I) Nombres relatifs Définitions :
Un nombre précédé ou non d’un signe « + », est un nombre positif. Il est supérieur à 0.
Un nombre précédé du signe « – », est un nombre négatif. Il est inférieur à 0.
L’ensemble de tous les nombres positifs et de tous les nombres négatifs est appelé ensemble des nombres relatifs. Ces nombres sont relatifs à zéro.
Exemples :
Nombres positifs : 9 et +5,3. Nombres négatifs : –17 et –2,35.
Nombres relatifs : –17 ; 9 ; –2,35 et +5,3.
Droite graduée :
0 1 2 3 4 5 6
Nombres négatifs Nombres positifs –5 –4 –3 –2 –1
Nombre relatifs
Exception :
Le nombre zéro est considéré un nombre à la fois positif et négatif. +0 = –0 = 0.
Calculatrice : Pour entrer –17, on tape : (–) 17 ou 17 +/-.
II) Repérage sur une droite (graduée) Définition : (Voir aussi le ch. 1)
Chaque point d'une droite graduée (ou axe) peut être repéré par un nombre relatif, appelé l’abscisse du point.
Notation :
L’abscisse d’un point M sur une droite graduée est souvent notée « xM».
Définitions :
Un nombre relatif est déterminé par son signe (+ ou –) et sa partie numérique appelée distance à l'origine (ou à zéro). (On dira plus tard « valeur absolue ».)
Deux nombres relatifs de signes contraires (ou différents) et de même distance à l'origine sont dits opposés.
Exemples : Repère (O, I) :
O
0 1
I
x' x Sens positif
Origine Longueur unité
P
M N
3,8
ON = 3,8 OP = 3,8
OM = 5 –3,8
–5 Chapitre
Nombres relatifs
5
Abscisse : Le point P a pour abscisse le nombre 3,8. On note : P(3,8).
–5 est l’abscisse de M. On peut noter : xM = –5.
Distance à l’origine : M est à la distance 5 « à gauche » de l'origine O de la droite graduée. Il est situé à 5 unités du point O. Le nombre 5 est la distance à l'origine du nombre –5.
Nombres opposés : O est le milieu de [NP]. Les points N et P sont symétriques par rapport à O. Leurs abscisses –3,8 et +3,8 sont opposées. –3,8 et 3,8 sont deux nombres opposés. L'opposé de 3,8 est –3,8. On note : opp(3,8) = –3,8. L'opposé de –3,8 est 3,8.
III) Comparaison Règles :
De deux nombres de signes contraires, le plus petit est le nombre négatif.
De deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à l'origine (le plus éloigné de zéro).
Symboles : (Voir aussi le ch. 1)
« < » se lit « est strictement inférieur à », et « ≤ » se lit « est inférieur ou égal à ».
« > » se lit « est strictement supérieur à », et « ≥ » se lit « est supérieur ou égal à ».
Les signes « ≤ » ou « ≥ » peuvent être placés entre deux nombres égaux.
Exemples :
–8,5 < 3 ; –1,75 < –1,7 car 1,75 > 1,7 (–1,75 est plus éloigné de 0 que –1,7).
0 1 2 3 4
< <
< < < <
< <
–4 –3 –2 –1
du plus petit au plus grand
En parcourant la droite graduée dans le sens indiqué par la flèche, –1,75 est « avant » –1,7.
IV) Addition Règle 1 :
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
On conserve leur signe commun
On additionne leurs distances à l'origine.
Règle 2 :
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :
On conserve le signe de celui qui a la plus grande distance à l'origine
On soustrait ( ) la plus petite distance à l'origine de la plus grande.
Propriété :
La somme de deux nombres opposés est égale à zéro.
Conventions :
Pour simplifier l'écriture d'une somme, on convient d'écrire le premier terme sans parenthèses, et les nombres positifs sans signe et sans parenthèses :
Exemples : Même signe :
( ) (
+5 + +15)
=+(
5+15)
= +20Les 2 nombres sont positifs.
(
−3,5) (
+ −4,3) (
=−3,5+4,3)
= −7,8Les 2 nombres sont négatifs.
Signes contraires :
(
−10) ( ) (
+ +3 =−10−3)
= −710 > 3 donc le signe de (–10) « l'emporte ».
(
−5,2) (
+ +15)
=+(
15−5,2)
= +9,815 > 5,2 donc le signe de (+15) « l'emporte ».
Propriétés :
(–3) + (+3) = 0 (–5) + (+8) = (+8) + (–5) = +3.
Simplification :
(–9) + (+7) s'écrit –9 + 7 ; (–2) + (–5) s'écrit –2 + (–5) ; (+6) + (–3) s'écrit 6 + (–3) ou –3 + 6.
