Informatique - DEGEAD 2 Universit´e Paris-Dauphine
Repr´ esentation binaire des nombres
Exercice 1 : Repr´esentation binaire
On consid`ere la repr´esentation sur 4 bits en binaire des nombres entiers naturels (on n’envisage pas les entiers n´egatifs).
Q 1.1 Quels sont les nombres entiers naturels que l’on peut coder ? Q 1.2 Quel est le nombre repr´esent´e par 10112?
Q 1.3On consid`ere l’algorithme ci-dessous o`uN etM sont des nombres binaires stock´es sur 4 bits (o`u on consid`ere que N(i) est le i`eme chiffre en partant de la gauche de N, ainsi si N = 1101, N(1) = 1, N(2) = 1, N(3) = 0 etN(4) = 1 :
j =1 M(1)=0
Pour i a l l a n t de 2 `a 4 M( i )=N( j )
j=j +1 F i n po u r
Ex´ecuter cet algorithme pourN = 10112. Quelle valeur obtient-on pourM? Quel est le nombre repr´esent´e parM? Que fait cet algorithme ?
Q 1.4 On appelle M le nombre binaire obtenu en multipliant un nombre binaire N de taille n par 2.
Quelle va ˆetre la taille deM? En utilisant la mˆeme repr´esentation que dans la question pr´ec´edente, ´ecrire un algorithme qui calcule M.
Exercice 2 : Conversion d’un entier positif en base 2
Dans cet exercice, on suppose qu’un nombre binaire est stock´e sur la premi`ere ligne de la feuille Excel en mettant un chiffre par cellule. Ainsi le nombre binaire 10010 par exemple est stock´e dans la feuille Excel en mettant 1 dans les cellules L1C1 et L1C4 et 0 dans les cellules L1C2, L1C3 et L1C5.
Q 2.1 Ecrire une fonction decToBin convertissant un d´ecimal en binaire. Cette fonction prend deux param`etres : le nombre entier `a convertirnet un entiernBitsrepr´esentant le nombre de bits de l’´ecriture binaire. La fonction retournera vrai si la conversion est possible (i.e. le nombre de bits est suffisant) et faux sinon. De plus, elle ´ecrit le nombre binaire obtenu dans la feuille Excel sur la premi`ere ligne.
Q 2.2 Ecrire une macro pour tester votre fonction.
Q 2.3 Ecrire une fonction BinToDecqui, ´etant donn´ee la taille de la repr´esentation du nombre binaire stock´e dans la feuille de calcul, retourne la valeur d´ecimale de ce nombre.
Q 2.4 Ecrire une macro pour tester votre fonction.
Q 2.5 Ecrire une macro verification qui demande `a l’utilisateur de saisir un nombre compris entre 0 et 1023, convertit ce nombre en binaire en le stockant dans la feuille de calcul, convertit le nombre binaire obtenu en d´ecimal, et enfin v´erifie que l’entier d´ecimal obtenu est bien le mˆeme que celui saisi par l’utilisateur. On remarque que si le nombre saisi par l’utilisateur est compris entre 0 et 1023, sa
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repr´esentation binaire n´ecessite au maximum 10 bits.
Q 2.6 Ecrire une proc´edure affbin qui ´etant donn´e un nombre n, v´erifie que ce nombre est binaire (constitu´e uniquement de 0 ou de 1), puis le place dans la feuille calcul Excel sur la premi`ere ligne. Si le nombre n’est pas binaire,affbinaffiche un message d’erreur.
Exercice 3 : Calcul binaire sur des entiers positifs
On consid`ere dans cet exercice que la feuille de calcul Excel contient deux nombres binairesN1 etN2 de taille n,N1 est sur la premi`ere ligne, de la colonne 1 `a la colonne n, etN2 est sur la deuxi`eme ligne, sur les mˆemes colonnnes.
Q 3.1 Ecrire la proc´edure additionne qui, ´etant donn´ee la taille n de N1 et N2, additionne les deux nombres binaires N1 et N2 et stocke le r´esultat sur la troisi`eme ligne de la feuille Excel. Si le r´esultat n´ecessite plus de nbits, alors additionneaffiche un message d’erreur.
Q 3.2 Ecrire la proc´eduresoustrait qui, ´etant donn´ee la taille ndeN1 et N2, effectue la soustraction de N1 par N2 et stocke le r´esultat sur la troisi`eme ligne de la feuille Excel.
Exercice 4 : Conversion d’un entier relatif
On suppose quenbest un nombre binaire repr´esent´e sur la premi`ere ligne de la feuille de calcul Excel de taille 8.
Q 4.1 Ecrire une proc´edure compl1 qui calcule le compl´ement `a 1 de nb et le place dans la deuxi`eme ligne de la feuille de calcul Excel.
Q 4.2 Ecrire une fonction plus1 qui, ´etant donn´e un num´ero de ligne, ajoute 1 au nombre binaire repr´esent´e sur cette ligne sur 8 bits et retourne faux en cas de d´epassement de capacit´e et vrai sinon.
Q 4.3 Ecrire une fonction decToBinR, qui ´etant donn´e un nombre relatif n, calcule la repr´esentation binaire sur 8 bits denet retourne vrai si c’est possible et faux sinon.
Q 4.4 Ecrire une fonction binToDecR qui calcule la valeur d´ecimale d’une repr´esentation binaire de l’entier relatif stock´e sur la premi`ere ligne de la feuille de calcul.
