PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.10:LOIBINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGEFICHE1
Exercice 1 bernoulli ou pas ?
1) Un joueur gagne 1eavec la probabilité de 0,5 ou perd 1eavec la probabilité de 0,3. Est-ce uneépreuve de bernoulli?
2) Un joueur gagne 10eavec la probabilité de 0,2 ou perd 2eavec la probabilité de 0,8. Est-ce uneépreuve de bernoulli?
3) On a écrit les neuf lettres du nom « BERNOULLI » sur des cartons. On pioche un carton au hasard et on observe si la lettre est une voyelle ou une consonne. Est-ce uneépreuve de bernoulli?
4) Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches. On tire successivement etsans remise 4 boules de l’urne en notant à chaque fois sa couleur. Est-ce un schéma de bernoulli? 5) Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches. On tire successivement etavec remise
4 boules de l’urne en notant à chaque fois sa couleur. Est-ce un schéma de bernoulli? 6) Une classe comprend 70% de filles. On désigne au hasard deux élèves de la classe et on note
s’il s’agit d’une fille ou d’un garçon. Est-ce unschéma de bernoulli?
7) Lors d’une épreuve de saut à la perche trois perchistes de niveaux différents tentent l’un après l’autre de passer la barre des 6 mètres. Est-ce unschéma de bernoulli?
8) Lors d’une épreuve de saut à la perche le même perchiste tente de passer trois fois de suite la barre des 6 mètres. On admet qu’à chaque fois la probabilité qu’il a de réussir son saut est la même. Est-ce unschéma de bernoulli?
Exercice 2 - Épreuve de bernoulli (1)
Dans chaque cas, expliquer pourquoi il s’agit d’une épreuve de bernoulli puis proposer un schéma de bernoulli. Attention à l’indépendance des épreuves !
1) On lance un dé cubique bien équilibré. On observe si le « 6 » apparaît.
2) On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on observe s’il s’agit d’un roi.
3) On dispose d’un trousseau de 5 clés dont une seulement ouvre la porte. On essaye une clé au hasard.
Exercice 3 - Épreuve de bernoulli (2)
Dans chaque cas, expliquer pourquoi il s’agit d’une épreuve de bernoulli puis proposer un schéma de bernoulli. Attention à l’indépendance des épreuves !
1) 1% des pièces fabriquées par une chaîne d’usinage présentent un défaut. On prélève une pièce au hasard - parmi un nombre très important de pièces - et on observe si elle présente un défaut.
2) Dans un QCM pour chaque question 4 réponses sont proposées dont une seule est correcte.
On répond au hasard à une des questions.
3) On choisit un chiffre au hasard - entre 0 et 9 - et on observe s’il est divisible par 3.
Exercice 4 - Schéma de bernoulli (1)
Dans chaque cas, représenter à l’aide d’une arbre pondéré le schéma de bernoulli proposé.
1) Au tir à l’arc, Guillaume atteint la cible quatre fois sur cinq. Il effectue quatre tirs successifs.
2) Dans une région pétrolifère la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est de 0,15. On effectue 3 forages au hasard.
S-EXERCICESCHAP.10:LOIBINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGEFICHE2
Exercice 5 - Schéma de bernoulli (2)
Dans chaque cas, représenter à l’aide d’une arbre pondéré le schéma de bernoulli proposé.
1) On estime que le nombre de gauchers dans la population française est d’environ 12%. On choisit 5 personnes au hasard et on observe si elles sont gauchères ou droitières.
2) Le cycle d’allumage d’un feu tricolore est le suivant :
• 15 secondes VERT ;
• 5 secondes ORANGE ;
• 40 secondes ROUGE.
Lors d’un parcours on rencontre successivement 3 feux tricolores.
On passe si le feu est VERT, sinon on s’arrête.
Exercice 6 - Coefficients binomiaux (1)
L’arbre pondéré ci-contre représente un schéma de bernoulli.
On rappelle que n
k
représente le nombre de chemins réalisant k succès pournrépétitions.
