TD  – Formule du changement de variable – Corrig´e

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD  – Formule du changement de variable – Corrig´e

0 – Petite question

Soitµune mesure positive sur (R,B(R)) etg:R→R₊une fonion mesurable.

. On suppose que pour toute fonion mesurablef :R→R₊on a Z

f(x)µ(dx) = Z

f(x)g(x)dx.

Que dire deµ?

. On suppose maintenant queµefinie et que pour toute fonion continue born´eef :R→R₊on a Z

f(x)µ(dx) = Z

f(x)g(x)dx.

Que dire deµ? Et si on ne suppose plus que la mesureµefinie ? Corrig´e :

. Si on prendf =1AavecA∈ B(R), on voit que µ(A) =

Z

A

g(x)dx.

Ainsiµela mesure de densit´eg par rapport `a la mesure de Lebesgue.

. On va montrer que la conclusion ela mˆeme. Sia < b∈R, consid´eronsφ_k(x) = (kd(x,]a, b[^c))∧, qui eune fonion lipschitzienne tendant simplement en croissant vers1]a,b[. Ainsi,

Z

φ_n(x)µ(dx) = Z

φ_n(x)g(x)dx, et d’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone, ceci implique

µ(]a, b[) = Z

]a,b[

g(x)dx.

En particulier, ceci impose queg eint´egrable. En utilisant le lemme de la classe monotone, on conclut que

µ(A) = Z

A

g(x)dx

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



pour tout bor´elienA∈ R. Ainsi µ eencore la mesure de densit´eg par rapport `a la mesure de Lebesgue.

Si la mesure µ n’e pas fini mais finie sur tous les compas (ce qui revient `a fire que g e localement int´egrable), il eais´e d’adapt´e le raisonnement pr´ec´edent pour obtenir une conclusion identique.

En revanche, si on ne fait aucune hypoth`ese surµ, le r´esultat tombe en d´efaut, comme le montre le contre-exemple suivant (d ˆu `a Omar Mohsen). On commence par conruire une fonion positive mesurablegd’int´egrale infinie (pour la mesure de Lebesgue) sur tout intervalle ouvert. Soit (r_n)_n≥

une ´enum´eration des rationnels, et consid´erons la fonion mesurable h(x) =X

n≥



ⁿ

√ 

x−r_n1_<x⁻r_n<.

Posons g=h^. On v´erifie que heint´egrable, ce qui implique h <∞p.p. et doncg <∞p.p. En revanche, on v´erifie que pour tousa < b:

Z

]a,b[

g(x)dx=∞.

Soit alorsµla mesure de comptage surR, de sorte que pour tousa < b:

∞=µ(]a, b[) = Z

]a,b[

g(x)dx. ()

Maintenant, sif :R→R₊eune fonion continue born´ee, ´ecrivonsf comme limite croissante de fonions en escalier :

f = lim

n→∞

nⁿ

X

k=−nⁿ i_kinf

n,^k+_n

hf ·1^ik

n,^k+_n

h.

Le th´eor`eme de convergence monotone et () fournissent Z

f(x)µ(dx) = Z

f(x)g(x)dx.

Cependant il n’epas vrai queµ(A) =R

Ag(x)dxpour tout bor´elienA∈R. En effet :

=µ({}), Z

{}

g(x)dx=.

1 – Mesure image

Rappel (mesure image).Soient (E,A, µ) un espace mesur´e, (F,B) un espace mesurable etφ:E→F une fonion mesurable. On rappelle que l’on d´efinit sur (F,B) une mesureν_φappel´ee mesure image de µ parφpar

ν_φ(B) =µ(φ^−(B)), B∈ B. On rappelle que pour tout fonion mesurablef :F→R₊, on a

Z

F

f(x)ν_φ(dx) = Z

E

f(φ(x))µ(dx).



E

^{xercice 1.} (Formule des compl´ements) On noteΓ la fonion d´efinie pourx >par Γ(x) =

Z ∞

 t^x−e^−tdt.

. Calculer la mesure image de la mesure

x^a−y^b−e^−(x+y)1^{x,y≥}dx dy, par l’application (x, y)∈(R₊)^7→(x+y, x/(x+y)).

