D´emontrer que vn est le n−i`eme chiffre dans la repr´esentation binaire d’un nombre irrationnel que l’on d´eterminera

Diophante E123

On d´efinit la suite des entiers u_n par son premier terme u₁ = 1 et la formule de r´ecurrence u_n+1 = jp

2u_n(u_n+ 1)k

dans laquelle b· · ·c d´esigne la partie enti`ere par d´efaut. Dans un deuxi`eme temps, on d´etermine la suite des entiers vn d´efinie pour tout entier n > 1 par v_n =u_2n+1−2u_2n−1. D´emontrer que v_n est le n−i`eme chiffre dans la repr´esentation binaire d’un nombre irrationnel que l’on d´eterminera.

→ Solution de Bruno Langlois.

Notations : sik ∈Z, on pose r_k= 2^k√

2 .

Notons que six∈R, on a 2bxc6b2xc62bxc+ 1 donc sik ∈Z, on a : 2rk−1 6r_k 62rk−1+ 1 (?)

Montrons tout d’abord le r´esultat suivant : Proposition :pour tout n∈N^∗, u_n=j√

2ⁿ⁻¹+√ 2ⁿ⁻²k

. D´emonstration : par r´ecurrence surn.

− La proposition est clairement vraie au rangn = 1.

− Supposons la proposition vraie `a un rang n∈N^∗.

• Cas o`un est pair : n= 2k avec k ∈N^∗.

On a un= 2^k−1+rk−1 donc 2un(un+ 1) = 2^2k−1+ 2^k+ 2^k+1rk−1 + 2(r²_k−1 +rk−1).

Montrons que (2^k+r_k−1)² 6

|{z}

(1)

2u_n(u_n+ 1) <

|{z}

(2)

(1 + 2^k+r_k−1)², ce qui revient `a affirmer que jp

2u_n(u_n+ 1)k

= 2^k+rk−1, soit u_n+1 =j√

2ⁿ+√ 2ⁿ⁻¹k

(proposition au rang n+ 1).

En effet, il est facile de voir que : (2) ⇔ r_k−1² <1 + 2^k+ 2^2k−1 , ce qui est vrai car : r²_k−1 6 2^k−1√

2²

= 2^2k−1 <1 + 2^k+ 2^2k−1.

D’autre part : (1) ⇔ r²_k−1+ 2rk−1 >2^2k−1−2^k ⇔ (rk−1+ 1)² >2^2k−1−2^k+ 1, ce qui est vrai car rk−1+ 1>2^k−1√

2 donc (rk−1 + 1)² >2^2k−1 >2^2k−1 −2^k+ 1.

• Cas o`un est impair : n= 2k+ 1 avec k ∈N.

On a u_n= 2^k+r_k−1 donc 2u_n(u_n+ 1) = 2^2k+1+ 2^k+1+ 2^k+2r_k−1 + 2(r²_k−1 +r_k−1).

Montrons que (2^k+r_k)² 62u_n(u_n+ 1)<(1 + 2^k+r_k)² (\) , ce qui revient `a ´etablir que jp

2u_n(u_n+ 1)k

= 2^k+r_k, soit u_n+1 =j√

2ⁿ+√ 2ⁿ⁻¹k

(proposition au rang n+ 1).

Or en tenant compte de (?), on voit que :

2^2k+1+ 2^k+1r_k+¹₂r_k²− ¹₂ 62u_n(u_n+ 1)62^2k+1+ 2^k+1+ 2^k+1r_k+r_k+¹₂r_k² . 1

Ainsi, pour ´etablir que (\) est vraie, il suffit de prouver que : 2^2k+1+ 2^k+1rk+¹₂r_k²−¹₂ >

|{z}

(3)

(2^k+rk)² et 2^2k+1+ 2^k+1+ 2^k+1rk+rk+¹₂r²_k <

|{z}

(4)

(1 + 2^k+rk)². On voit facilement que : (4) ⇔ 2^2k < r_k+ ¹₂r²_k+ 1 ⇔ (r_k+ 1)² > 2^2k+1−1, ce qui est vrai vu que r_k+ 1>2^k√

2 donc (r_k+ 1)² >2^2k+1 >2^2k+1−1.

D’autre part : (3) ⇔ 2^2k− ¹₂ > ¹₂r_k² ⇔ r_k² 6 2^2k+1−1, ce qui est vrai car r_k < 2^k√ 2 (on ar_k 62^k√

2, l’´egalit´e ne pouvant avoir lieu car√

2 est irrationnel) donc r_k² <2^2k+1, soit r²_k 62^2k+1−1.

Cons´equences :sin ∈N^∗, on a u_2n+1= 2ⁿ+rn−1 et u2n−1 = 2ⁿ⁻¹+rn−2. On en d´eduit que v_n=u_2n+1−2u2n−1 =rn−1−2rn−2 ∈ {0; 1} [voir (?)].

De plus,

n

P

k=1

v_k2^1−k =

n

X

k=1

2^1−ku_2k+1−2^2−ku_2k−1

| {z }

sommet´elescopique

= u_2n+1

2ⁿ⁻¹ −2 = rn−1

2ⁿ⁻¹ = √ 2bx_nc

x_n avec

x_n= 2ⁿ⁻¹√

2 donc lim

n→+∞

n

P

k=1

v_k2^1−k =√ 2.

,→ vn est donc le n−i`eme chiffre dans l’´ecriture binaire de √ 2.

2