1) À partir de l’arbre, déterminer les coefficients binomiaux :
3 0
, 3
1
, 3
2
et 3
3
.
2) Calculer
3
X
k=0
3 k
de deux façons différentes.
Exercice 7 - Coefficients binomiaux (2)
1) Construire un arbre qui représente une répétition de 4 épreuves de bernoulli identiques et indépendantes.
2) À partir de l’arbre, calculer les coefficients binomiaux : 4
0
, 4
1
, 4
2
, 4
3
et 4
4
.
Exercice 8 - Coefficients binomiaux (3)
On sait que 10
4
= 210 et que 10
5
= 252.
En déduire la valeur des entiers : 1)
10 6
2) 11
5
Exercice 9 - Coefficients binomiaux (4)
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.10:LOIBINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGEFICHE3
Exercice 10 - Coefficients binomiaux (5)
1) Compléter avec la calculatrice le tableau suivant avec les coefficients binomiaux pourn= 8.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
8 k
2) Vérifier que :
8
X
k=0
8 k
= 28
Exercice 11 - Loi binomiale (1)
Il naît en moyenne 106 garçons pour 100 filles.
1) Un enfant va naître. Quelle est la probabilité de l’événement « cet enfant sera une fille » ? 2) Dans une famille, il naît cinq enfants. Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de
filles de la famille.
a) Quelle est la loi de probabilité de X ?
b) Calculer la probabilité pour qu’il y ait dans cette famille trois filles et deux garçons.
Exercice 12 - Loi binomiale (2)
Dans une compagnie d’assurance, on a pu constater que sur les 12 000 assurés, 600 avaient au moins une déclaration de sinistre dans l’année.
La compagnie possède un dossier pour chaque assuré. On prélève au hasard et avec remise 10 de ces 12 000 dossiers. On note X la variable aléatoire donnant, parmi les 10 dossiers prélevés, le nombre d’assurés ayant fait une déclaration de sinistre dans l’année.
1) Quelle est la loi suivie par X ?
2) Calculer la probabilité qu’un seul assuré parmi les dix choisis ait fait au moins une déclaration de sinistre dans l’année.
3) Calculer la probabilité qu’au moins un assuré parmi les dix ait fait une déclaration de sinistre dans l’année.
Exercice 13 - Loi binomiale (3)
On lance deux dés cubiques bien équilibrés. On gagne si les chiffres des deux dés sont identiques.
1) Calculer la probabilité de gagner.
2) On répète quatre fois l’expérience et on définit la variable aléatoire X donnant le nombre de parties gagnées.
a) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
b) Déterminer la probabilité de ne gagner aucune fois.
c) Déterminer la probabilité de gagner deux fois.
S-EXERCICESCHAP.10:LOIBINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGEFICHE4
Exercice 14 - Loi binomiale (4)
Au biathlon, les skieurs doivent réaliser une série de cinq tirs couchés à 50 m sur des cibles de 45 mm de diamètre. Les meilleurs biathlètes mondiaux touchent leur cible 9 fois sur 10. On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de tirs réussis dans une série.
1) Montrer que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2) a) Dresser la loi de probabilité de X.
b) Déterminer la probabilité de toucher au plus 4 cibles.
c) Déterminer la probabilité de toucher au moins 3 cibles.
3) Calculer l’espérance de X et interpréter ce résultat.
Exercice 15 - Loi binomiale (5)
Une urne contient une boule noire et des boules blanches. On tire 6 fois avec remise et on définit la variable aléatoirexdonnant le nombre de boules blanches tirées. X suit une loi binomiale B(6, p).
1) Exprimerp(X = 6) en fonction dep.
2) a) Déterminer la plus petite valeur dep(arrondie au centième) pour que la probabilité de ne tirer que des boules blanches soit supérieure à 0,5.
b) En déduire le nombre minimal de boules blanches à mettre dans l’urne.
c) Que vaut alorsp(X = 6) ?