Remarque :
Le signe « + » a deux significations : Symbole Signe 22 + (+ 9)
de l'addition
du nombre relatif (positif) V) Soustraction
Règle :
Pour soustraire un nombre, on peut additionner son opposé.
Traduction : a et b désignent des nombres relatifs. b – a = b + opp(a) = b + (–a) Exemples :
( )
8 7( )
8 7 8 7− − = +− = +opp = 15 Soustraire –8, c'est ajouter son opposé 8 –17 – 5 = –17 + (–5) = –22 (+10) – (+30) = 10 – 30 = 10 + (–30) = –20 –5,7 – (–9,4) = –5,7 + (+9,4) = –5,7 + 9,4 = 9,4 – 5,7 = 3,7.
Remarque :
Le signe « – » a deux significations : Symbole Signe 22 – (– 9)
de la soustraction
du nombre relatif (négatif) VI) Organisation d’un calcul
Méthode :
Pour effectuer une suite d’additions de nombres relatifs, on peut :
Effectuer les calculs dans l’ordre d’écriture (de gauche à droite)
Ou bien regrouper les termes dont la somme est facile à calculer (les opposés s’il y a lieu ; les positifs d’une part et les négatifs d’autre part).
Définition :
Une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs est appelée une somme algébrique.
Méthode :
Pour effectuer une somme algébrique, on peut l’écrire à l’aide d’additions uniquement.
(Soustraire un nombre revient à additionner l’opposé de ce nombre.)
Exemple :
Somme algébrique en regroupant les termes dont la somme est facile à calculer : –3,5 – 7 + 10 – (–3,5) – 2 + 5,7 + (–5,2) Somme algébrique
= –3,5 + (–7) + 10 + 3,5 + (–2) + 5,7 + (–5,2) Somme
= 3,5 3,5 10 5,7
( ) ( ) (
7 2 5,2)
Nombres Nombresopposés positifs Nombresnégatifs
− + + + + − + − + −
= 0 + 15,7 + (–14,2) = 1,5 Convention :
Pour simplifier encore l'écriture d'une somme ou d’une différence, on convient de ne plus mettre les parenthèses entourant les nombres relatifs.
Méthode :
On transforme certaines additions en soustractions
Ou vice versa (additionner l’opposé d’un nombre revient à soustraire ce nombre).
Exemples :
Simplification d’écriture :
8 + (–5) s’écrit 8 – 5 et 8 – (–5) s’écrit 8 + 5.
Simplification d’une somme algébrique :
( ) ( )
3,5 7 10 3,5 2 5,7 5,2
10 3 5, 5,7 5,2
− − + − − − + + −
+ −
Somme algébrique
Additions sous-entendues
Somme algébrique simplifiée
= – 3,5 – 7 + 10 + 3,5 – 2 + 5,7 – 5,2
–3,5 ; –7 ; 10 ; 3,5 ; –2 ; 5,7 et –5,2 sont les termes de la somme.
Somme algébrique simplifiée en regroupant au mieux : 1 – 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 – 8 + 9
= 1 – 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 – 8 + 9
= – 2 – 5 – 7 – 8 + 1 + 3 + 4 + 6 + 9
= – 22 + 23
= 1
VII) Repérage dans le plan (quadrillé) Définitions : (Voir aussi le ch. 13)
Un repère du plan est constitué de deux droites graduées de même origine.
Si ces deux droites sont perpendiculaires alors le repère est dit orthogonal.
Remarque :
Les deux axes ont la même origine mais pas nécessairement la même unité de longueur.
Définition :
Chaque point du plan peut être repéré par deux nombres relatifs, appelés les coordonnées du point.
La première coordonnée, lue sur l'axe des abscisses (« axe 1 », horizontal), s'appelle l'abscisse du point.
La seconde, lue sur l'axe des ordonnées (« axe 2 », vertical), s'appelle l'ordonnée du point.
Exemples : Repère (O, I, J) :
0 1
1,6 2,4
Axe des ordonnées
B+
+ A
Axe des abscisses x
y
x'
y' x
Origine du repère
J I 1 –4
– 3
C(0 ;4)
Coordonnées :
Le point A est repéré par le nombre relatif +1,6 sur l’axe des abscisses et le nombre relatif – 3 sur l’axe des ordonnées.
Le point A a donc pour abscisse 1,6 et pour ordonnée –3, d’où pour coordonnées le couple (1,6
; –3). On écrit :
Abscisse en 1er Ordonnée en 2nd A(1,6;–3 )
De même, B(–4 ; 2,4).
Attention ! L’ordre des points a une importance.
(Astuce : la lettre a est la 1ère lettre de l’alphabet donc l’abscisse est la 1ère coordonnée.)