Probabilit´ es conditionnelles Exercices corrig´ es
Exercice 1 : (solution)
Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de la circulation.
85 % des dossiers entraˆınent des frais de r´eparation mat´erielle. 20 % des dossiers entraˆınent des frais de dommages corporels. Parmi les dossiers entraˆınant des frais de r´eparation mat´erielle, 12 % entraˆınent des frais de dommages corporels.
Soit les ´ev´enements suivants : R : « le dossier trait´e entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle » ; D : « le dossier trait´e entraˆıne des frais de dommages corporels » . On choisit un dossier au hasard.
Dans tout l’exercice, les r´esultats seront donn´es sous forme d´ ecimale , arrondis au milli`eme pr`es.
1. a. Recopier et compl´eter le tableau.
R R
Total
D D
Total 85 100
b. Recopier et compl´eter l’arbre pond´er´e.
0,85
R
0,12
D
. . .
D
. . .
R
. . .D
. . .
D
2. On choisit un dossier au hasard. Calculer la probabilit´e pour qu’un dossier : a. entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle et des frais de dommages corporels ; b. entraˆıne seulement des frais de r´eparation mat´erielle ;
c. entraˆıne seulement des frais de dommages corporels ;
d. n’entraˆıne ni frais de r´eparation mat´erielle ni frais de dommages corporels ;
e. entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle sachant qu’il entraˆıne des frais de dommages corporels.
3. On constate que 40% des dossiers trait´es correspondent `a des exc`es de vitesse et parmi ces derniers 60%
entraˆınent des frais de dommages corporels.
On note E : « le dossier trait´e correspond `a un exc`es de vitesse » .
a. On choisit un dossier. Quelle est la probabilit´e p pour que ce dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels ?
b. On choisit cinq dossiers de fa¸con ind´ependante. Quelle est la probabilit´e pour qu’au moins un dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels ?
c. Soit n un entier (n > 1). On choisit n dossiers de fa¸con ind´ependante. D´eterminer la valeur minimale de n pour que la probabilit´e qu’au moins un dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels, soit sup´erieure ou ´egale `a 0,9.
Attendre l’´etude de la fonction logarithme n´ep´erien pour r´esoudre cette question.Exercice 2 : (solution)
Un jeu consiste `a lancer des fl´echettes sur une cible. La cible est partag´ee en quatre secteurs, comme indiqu´e sur
la figure ci-dessous.
0 point 5 points
0 point
3 points
On suppose que les lancers sont ind´ependants et que le joueur touche la cible `a tous les coups.
1. Le joueur lance une fl´echette.
On note p
0la probabilit´e d’obtenir 0 point.
On note p
3la probabilit´e d’obtenir 3 points.
On note p
5la probabilit´e d’obtenir 5 points.
On a donc p
0+ p
3+ p
5= 1.
Sachant que p
5= 1
2 p
3et que p
5= 1
3 p
0d´eterminer les valeurs de p
0, p
3et p
5·
2. Une partie de ce jeu consiste `a lancer trois fl´echettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les 3 lancers) sup´erieur ou ´egal `a 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total sup´erieur ou
´egal `a 8 points, il ne lance pas la troisi`eme fl´echette.
On note G
2l’´ev`enement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers » . On note G
3l’´ev`enement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers » . On note P l’´ev`enement : « le joueur perd la partie » .
On note p(A) la probabilit´e d’un ´ev`enement A.
a. Montrer, en utilisant un arbre pond´er´e, que p (G
2) = 5 36 . On admettra dans la suite que p (G
3) = 7
36 b. En d´eduire p(P).
3. Un joueur joue six parties avec les r`egles donn´ees `a la question 2.
Quelle est la probabilit´e qu’il gagne au moins une partie ? 4. Pour une partie, la mise est fix´ee `a 2 e .
Si le joueur gagne en deux lancers, il re¸coit 5 e . S’il gagne en trois lancers, il re¸coit 3 e . S’il perd, il ne re¸coit rien.
On note X la variable al´eatoire correspondant au gain alg´ebrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : − 2, 1 et 3.
a. Donner la loi de probabilit´e de X.
b. D´eterminer l’esp´erance math´ematique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Exercice 3 : (solution)
Une entreprise confie `a une soci´et´e de sondage par t´el´ephone une enquˆete sur la qualit´e de ses produits.
