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Nombres relatifs. Nombres négatifs Nombres positifs. Exception : Le nombre zéro est considéré un nombre à la fois positif et négatif. +0 = 0 = 0.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

I) Nombres relatifs Définitions : 

 Un nombre précédé ou non d’un signe « + », est un nombre positif. Il est supérieur à 0.

 Un nombre précédé du signe « – », est un nombre négatif. Il est inférieur à 0.

 L’ensemble de tous les nombres positifs et de tous les nombres négatifs est appelé ensemble des nombres relatifs. Ces nombres sont relatifs à zéro.

Exemples :

Nombres positifs : 9 et +5,3. Nombres négatifs : –17 et –2,35.

Nombres relatifs : –17 ; 9 ; –2,35 et +5,3.

Droite graduée :

0 1 2 3 4 5 6

Nombres négatifs Nombres positifs –5 –4 –3 –2 –1

Nombre relatifs

Exception :

Le nombre zéro est considéré un nombre à la fois positif et négatif. +0 = –0 = 0.

Calculatrice : Pour entrer –17, on tape : (–) 17 ou 17 +/-.

II) Repérage sur une droite (graduée) Définition :  (Voir aussi le ch. 1)

Chaque point d'une droite graduée (ou axe) peut être repéré par un nombre relatif, appelé l’abscisse du point.

Notation :

L’abscisse d’un point M sur une droite graduée est souvent notée « xM».

Définitions :

 Un nombre relatif est déterminé par son signe (+ ou –) et sa partie numérique appelée distance à l'origine (ou à zéro). (On dira plus tard « valeur absolue ».)

 Deux nombres relatifs de signes contraires (ou différents) et de même distance à l'origine sont dits opposés.

Exemples : Repère (O, I) :

O

0 1

I

x' x Sens positif

Origine Longueur unité

P

M N

3,8

ON = 3,8 OP = 3,8

OM = 5 –3,8

–5 Chapitre

Nombres relatifs

5

(2)

Abscisse : Le point P a pour abscisse le nombre 3,8. On note : P(3,8).

–5 est l’abscisse de M. On peut noter : xM = –5.

Distance à l’origine : M est à la distance 5 « à gauche » de l'origine O de la droite graduée. Il est situé à 5 unités du point O. Le nombre 5 est la distance à l'origine du nombre –5.

Nombres opposés : O est le milieu de [NP]. Les points N et P sont symétriques par rapport à O. Leurs abscisses –3,8 et +3,8 sont opposées. –3,8 et 3,8 sont deux nombres opposés. L'opposé de 3,8 est –3,8. On note : opp(3,8) = –3,8. L'opposé de –3,8 est 3,8.

III) Comparaison Règles :

De deux nombres de signes contraires, le plus petit est le nombre négatif.

De deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à l'origine (le plus éloigné de zéro).

Symboles : (Voir aussi le ch. 1)

« < » se lit « est strictement inférieur à », et « ≤ » se lit « est inférieur ou égal à ».

« > » se lit « est strictement supérieur à », et « ≥ » se lit « est supérieur ou égal à ».

Les signes « ≤ » ou « ≥ » peuvent être placés entre deux nombres égaux.

Exemples :

–8,5 < 3 ; –1,75 < –1,7 car 1,75 > 1,7 (–1,75 est plus éloigné de 0 que –1,7).

0 1 2 3 4

< <

< < < <

< <

–4 –3 –2 –1

du plus petit au plus grand

En parcourant la droite graduée dans le sens indiqué par la flèche, –1,75 est « avant » –1,7.

IV) Addition Règle 1 : 

Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :

 On conserve leur signe commun

 On additionne leurs distances à l'origine.

Règle 2 :

Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :

 On conserve le signe de celui qui a la plus grande distance à l'origine

 On soustrait ( ) la plus petite distance à l'origine de la plus grande.

Propriété :

La somme de deux nombres opposés est égale à zéro.

Conventions :

Pour simplifier l'écriture d'une somme, on convient d'écrire le premier terme sans parenthèses, et les nombres positifs sans signe et sans parenthèses :

Exemples : Même signe :

(3)

( ) (

+5 + +15

)

=+

(

5+15

)

= +20

Les 2 nombres sont positifs.

(

3,5

) (

+ 4,3

) (

=3,5+4,3

)

= 7,8

Les 2 nombres sont négatifs.

Signes contraires :

(

10

) ( ) (

+ +3 =103

)

= 7

10 > 3 donc le signe de (–10) « l'emporte ».

(

5,2

) (

+ +15

)

=+

(

155,2

)

= +9,8

15 > 5,2 donc le signe de (+15) « l'emporte ».

Propriétés :

(–3) + (+3) = 0 (–5) + (+8) = (+8) + (–5) = +3.

Simplification :

(–9) + (+7) s'écrit –9 + 7 ; (–2) + (–5) s'écrit –2 + (–5) ; (+6) + (–3) s'écrit 6 + (–3) ou –3 + 6.