Exercice 16 - Loi binomiale (6)
Une variable aléatoire suit une loi binomialeB(n, p).
Montrer que quel que soitn, la variance est maximale lorsquep=1 2.
Exercice 17 - Loi binomiale (7)
Une variable aléatoire suit une loi binomialeB(n, p).
Son espérance vaut 0,4 et son écart type 0,6.
Déterminernet p.
Exercice 18 - Loi binomiale (8)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomialeB
8,1 4
. On a repré- senté la loi de probabilité de X par un diagramme en bâtons.
En utilisant le graphique, calculer en ar- rondissant à 10−3 près :
1) P(X = 2).
2) P(X62).
3) En déduire P(X>2).
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.10:LOIBINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGEFICHE5
Exercice 19 - Loi binomiale (9)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomialeB
8,1
2
. On a repré- senté la loi de probabilité de X par un diagramme en bâtons.
En utilisant le graphique, calculer en ar- rondissant à 10−3 près :
1) P(X = 4).
2) P(X64).
3) En déduire P(X>4).
Exercice 20 - Loi binomiale (10)
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomialeB
8,3 4
. On a repré- senté la loi de probabilité de X par un diagramme en bâtons.
En utilisant le graphique, calculer en ar- rondissant à 10−3 près :
1) P(X = 6).
2) P(X>6).
3) En déduire P(X66).
Exercice 21 - Loi binomiale (11)
k P(X=k) 0 0,056313515 1 0,187711716 2 0,281567574 3 0,250282288 4 0,145998001 5 0,0583992 6 0,016222 7 0,003089905 8 0,000386238 9 2,86102E-05 10 9,53674E-07
On dispose du calcul des valeurs de P(X =k), pour X suivant une loi binomiale de paramètresnetp, avecn= 10.
1) À l’aide de la table, déterminer P(X63).
2) Calculer E(X), en déduire la valeur dep.
Exercice 22 - Échantillonnage (1)
Un véhicule automobile doit être présenté tous les 2 ans à un centre de contrôle technique. En 2013, environ 17 millions de véhicules ont été contrôlés en visite initiale. Environ 20% d’entre eux ont dû être présentés à un contrôle complémentaire après réparation.
On s’intéresse à des échantillons de taille 100 pris parmi les véhicules contrôlés.
À l’aide de la loi binomiale de paramètres 100 et 0,2, donner l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% des effectifs de tels échantillons.
S-EXERCICESCHAP.10:LOIBINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGEFICHE6
Exercice 23 - Échantillonnage (2)
Une machine doit produire chaque jour 5 000 boulons. En fonctionnement normal, la probabilité qu’un boulon soit défectueux est de 0,01. Les défauts sont indépendants.
1) Justifier que le nombre de boulons défectueux suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Déterminer l’intervalle de fluctuation à 95%.
2) On observe qu’il y a 60 boulons défectueux. Peut-on penser qu’il y a un problème ?
Exercice 24 - Intervalle de fluctuation
k P(X=k) 0 1,42725E-05 1 0,000192678 2 0,001285415 3 0,005656361 4 0,018496015 5 0,048027219 6 0,103398227 7 0,190409812 8 0,307331628 9 0,443740413 10 0,583559418 11 0,710667605 12 0,813943007 13 0,889413492 14 0,93927792 15 0,969196577 16 0,985558343 17 0,993739225
On donne un extrait d’une feuille de calcul concernant une variable aléatoire X, suivant une loi binomiale de paramètres n = 50 et p= 0,2.
1) Déterminer le plus petit entieratel que : P(X6a)>0,025.
2) Déterminer le plus petit entierb tel que : P(X6b)>0,975.
3) En déduire l’intervalle de fluctuation à 95% de la variable aléatoire X.
4) Un jeu consiste à tirer une boule dans une urne contenant 2 boules blanches et 8 boules noires. On gagne lorsque l’on tire une boule blanche.
Sur les 50 personnes ayant joué, 5 ont gagné.