On admet que lors du premier appel t´el´ephonique, la probabilit´e que le correspondant ne d´ecroche pas est 0,4 et que s’il d´ecroche, la probabilit´e pour qu’il r´eponde au questionnaire est 0,3.
On pourra construire un arbre pond´er´e.
1. On note :
• D
1l’´ev´enement : « la personne d´ecroche au premier appel » ;
• R
1l’´ev´enement : « la personne r´epond au questionnaire lors du premier appel » .
Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement R
1.
2. Lorsqu’une personne ne d´ecroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilit´e pour que le correspondant ne d´ecroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilit´e pour qu’il r´eponde au questionnaire sachant qu’il d´ecroche est 0,2. Si une personne ne d´ecroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.
On note :
• D
2l’´ev´enement : « la personne d´ecroche au second appel » ;
• R
2l’´ev´enement : « la personne r´epond au questionnaire lors du second appel » ;
• R l’´ev´enement : « la personne r´epond au questionnaire » . Montrer que la probabilit´e de l’´ev´enement R est 0,236.
3. Sachant qu’une personne a r´epondu au questionnaire, calculer la probabilit´e pour que la r´eponse ait ´et´e donn´ee lors du premier appel. (on donnera la r´eponse arrondie au milli`eme)
4. Un enquˆeteur a une liste de n personnes `a contacter (n > 1). Les sondages aupr`es des personnes d’une mˆeme liste sont ind´ependants.
a. Calculer en fonction de n, la probabilit´e qu’au moins une personne de la liste r´eponde au questionnaire.
b. D´eterminer le nombre minimal de personnes que doit contenir la liste pour que la probabilit´e qu’au moins l’une d’entre elles r´eponde au questionnaire, soit sup´erieure `a 0,9.
Attendre l’´etude de la fonction logarithme n´ep´erien pour r´esoudre cette question.Exercice 4 : (solution)
Dans un pays imaginaire, on admet qu’un jour donn´e soit il fait beau, soit il pleut !
S’il fait beau un jour, alors il fera beau le jour suivant avec une probabilit´e ´egale `a
12. S’il pleut un jour, alors il pleuvra encore le lendemain avec un probabilit´e ´egale `a
23.
Aujourd’hui il pleut.
On s’int´eresse `a la probabilit´e qu’il fasse beau demain, dans 2 jours, dans 3 jours, . . . , dans n jours.
1. Pour n > 1, on d´esigne par B
nl’´ev´enement « il fera beau dans n jours » .
a. Illustrer par un arbre pond´er´e l’´evolution possible de la m´et´eo pour demain et apr`es demain. Donner P (B
1) et calculer P (B
2) .
b. Donner, pour n > 1, les valeurs de P
Bn(B
n+1) et P
Bn
(B
n+1).
Exprimer P (B
n+1∩ B
n) et P B
n+1∩ B
nen fonction de P (B
n) . Prouver que, pour n > 1, P (B
n+1) =
16P (B
n) +
13.
2. On suppose d´esormais, pour n > 1, p
n= P (B
n) et u
n= p
n−
25
. a. Prouver que (u
n) est une suite g´eom´etrique.
b. En d´eduire l’expression de u
n, puis de p
nen fonction de n, pour n > 1.
c. ´ Etudier le sens de variation de la suite (p
n) et montrer que cette suite admet une limite que l’on calculera.
Peut-on interpr´eter ces r´esultats ?
Solution n˚1 :
Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de la circulation.
85 % des dossiers entraˆınent des frais de r´eparation mat´erielle. 20 % des dossiers entraˆınent des frais de dommages corporels. Parmi les dossiers entraˆınant des frais de r´eparation mat´erielle, 12 % entraˆınent des frais de dommages corporels.
Soit les ´ev´enements suivants : R : « le dossier trait´e entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle » ; D : « le dossier trait´e entraˆıne des frais de dommages corporels » . On choisit un dossier au hasard.
Dans tout l’exercice, les r´esultats seront donn´es sous forme d´ ecimale , arrondis au milli`eme pr`es.
1. a.
R R Total
D 10,2 9,8 20
D 74,8 5,2 80
Total 85 15 100
b.