Remarque :

Le signe « + » a deux significations : Symbole Signe 22 + (+ 9)

de l'addition

du nombre relatif (positif) V) Soustraction

Règle : 

Pour soustraire un nombre, on peut additionner son opposé.

Traduction : a et b désignent des nombres relatifs. b – a = b + opp(a) = b + (–a) Exemples : 

( )

8 7

( )

8 7 8 7− − = +− = +

opp = 15 Soustraire –8, c'est ajouter son opposé 8 –17 – 5 = –17 + (–5) = –22 (+10) – (+30) = 10 – 30 = 10 + (–30) = –20 –5,7 – (–9,4) = –5,7 + (+9,4) = –5,7 + 9,4 = 9,4 – 5,7 = 3,7.

Remarque :

Le signe « – » a deux significations : Symbole Signe 22 – (– 9)

de la soustraction

du nombre relatif (négatif) VI) Organisation d’un calcul

Méthode :

Pour effectuer une suite d’additions de nombres relatifs, on peut :

 Effectuer les calculs dans l’ordre d’écriture (de gauche à droite)

 Ou bien regrouper les termes dont la somme est facile à calculer (les opposés s’il y a lieu ; les positifs d’une part et les négatifs d’autre part).

Définition :

Une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs est appelée une somme algébrique.

Méthode :

Pour effectuer une somme algébrique, on peut l’écrire à l’aide d’additions uniquement.

(Soustraire un nombre revient à additionner l’opposé de ce nombre.)

(4)

Exemple :

Somme algébrique en regroupant les termes dont la somme est facile à calculer : –3,5 – 7 + 10 – (–3,5) – 2 + 5,7 + (–5,2) Somme algébrique

= –3,5 + (–7) + 10 + 3,5 + (–2) + 5,7 + (–5,2) Somme

= 3,5 3,5 10 5,7

( ) ( ) (

7 2 5,2

)

Nombres Nombresopposés positifs Nombresnégatifs

− + + +  + − + − + −

= 0 + 15,7 + (–14,2) = 1,5 Convention :

Pour simplifier encore l'écriture d'une somme ou d’une différence, on convient de ne plus mettre les parenthèses entourant les nombres relatifs.

Méthode :

 On transforme certaines additions en soustractions

 Ou vice versa (additionner l’opposé d’un nombre revient à soustraire ce nombre).

Exemples : 

Simplification d’écriture :

8 + (–5) s’écrit 8 – 5 et 8 – (–5) s’écrit 8 + 5.

Simplification d’une somme algébrique :

( ) ( )

3,5 7 10 3,5 2 5,7 5,2

10 3 5, 5,7 5,2

− − + − − − + + −

+ −

  Somme algébrique

Additions sous-entendues

Somme algébrique simplifiée

= – 3,5 – 7 + 10 + 3,5 – 2 + 5,7 – 5,2

–3,5 ; –7 ; 10 ; 3,5 ; –2 ; 5,7 et –5,2 sont les termes de la somme.

Somme algébrique simplifiée en regroupant au mieux : 1 – 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 – 8 + 9

= 1 – 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 – 8 + 9

= – 2 – 5 – 7 – 8 + 1 + 3 + 4 + 6 + 9

= – 22 + 23

= 1

VII) Repérage dans le plan (quadrillé) Définitions : (Voir aussi le ch. 13)

 Un repère du plan est constitué de deux droites graduées de même origine.

 Si ces deux droites sont perpendiculaires alors le repère est dit orthogonal.

Remarque :

Les deux axes ont la même origine mais pas nécessairement la même unité de longueur.

Définition :

Chaque point du plan peut être repéré par deux nombres relatifs, appelés les coordonnées du point.

 La première coordonnée, lue sur l'axe des abscisses (« axe 1 », horizontal), s'appelle l'abscisse du point.

(5)

 La seconde, lue sur l'axe des ordonnées (« axe 2 », vertical), s'appelle l'ordonnée du point.

Exemples : Repère (O, I, J) :

0 1

1,6 2,4

Axe des ordonnées

B+

+ A

Axe des abscisses x

y

x'

y' x

Origine du repère

J I 1 –4

– 3

C(0 ;4)

Coordonnées :

Le point A est repéré par le nombre relatif +1,6 sur l’axe des abscisses et le nombre relatif – 3 sur l’axe des ordonnées.

Le point A a donc pour abscisse 1,6 et pour ordonnée –3, d’où pour coordonnées le couple (1,6

; –3). On écrit :

Abscisse en 1er Ordonnée en 2nd A(1,6;–3 )

De même, B(–4 ; 2,4).

Attention ! L’ordre des points a une importance.

(Astuce : la lettre a est la 1ère lettre de l’alphabet donc l’abscisse est la 1ère coordonnée.)

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