Lycée Paul Rey Denis Augier
Chapitre 5 : Résumé Loi binomiale.
I Rappels.
Valeur :xi x1 x2 ... xn
Probabilité : PpX“xiq PpX “x1q PpX “x2q ... PpX“xnq
Pour l’espérance :EpXq “ řn
k“1
xkPpX“xnq Pour la variance :VpXq “E`
X2˘
´EpXq2 “ řn
k“1
x2kPpX “xnq ´EpXq2 Pour l’écart type : σpXq “a
VpXq
II Loi binomiale
• Une épreuve de Bernoulliest une expérience aléatoire à deux issues (que l’on nomme dans le langage probabiliste "succès" ou "échec".)
On dira de la variable aléatoire associé (valant 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec) qu’elle suit une loi de Bernoulli dont le paramètre sera la probabilité pdu succès.
• Lorsque l’on répètenfois une même expérience de Bernoulli. Si l’on considère l’arbre modélisant cette expérience, le nombre de chemin réalisant k succès correspond aucoefficient binomial: ("combinaison de k parmi n") noté :
ˆn k
˙ Définition 1
A Coefficients binomiaux
Soient nPN etkPJ0;nK, on a les propriétés :
• ˆn
0
˙
“ ˆn
n
˙
“1
• ˆn
k
˙
“ ˆ n
n´k
˙
•
ˆn`1 k`1
˙
“ ˆn
k
˙
` ˆ n
k`1
˙
(ici k<n, cette formule est la formule de Pascal1)
• ˆn
k
˙
“ n´k`1 k
ˆ n k´1
˙
(Ici ką0, 12ième formule du traité de Pascal)
• ˆn
k
˙
“ n!
pn´kq!ˆk! “
kfacteurs
hkkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkj nˆ pn´1q ˆ...ˆ pn´k`1q
kˆ pk´1q ˆ...ˆ1 looooooooooomooooooooooon
kfacteurs
(Formule factorielle.) Proposition 1
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Comme :
ˆn`1 k`1
˙
“ ˆn
k
˙
` ˆ n
k`1
˙
n \ k 0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
Comme : ˆn
k
˙
“ n´k`1 k
ˆ n k´1
˙
k \ (n-k+1) 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 6
2 1 3 6 10 15
3 1 4 10 20
4 1 5 15
5 1 6
8 1
Si l’on veut calculer :
ˆ10 3
˙
“ 10!
7!ˆ3! “
3 facteurs
hkkkkikkkkj 10ˆ9ˆ8 3ˆ2ˆ1 loooomoooon
3 facteurs
“120 Méthode 1
B Définitions : Schéma de Bernoulli
• Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
• Si l’on réalise un schéma de Bernoulli composé de n épreuves de Bernoulli identiques et indé- pendantes de paramètre p.
On dira de la variable aléatoire X qui donne le nombre de succès de l’expérience qu’elle suit une loi binomiale de paramètre n et p. On pourra noté X „Bpn;pq.
Définition 2
C Loi Binomiale.
Si l’on considère un schéma de Bernoulli modélisé par la variable aléatoireX „Bpn;pq(c’est-à-dire : répétition de n expériences de Bernoulli de paramètre p de façon indépendante). Alors :
PpX “kq “ ˆn
k
˙
pkp1´pqn´k
(probabilité de réaliser ksuccès sur les nexpériences) Proposition 2
SiX „Bpn;pq alors :
‚ EpXq “np ‚ VpXq “npp1´pq ‚ σpXq “? npq Proposition 3
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