0,85
R
0,12
D
D
0,88
R
0,15
0,653
D
D
0,347
La probabilit´e d’un chemin est ´egale au produit des poids situ´es sur ce chemin.
2. On utilise l’arbre pond´er´e.
a. P(D ∩ R) = P
R(D) × P (R) = 0,12 × 0,85 = 0,102
La probabilit´e que le dossier entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle et des frais de dommages cor- porels est 0,102.
b. P(D ∩ R) = P
RD
× P (R) = 0,88 × 0,85 = 0,748
La probabilit´e que le dossier entraˆıne seulement des frais de r´eparation mat´erielle est 0,748.
c. P(D ∩ R) = P
R(D) × P (R) = 0,653 × 0,15 = 0,098
La probabilit´e que le dossier entraˆıne seulement des frais de dommages corporels est 0,098.
d. P(D ∩ R) = P
RD
× P (R) = 0,347 × 0,15 = 0,052
La probabilit´e que le dossier n’entraˆıne ni frais de r´eparation mat´erielle ni frais de dommages corporels
0,052.
e. P
D(R) = P (D ∩ R)
P(D) = 0,102
0,2 = 0,51
La probabilit´e que le dossier entraˆıne des frais de r´eparation mat´erielle sachant qu’il entraˆıne des frais de dommages corporels est 0,51 .
3. a. p = P(D ∩ E) = P
E(D) × P (E) = 60 100 × 40
100 = 0,24 p = 0,24
La probabilit´e pour que ce dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels est p = 0,24.
b. On choisit cinq dossiers de fa¸con ind´ependante. On est donc dans une situation d’ind´ependance.
La probabilit´e qu’aucun des 5 dossiers ne corresponde `a « un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels » est (1 − p)
5. Donc la probabilit´e pour qu’au moins un dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels est 1 − (1 − p)
5, soit 0,746.
c. Soit n un entier (n > 1). On choisit n dossiers de fa¸con ind´ependante. On est donc dans une situation d’ind´ependance.
La probabilit´e qu’aucun des n dossiers ne corresponde `a « un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels » est (1 − p)
n. Donc la probabilit´e pour qu’au moins un dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels est 1 − (1 − p)
n, soit 1 − (0,76)
n. D’o` u, 1 − (0,76)
n> 0,9.
1 − (0,76)
n> 0,9
⇐⇒ (0,76)
n6 0,1
⇐⇒ ln (0,76)
n6 ln 0,1
⇐⇒ nln 0,76 6 ln 0,1
⇐⇒ n > ln 0,1
ln 0,76 car ln 0,76 < 0
Or, ln 0,1
ln 0,76 ≈ 8,39. La valeur minimale de n pour que la probabilit´e qu’au moins un dossier corresponde
`a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels, soit sup´erieure ou ´egale `a 0,9, est 9 (9 dossiers).
Solution n˚2 :
Un jeu consiste `a lancer des fl´echettes sur une cible. La cible est partag´ee en quatre secteurs, comme indiqu´e sur la figure ci-dessous.
0 point 5 points
0 point
3 points
On suppose que les lancers sont ind´ependants et que le joueur touche la cible `a tous les coups.
1. On sait que p
5=
12p
3donc p
3= 2p
5. De plus, p
5=
13p
0donc p
0= 3p
5.
Comme p
0+ p
3+ p
5= 1, on en d´eduit que 3p
5+ 2p
5+ p
5= 1 ⇐⇒ 6p
5= 1 ⇐⇒ p
5=
16Ainsi, p
0=
12, p
3=
13et p
5=
16.
2. Une partie de ce jeu consiste `a lancer trois fl´echettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les 3 lancers) sup´erieur ou ´egal `a 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total sup´erieur ou
´egal `a 8 points, il ne lance pas la troisi`eme fl´echette.
On note G
2l’´ev`enement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers » . On note G
3l’´ev`enement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers » . On note P l’´ev`enement : « le joueur perd la partie » .
On note p(A) la probabilit´e d’un ´ev`enement A.
a.