. En d´eduire la formule des compl´ements : Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b) = Z _

 t^a−(−t)^b−dt.

Corrig´e :

. Soitf :R^

+→R₊une fonion bor´elienne. On veut calculer Z

(R^∗₊)^

f x+y, x x+y

!

x^a−y^b−e^−(x+y)dx dy.

Soitφ: (x, y)∈(R^∗

+)^7→(x+y, x/(x+y)),qui eunC^-diff´eomorphisme surR^∗

+×],[ de jacobien Jac(φ)(x, y) =− 

x+y. D’apr`es la formule du changement de variables, on a

Z

(R^∗₊)^

f x+y, x x+y

!

x^a−y^b−e^−(x+y)dx dy

= Z

(R^∗

+)^

f x+y, x x+y

!

(x+y) x x+y

!a−

(x+y)−(x+y) x x+y

!b−

(x+y)e^−(x+y)(x+y)^−dx dy

= Z

R^∗₊×],[f(u, v)(uv)^a−(u−uv)^b−ue^−udu dv

= Z

R^∗

+×],[f(u, v)e^−uu^a+b−v^a−(−v)^b−du dv.

Donc la mesure image par (x, y)7→(x+y, x/(x+y)) de la mesurex^a−y^b−e^−(x+y)1^{_x,y>^}dx dye e^−uu^a+b−v^a−(−v)^b−1^{u>,<v<}.

. D’apr`es le th´eor`eme de Fubini-Tonelli la masse totale de cette mesure e Z

(R^∗₊)^

x^a−y^b−e^−(x+y)dx dy=Γ(a)Γ(b),

et Z

R^∗₊×],[e^−uu^a+b−v^a−(−v)^b−du dv=Γ(a+b) Z_

 d t^a−(−t)^b−.

On trouve donc la formule des compl´ements.



2 – Calculs de lois `a densit´e

E

^{xercice 2.} Sur un espace de probabilit´e (Ω,A,P), on se donne (X, Y) une variable al´eatoire `a valeurs dansR^.

. On suppose que la loi de (X, Y) e

λµe^−λx−µy1^R₊(x, y)dx dy.

D´eterminer la loi de la variable al´eatoireU= min(X, Y).

. On suppose que la loi de (X, Y) e



πe^−x/1^{x≥}1_[,π](y)dx dy.

D´eterminer la loi de la variable al´eatoire (

√

Xcos(Y),

√

Xsin(Y)).

. On suppose que la loi de (X, Y) e



πe^−x

+y

 dx dy.

Calculer la loi de la variable al´eatoire r´eelle ^X_Y. Corrig´e :

. SoitF:R₊→R₊une fonion bor´elienne. On a, en utilisant le th´eor`eme de Fubini-Tonelli,

E(F(U)) = λµ Z

R^

+

F(min(x, y))e^−(λx+µy)dx dy

= λµ Z

{≤x≤y}

F(x)e^−(λx+µy)dx dy+λµ Z

{≤y≤x}

F(y)e^−(λx+µy)dx dy

= λ

Z ∞

 F(x)e^−λx Z ^∞

x

µe^−µydy

! dx+µ

Z ∞

 F(x)e^−µx Z^∞

x

λe^−λydy

! dx

= (λ+µ) Z ∞

 F(x)e^−(λ+µ)xdx.

La variable al´eatoireU edonc exponentielle de param`etreλ+µ.

. SoitF:R^→R₊une fonion bor´elienne. On a,

E F√

Xcos(Y),

√

Xsin(Y)

= 

π Z ∞



Z _π

 f(

√

xcos(y),

√

xsin(y))e^−x/dx dy

= 

π Z ∞



Z _π

 f(xcos(y), xsin(y))e^−x/x dx dy,

d’apr`es la formule du changement de variables utilis´ee avec leC^-diff´omorphisme suivant : (x, y)∈ R^∗₊×[,π]7→(√

x, y)∈R^∗₊×[,π]. Puis d’apr`es la formule du passage en coordonn´ees polaires,

on a 

π Z ∞



Z_π

 f(xcos(y), xsin(y))e^−x/x dx dy= 

π Z

R^

f(u, v)e^{−(u+v)/}du dv.

