TD SA 11 Repr´esentation d’´etat d’un pendule

TD SA 11

Repr´esentation d’´etat d’un pendule

TD ` a rendre pour le 17 D´ ecembre 2004

1 Chariot et pendule

Un pendule est accroch´e `a un chariot. On veut asservir la position du chariot et r´eguler l’angle du pendule. Ce syst`eme est mis en mouvement par un moteur pouvant d´eplacer le chariot. Pour simplifier, la commande sera la force F horizontale appliqu´ee au chariot. Les ´equations m´ecaniques donnant l’´evolution de la position x du chariot et de l’angle θ du pendule sont non lin´eaires. Si l’angle du pendule est petit, ces ´equations se lin´earisent et donnent :

mcx¨ = −mpgθ+F (1) m_cl_pθ¨ = −(m_c+m_p)gθ+F (2) o`u :

– m_p = 100g est la masse du pendule – m_c = 200g est la masse du chariot

– g = 10ms⁻² est l’acc´el´eration dˆue `a l’attraction terrestre – l_p = 50cm est la demi-longueur du pendule

1.1 Repr´ esentation d’´ etat

Donner une repr´esentation d’´etat de ce syst`eme qui a une entr´ee : la force F appliqu´ee au chariot et deux sorties : la position xet l’angleθ. On choisira d’utiliser les variables physiques. Les deux premi`eres variables d’´etat devront ˆ

etre x et θ. Donner l’ordre de ce syst`eme.

1

q

F

x

Fig. 1 – Chariot muni d’un pendule

1.2 Observabilit´ e

On appelle matrice d’observabilit´e d’un syst`eme la matrice form´ee par les vecteurs ou matrices C, C.A, C.A<sup>2</sup>, . . . , C.A<sup>n−1</sup>. Le rang de cette matrice permet de savoir quelles sont les variables d’´etat que l’on pourra calculer `a partir de la mesure de la sortie. Quel est le rang de la matrice d’observabilit´e pour notre syst`eme? Et si la sortie est l’angle θ seulement, est-ce que le rang de la matrice d’observabilit´e change?

1.3 Syst` eme r´ eduit

Pour la suite, on ne s’int´eresse `a l’angle θ du syst`eme. On n’utilisera alors que les variables d’´etat n´ecessaires. Calculer la fonction de transfert du syst`eme entre la sortie θ et l’entr´ee F `a partir de l’´equation diff´erentielle (2) du syst`eme. En d´eduire une repr´esentation d’´etat. Quel est l’ordre de ce syst`eme?

1.4 Retour d’´ etat

Proposer un correcteur `a retour d’´etat qui stabilise le syst`eme en choisis- sant comme fonction de transfert en BF

T(p) = 10

(p+ 3)(p+ 10)

2