0 point
1 2
0 point
1 2
3 points
1 3
5 points
1 6
3 points
1 3
0 point
1 2
3 points
1 3
5 points
1
6 G2
est r´ealis´e
5 points
1 6
0 point
1 2
3 points
1 3
G2
est r´ealis´e
5 points
1
6 G2
est r´ealis´e
La probabilit´e d’un chemin est ´egale au produit des poids situ´es sur ce chemin. D’o` u, p(G
2) =
13×
16
+
16×
13
+
16×
16
= ⇒ p (G
2) =
365. On admettra dans la suite que p (G
3) =
367b. P est l’´ev´enement « le joueur gagne en 2 ou 3 lancers » . Ainsi, p(P ) = p(G
2)+p(G
3) car les ´ev´enements G
2et G
3sont incompatibles. On a donc p(P) =
13. D’o` u, p(P ) =
23.
3. Un joueur joue six parties avec les r`egles donn´ees `a la question 2.
En consid´erant l’´ev´enement contraire, puisque les lancers sont ind´ependants, la probabilit´e de perdre les six parties est
236. On en d´eduit que la probabilit´e de gagner au moins une des six parties est 1 −
23
6. 4. Pour une partie, la mise est fix´ee `a 2 e .
Si le joueur gagne en deux lancers, il re¸coit 5 e . S’il gagne en trois lancers, il re¸coit 3 e . S’il perd, il ne re¸coit rien.
a. D’apr`es les probabilit´es calcul´ees dans les questions pr´ec´edentes, la loi de probabilit´e de X est :
k − 2 1 3
p(X = k)
23 367 365b. L’esp´erance math´ematique de X est
grand nombre de parties alors son gain moyen serait de − 0,72 e . On peut dire que le jeu est d´efavorable au joueur.
(Le joueur peut«esp´erer»perdre)Solution n˚3 :
1. En utilisant les donn´ees de l’exercice, on peut construire l’arbre pond´er´e suivant :
D
1 0,6R
1 0,3R
1 0,7D
1 0,4La probabilit´e d’un chemin est ´egale au produit des poids situ´es sur ce chemin.
L’´ev´enement R
1correspond `a l’´ev´enement « la personne d´ecroche au premier appel et r´epond au questionnaire lors du premier appel » .
P (D
1∩ R
1) = P
D1(R
1) × P(D
1) = 0,6 × 0,3 = 0,18 La probabilit´e de l’´ev´enement R
1est 0,18.
2. On compl`ete l’arbre pr´ec´edent :
D
1 0,6R
1 0,3R
1 0,7D
1 0,4D
2 0,7R
2 0,2R
2 0,8D
2 0,3La probabilit´e d’un chemin est ´egale au produit des poids situ´es sur ce chemin.
L’´ev´enement R correspond `a l’´ev´enement « la personne d´ecroche au premier appel et r´epond au questionnaire lors du premier appel ou la personne ne d´ecroche pas au premier appel mais d´ecroche au second et repond au questionnaire lors du second appel » .
P(R) = P(D
1∩ R
1) + P (D
1∩ D
2∩ R
2) car les ´ev´enements D
1∩ R
1et D
1∩ D
2∩ R
2sont disjoints. Ces deux derniers ´ev´enements correspondent chacun `a une branche de l’arbre. Pour calculer la probabilit´e correspondant
`a une branche, on multiplie les poids de cette branche.
D’o` u P (R) = 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,7 × 0,2 = 0,236
La probabilit´e de l’´ev´enement R est 0,236.
3. Sachant qu’une personne a r´epondu au questionnaire, la probabilit´e pour que la r´eponse ait ´et´e donn´ee lors du premier appel correspond `a P
R(R
1).
P
R(R
1) = P (R ∩ R
1)
P (R) = P (R
1)
P (R) = 0,18
0,236 ≈ 0,763
Sachant qu’une personne a r´epondu au questionnaire, la probabilit´e pour que la r´eponse ait ´et´e donn´ee lors du premier appel est 0,763.
4. a. On calcule dans un premier temps la probabilit´e qu’aucune des n personnes ne r´eponde au questionnaire.
La probabilit´e qu’une personne ne r´eponde pas au questionnaire est P (R) = 1 − P (R).
Les sondages aupr`es des personnes d’une mˆeme liste sont ind´ependants. Donc, la probabilit´e qu’aucune des n personnes ne r´eponde au questionnaire est (1 − P (R))
n.