La loi de (

√

Xcos(Y),

√

Xsin(Y)) edonc (π)^−e^{−(u+v)/}du dv.

Remarque :les variables

√

Xcos(Y) et

√

Xsin(Y) sont ind´ependantes et de loiN(,).



. Soitg:R→R₊bor´elienne. On a

E

g X

Y

= 

π Z

R^

g x y

! e^−x

+y

 dx dy.

Et (x, y)∈R×R^∗7→(x/y, y)∈R×R^∗eunC^-diff´eormorphisme de jacobieny^−. Donc d’apr`es la formule de changements de variables puis le th´eor`eme de Fubini-Tonelli, on a

Z

R^

g x y

! e^−x

+y

 dx dy = Z

R^

g x y

!

|y|e⁻

y

(^x_y^_+)

|y|^−dx dy

= Z

Rg(u)|v|e^{−v(u+)}du dv

= Z

R

g(u) Z

R

|v|e^{−v(u+)}dv

! du

=  Z

R

g(u)  u^+du.

Donc

E

g X

Y

=  π

Z

R

g(u)  u^+du,

ce qui signifie que la loi deX/Y ela loi de Cauchy, c’e-`a-dire la loi de densit´e (π(+x^))^−par

rapport `a la mesure de Lebesgue.

E

^{xercice 3.} Sur un espace de probabilit´e (Ω,A,P), on se donne une variable al´eatoireN `a valeurs dans Rde loi (√

π)^−e^−x/dx. Calculer la loi de la variable al´eatoire/N^. Corrig´e :SoitF:R₊→R₊une fonion bor´elienne. On a par sym´etrie

E(F(N^−)) = 

√π Z

R

F 

x^

e^−x/dx= 

√π Z

R^∗

+

F 

x^

e^−x/dx.

Etx∈R^∗

+7→x^−∈R^∗

+eunC^diff´eomorphisme de Jacobien−x^−donc d’apr`es la formule du change- ment de variables, on a

Z

R^∗

+

F 

x^

e^−x/dx= Z

R^∗

+

F(u)e^{−/(u)}(u^/)^−du.

Donc la loi de/N^e^√_πu^ _e^{−/(u)}1^{_u>^}du.

E

^{xercice 4.} On consid`ere une source lumineuse ponuelle situ´ee au point (−,) dans le plan. Soitθune variable al´eatoire d´efinie sur un espace de probabilit´es (Ω,A,P), uniforme sur ]−π/, π/[. On suppose que la source ´emet un rayon lumineux en direion de l’axe des ordonn´ees en faisant un angle θavec l’axe des abscisses. D´eterminer la loi de l’ordonn´ee du point d’impadu rayon avec l’axe des ordonn´ees.

Corrig´e : Le point d’impa du rayon lumineux sur l’axe des ordonn´ees e Y = tan(t). Or φ : t ∈ ]−π/, π/[7→ tan(t) ∈ R eun C^-diff´eomorphisme de Jacobien+ tan^(t). Donc, pour F : R →R₊ bor´elienne, on a, d’apr`es la formule du changement de variables,

 π

Z _π/

−π/F(tan(t))dt=  π

Z ₊∞

−∞

F(y) dy

+y^.



La variable al´eatoireY suit donc la loi de Cauchy.µela mesure de densit´egpar rapport `a la mesure de Lebesgue.

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 5. SoitA∈Rd×d}une matrice sym´etrique d´efinie positive. Calculer l’int´egrale Z

R^d

e^−hAx|xiλ_d(dx),

o `uh·|·id´esigne le produit scalaire usuel surR^detλ_dd´esigne la mesure de Lebesgue surR^d. Rappel :R

Re^−x/dx=√

π.