Le résultat de la question 2) permet-il de soupçonner de tricherie l’organisateur du jeu.
Exercice 25
Dans le métro, il y a 9% des voyageurs qui fraudent. Chaque jour, à la station Wagram, on contrôle 200 personnes.
Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre de fraudeurs sur ces 200 personnes. On admet que X suit une loi binomiale.
1) Déterminer les paramètres de la loi que suit X.
2) Combien de personnes, en moyenne, vont être signalées en fraude lors de ce contrôle ? 3) Si le prix du ticket est de 1,70e, quel doit être le prix de l’amende pur, qu’en moyenne, l’éta-
blissement régissant le métro ne perde pas d’argent avec les fraudeurs de la station Wagram, sachant qu’il y a 5 000 voyageurs qui transitent chaque jour dans cette station.
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.10:LOIBINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGEFICHE7
Exercice 26
Dans cet exercice les probabilités seront calculées à 10−3 près.
Une usine fabrique des ampoules. Lorsque la pro- duction fonctionne correctement, le pourcentage d’ampoules défectueuses est de 4%.
On fait régulièrement des contrôles de qualité qui consistent à dénombrer le nombre d’ampoules défectueuses dans un lot de 500 ampoules préle- vées au hasard. On considère que la production est suffisamment importante pour que le prélè- vement d’un lot puisse être assimilé à un tirage avec remise.
Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre d’ampoules défectueuses dans un lot de 500 ampoules.
1) Justifier que X suit une loi binomiale de paramètresn= 500 etp= 0,04.
2) Calculer E(X). Que représente ce nombre ? 3) Calculer - avec la calculatrice - la proba- bilité qu’il y ait exactement 12 ampoules défectueuses dans ce lot.
4) a) Calculer - avec la calculatrice - p(X 6 12).
b) En déduire la probabilité qu’il y ait au moins 13 ampoules défectueuses dans ce lot.
5) Utiliser le tableau obtenu avec le tableur pour déterminer P(206X625).
6) On estime que la production ne fonctionne pas correctement lorsqu’il y a plus delam- poules défectueuses, aveclle plus petit en- tier vérifiantp(X6l)>0,95.
a) Déterminer - avec le tableau - la va- leur del.
b) Lors d’un contrôle, la proportion d’ampoules défectueuses du lot de 500 ampoules est de 5%.
Peut-on considérer que la production fonctionne correctement ? Justifier.
S-EXERCICESCHAP.10:LOIBINOMIALE-ÉCHANTILLONNAGEFICHE8
Exercice 27
Les résultats approchés seront donnés sous forme décimale, arron- dis à 10−3.
Pour répondre aux questions on pourra s’aider d’arbres pondérés.
Un centre d’entraînement réputé se voit confier de très nombreux chevaux, juments et mâles, spécialisés en trotteurs ou en galopeurs selon leurs aptitudes. Ainsi le centre comprend 62 % de galopeurs, 30 % de juments dont 35 % font du galop.
On définit les événements suivants :
• J : « Le cheval est une jument »,
• T : « Le cheval est un trotteur ».
Un lad, chargé des soins, choisit au hasard un cheval du centre.
1) Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit un trotteur ?
2) a) Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit une jument qui fasse du galop ? b) Quelle est la probabilité que le cheval choisi soit un mâle qui fasse du galop ? 3) Le lad a choisi un mâle. Quelle est la probabilité que ce ne soit pas un trotteur ?
4) Tôt le matin, il faut transporter quatre chevaux, du centre d’entraînement à l’hippodrome.
Pour cela, un apprenti choisit les chevaux au hasard et de manière indépendante (on admettra que le nombre de chevaux hébergés dans ce centre est suffisamment grand pour pouvoir modéliser le choix des quatre chevaux par des tirages successifs avec remise).
a) Calculer la probabilité qu’il y ait exactement deux trotteurs parmi les quatre chevaux choisis.
b) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un galopeur parmi les quatre chevaux choisis.