Ainsi, par passage `a l’´ev´enement contraire, la probabilit´e qu’au moins une personne r´eponde au question- naire est 1 −
1 − P (R)
n, soit 1 − 0,764
n.
b. On est ramen´e `a r´esoudre dans cette question, l’in´equation 1 − 0,764
n> 0,9.
1 − 0,764
n> 0,9
⇐⇒ − 0,764
n> − 0,1
⇐⇒ 0,764
n6 0,1
⇐⇒ ln (0,764
n) 6 ln0,1 car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞ [
⇐⇒ nln0,764 6 ln0,1
⇐⇒ n > ln0,1
ln0,764 car ln0,764 < 0 Or, ln0,1
ln0,764 ≈ 8,55
On en d´eduit que la liste doit contenir au moins 9 personnes pour que la probabilit´e qu’au moins l’une d’entre elle r´eponde au questionnaire, soit sup´erieure `a 0,9.
Solution n˚4 :
1. a. ` A l’aide des informations donn´ees dans l’´enonc´e, on construit l’arbre pond´er´e suivant sachant qu’il pleut aujourd’hui :
B
11 3
B
21 2
B
21 2
B
12 3
B
21 3
B
22 3
La probabilit´e d’un chemin est ´egale au produit des poids situ´es sur ce chemin.
On a P (B
1) = 1 3 .
B
1et B
1forment une partition de l’univers. D’apr`es la formule des probabilit´es totales,
P (B
2) = P (B
2∩ B
1) + P B
2∩ B
1= P
B1(B
2) × P (B
1) + P
B1
(B
2) × P B
1= 1 2 × 1
3 + 1 3 × 2
3 P (B
2) = 7
18 b. Soit n > 1 :
on a P
Bn(B
n+1) = 1
2 et P
Bn
(B
n+1) = 1 3 .
Donc P (B
n+1∩ B
n) = P
Bn(B
n+1) × P (B
n), soit P (B
n+1∩ B
n) = 1
2 P (B
n).
et P B
n+1∩ B
n= P
Bn
(B
n+1) × P B
n= P
Bn
(B
n+1) ×
1 − P (B
n) , soit P (B
n+1∩ B
n) = 1
3
1 − P (B
n) .
B
net B
nforment une partition de l’univers. D’apr`es la formule des probabilit´es totales, P (B
n+1) = P (B
n+1∩ B
n) + P B
n+1∩ B
n= 1
2 P (B
n) + 1 3
1 − P (B
n)
= 1
6 P (B
n) + 1 3
Ainsi, pour tout entier n > 1, P (B
n+1) = 1
6 P (B
n) + 1 3 . 2. Pour n > 1, p
n= P (B
n) et u
n= p
n− 2
5 . a. Soit n > 1 :
u
n+1= p
n+1− 2 5
= 1 6 p
n+ 1
3 − 2
5 d’apr`es la question 1.b
= 1
6 p
n− 1 15
= 1
6 p
n− 2 30
= 1 6
p
n− 2
5
= 1 6 u
nAinsi, pour tout entier n > 1, u
n+1= 1
6 u
n. la suite (u
n) est une suite g´eom´etrique de raison q = 1 6 et de premier terme u
1= p
1− 2
5 = 1 3 − 2
5 = − 1 15 .
b. Puisque (u
n) est une suite g´eom´etrique de raison q = 1
6 et de premier terme u
1= − 1
15 , on a u
n= u
1× q
n−1soit u
n= − 1
15 × 1
6
n−1, ∀ n > 1.
Comme u
n= p
n− 2
5 , ∀ n > 1, on a p
n= u
n+ 2
5 soit p
n= − 1 15 ×
1 6
n−1+ 2
5 , ∀ n > 1.
c. Soitn > 1 : p
n+1− p
n= − 1
15 × 1
6
n+ 2
5 − − 1 15 ×
1 6
n−1+ 2
5
!
= 1 15 ×
1 6
n−1×
1 − 1 6
= 1 18 ×
1 6
n−1On en d´eduit que p
n+1− p
n> 0, ∀ n > 1. La suite (p
n) est donc croissante.
On sait que lim
n→+∞
q
n= 0 si − 1 < q < 1. Comme − 1 < 1
6 < 1, on a lim
n→+∞
1 6
n−1= 0. Ainsi,
n→+∞