Corrig´e :La matriceAesym´etrique d´efinie positive donc il exieK une matrice sym´etrique d´efinie positive telle queA=K^. Soitφ:x∈R^d7→Kx. L’applicationφeunC^ diff´eomorphisme deR^d dans R^d tel que|Jac(φ)|= det(K). On a donc d’apr`es le th´eor`eme du changement de variables,

Z

R^d

e^−hAx|xiλ_d(dx) = Z

R^d

e^−hKx|Kxiλ_d(dx) = (det(K))^− Z

R^d

e^{−(x+...+xd)}dx_. . . dx_d.

D’apr`es le th´eor`eme de Fubini-Tonelli on a Z

R^d

e^{−(x+...+xd)}dx_. . . dx_d= Y

≤i≤d

Z

R

e^−xdx

!

Or pour chaquei∈ {, . . . , d}on a

Z

R

e^−xdx=

√ π.

On a donc

Z

R^d

e^−hAx|xiλ_d(dx) = s

π^d det(A).

E

^{xercice 6.} Sur un espace de probabilit´e (Ω,A,P), on se donne (X_, . . . , X_n) une variable al´eatoire `a va- leurs dansRⁿde loi

1_[,]ⁿ(x_, . . . , x_n)dx_. . . dx_n.

. Conruire, `a l’aide des ´ev`enements A_σ = {X_σ < . . . < X_σn} pour σ ∈ S_n, n variables al´eatoires Y_, . . . , Y_nsur (Ω,A,P) telles que

Y_(ω)≤. . .≤Y_n(ω) et {Y_(ω), . . . , Y_n(ω)}={X_(ω), . . . , X_n(ω)} pour presque toutω∈Ω.

. D´eterminer les lois des variables al´eatoires (Y_, . . . , Y_n) et (Y_/Y_, . . . , Y_n−/Y_n).

Corrig´e :



. Soiti∈ {, . . . , n}. On peut d´efinir pour presque toutω∈Ω, Y_i(ω) = X

σ∈S_n

X_σi(ω)1^{X_σ(ω)<...<X_σn(ω)}.

En effet, la mesure de Lebesgue des hyperplans deRⁿ o `u deux coordonn´ees sont ´egales enulle.

Ainsi, les variables al´eatoiresY_, . . . , Y_nsont bien d´efinies.

. Soitf : [,]ⁿ→R₊une fonion bor´elienne. On a

E(f(Y_, . . . , Y_n)) = X

σ∈S_n

Z

{≤x_σ<...<x_σn≤}

f(x_σ, . . . , x_σn)dx_. . . dx_n

= n!

Z

{≤x_<...<x_n≤}

f(x_, . . . , x_n)dx_. . . dx_n. La loi de (Y_, . . . , Y_n) edonc

n!1^{_^≤x_<...<x_n≤}dx_. . . dx_n. Soit maintenantg: ],[^n−→R₊une fonion bor´elienne. On a

E g Y_

Y_, . . . ,Y_n−

Y_n

!!

=n!

Z

{<x_<...<x_n<}

g x_

x_, . . . ,x_n−

x_n

!

dx_. . . dx_n.

Etφ: (x_, . . . , x_n)∈ {< x_< . . . < x_n<} 7→_x

x_, . . . ,^x_x^n−

n , x_n

∈],[ⁿ eun C^-diff´eomorphisme de jacobien ´egal `a (x<sub></sub>. . . x<sub>n</sub>)<sup>−</sup>. Ainsi, d’apr`es la formule de changements de variables puis le th´eor`eme de Fubini-Tonelli, on a

E g Y_

Y_, . . . ,Y_n−

Y_n

!!

= n!

Z

],[ⁿg(u_, . . . , u_n−)u_u_^. . . u_nⁿ−⁻^u_n^n−du_. . . du_n

= (n−)!

Z

],[^n−g(u_, . . . , u_n−)u_u_^. . . u_nⁿ−⁻^du_. . . du_n−. Donc la loi de (Y_/Y_, . . . , Y_n−/Y_n) e

(n−)!u_u_^. . . u_nⁿ−^−1_],[^n−(u_, . . . , u_n−)du_. . . du_n−.

Remarque :les variablesY_/Y_, . . . , Y_n−/Y_nsont ind´ependantes, et chacune des variablesY_i/Y_i+

ede loiiy^i−1_],[(y)dy.

Fin

