c) En utilisant des formules de trigonométrie, évaluerIn+1−Inpourn≥1.
d) En déduire la valeur deInpour toutn≥1.
/ On se donne une fonionf : [0, π/2]−→Rde classeC1. Grâce à une intégration par parties et un passage à la limite, montrer que lim
n
Zπ/2
0
f(t) sin(nt)dt= 0.
/ a) On considère la fonionf :]0, π/2]−→Rdéfinie par f(t) =cost
sint−1 t
En effeuant, par exemple, un développement limité en 0, montrer quef se prolonge en une fonion de classeC1sur [0, π/2].
b) Montrer que, pour toutn≥1, l’intégraleJn= Zπ/2
0
sin(2nt)
t dtebien définie.
c) Exprimer In−Jn grâce à la fonionf et, en utilisant la queion/, en déduire la valeur de limn Jn.
/ a) Grâce à une intégration par parties, montrer que la fonionx7−→
Zx
1
sint
t dtpossède une limite en +∞. Prouver qu’il en ede même pour la fonionx7−→
Zx 0
sint t dt.
b) En utilisant la queion.c., calculer finalement Z+∞
0
sint
t dt= lim
x→+∞
Z x 0
sint t dt.
Exercice .—(Longueur d’une courbe) On considère une applicationf : [a, b]−→R et, pour une subdivisions:a=x0< x1<· · ·< xn=bde [a, b] donnée, on appelle longueur def associée às le réel
Ls(f) = Xn
i=1
q
(xi−xi−1)2+ (f(xi)−f(xi−1))2
On dit que la courbe def possède une longueur s’il exie un réel`(f) tel que, pour toutε >0 il exie un réelδ >0 tel que pour toute subdivisionsde [a, b] on ait
π(s)< δ=⇒ |Ls(f)−`(f)|< ε
Après avoir expliqué ce que représente intuitivement le réel`(f), montrer que, si f e de classeC1, alors la courbe def possède une longueur et que l’on a
`(f) = Zb
a
q
1 +f0(t)2dt
Exercice .—On considère des nombres complexesz1,· · ·, zn et l’on veut montrer qu’il exie une partieI⊂ {1,· · ·, n}telle que
X
k∈I
zk
≥ 1 π
n
X
k=1
|zk|
Pour toutk= 1,· · ·, n, on notezk =rkeiθk avecrk ≥0 etθk ∈[0,2π]. Pourθ∈R, on considère la partie
Sθ={z∈C/|Arg(z)−θ| ≤π/2}
Et, enfin, on considère l’applicationh:R−→R, 2π-périodique et définie par ( h(θ) = 1 si|θ| ≤π/2
h(θ) = 0 siπ/2<|θ| ≤π a) Soientθ∈[0,2π] etIθ={k∈ {1,· · ·, n}/ θk∈Sθ}. Montrer que
X
k∈Iθ
zk
≥
n
X
k=1
rkcos(θ−θk)h(θ−θk)
b) Déduire le résultat annoncé en calculant Z 2π
0
ϕ(θ)dθpourϕ(θ) =
n
X
k=1
rkcos(θ−θk)h(θ−θk).
c) Montrer que la conante 1/πeoptimale si l’on désire une inégalité valable pour tout entier n.
(Indication. Pourn≥2 donné, on pourra considérer les racinesn-ième de l’unitéµk(n) et considérer une partieIn⊂ {0,· · ·, n−1}telle que
P
k∈Inµk(n)
soit maximale.)
