SUITES RÉELLES GENERALITES I est l'ensemble de définitionMonotonie :(u

SUITES RÉELLES

GENERALITES

I est l'ensemble de définition Monotonie :

(u_n) est croissante sur I pour tout n de I, u⇔ ⁿ⁺¹  un . (u_n) est décroissante sur I pour tout n de I, u⇔ ⁿ⁺¹  un . (u_n) est constante pour tout n de I , u⇔ ⁿ⁺¹ = un .

Majorant et minorant :

(u_n) est majorée il existe un réel M tel que pour tout n de I, u⇔ ⁿ  M . (u_n) est minorée il existe un réel m tel que pour tout n de I, u⇔ ⁿ  M . (u_n) est bornée elle est minorée et majorée.⇔

SUITES ARITHMÉTIQUES D

éfinition :

(u_n) est arithmétique pour tout n de I, u⇔ ⁿ⁺¹ = un + r où r est un réel . r s’appelle la raison.

P

ropriété :

Si u est une suite arithmétique de raison r alors :

u_n = u_k + ( n - k ) r u_n = u₀ + n r u_p + u₁ +...+ u_n = u_p+u_n

2 (n – p + 1) Si r > 0 alors u est croissante , si r < 0 alors u est décroissante.

SUITES GÉOMÉTRIQUES D

éfinition :

(u_n) est géométrique pour tout n de I, u⇔ ⁿ⁺¹ = q un où q ∈ℝ^* . q s’appelle la raison P

ropriété :

Si u est une suite géométrique de raison q alors :

u_n = q ^n-k u_k u_n = qⁿ u₀ u_p + u₁ +...+ u_n = u_p 1 – q

n−p+1

1 – q pour q ≠1 Si |q| <1 alors lim qⁿ = 0

Si q > 1 alors lim qn = +∞

Si q - 1 alors q ⁿ n’a pas de limite LIMITES

Pour tout entier k  1, lim_n∞n^k=∞ ; lim

n∞

1

n^k=0 ; lim_n∞



^n=∞ _{; lim}

n∞

1



n=0 Th :

Toute suite croissante et majorée converge . Toute suite décroissante et minorée converge Th du point fixe :

Soit la suite définie par u_n+1 = f ( u_n ).

Si ( u_n ) converge et f continue alors la limite L de ( u_n ) est solution de l’équation L = f ( L ).

DÉRIVATION

Si f dérivable en a, alors le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à C_f en A ( a ; f(a) ).

Si f dérivable en a alors l’équation de la tangente à C_f au point d’abscisse A ( a ; f(a) ) est : y = f ‘(a) ( x - a ) + f (a)

Dérivées des fonctions de référence u est une fonction

f(x) f ‘(x) f(x) f ‘(x) f(x) f ‘(x)

k (constante

réelle) 0 cos(x) - sin(x) uⁿ nu ' uⁿ

a x + b a et b

réels a sin(x) cos(x) 1

u

−u ' u²

xⁿ n x^n-1 e^x e^x

√

^u ₂^{u '}

√

^u

1

x – 1

x² ln(x) 1

x e^u u ' e^u

√

x 1

2

√

^{x ln(u)}

u ' u cos(u) - u' sin(u)

sin(u) u' cos(u)

Dérivées d’une somme, d’un produit et d’un quotient. ( k un réel)

( u + v ) ‘ = u ‘ + v ‘ ; (u.v) ‘ = u ‘ . v + u . v ‘ ; (kf) ‘ = k f ’ ;



¹v



^{'= –v '}v²

et



^uv



^{'=u '×v – u×}v^{2 v '} Soit f dérivable sur I.

Si f ’ > 0 sur I ou nulle en un nombre fini de valeurs alors f est strictement croissante sur I.

Si f ’ < 0 sur I ou nulle en un nombre fini de valeurs alors f est strictement décroissante sur I Si f ‘ = 0 sur I alors f est constante sur I.

--- EXPONENTIELLE

Pour tous les réels x et y et n entier relatif on a : e⁰ = 1 e^x > 0 e^{– x}=1

e^{x e}

xy=e^x×e^y e^{x – y}=e^x

e^y e^nx=e^xⁿ Exp est strictement croissante sur ℝ.

Pour a > 0 e^x = a ⇔ x = ln (a) e^x < a ⇔ x < ln (a) e^x > a ⇔ x > ln (a)

lim

x ∞e^x=∞ lim

x–∞e^x=0 lim

x∞

e^x

x =∞ lim

x→–∞x . e^x=0 lim

x→0

e^x– 1

x =1

LOGARITHME NEPERIEN

ln(x) = y avec x > 0 ⇔ e^y = x Pour tout x >0 , e^ln(x) = x Pour tout réel x , ln ( e^x ) = x ln est continue car Exp l’est.

Pour tous les réels x > 0 et y > 0 et tout entier naturel n : ln ( x y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln



^1x



= - ln ( x ) ln



^xy



= ln ( x ) - ln ( y ) ln( xⁿ ) = n ln ( x ) ln



x = 1

2 ln ( x )

lim_x∞lnx=∞ lim_x0 lnx=–∞ lim

h0

ln1h

h =1 lim

x1

lnx

x – 1=1 lim

x ∞

lnx

x =0

Pour tous les réels a et b strictement positifs

ln(a) = ln(b) ⇔ a = b ln(a) < ln(b) ⇔ 0 < a < b ln(x) > n ⇔ x > eⁿ ln(x) > 0 ⇔ x > 1 ln(x) < n ⇔ 0 < x < eⁿ ln(x) < 0 ⇔ 0 < x < 1

Propriété !!!!!! :

lim_x→0 x ln(x)=0 lim

x→+∞

ln(x)

xⁿ =0 et lim

x→0 xⁿln(x)=0 pour n ∈ℕ*

--- COMPLEXES

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O; ⃗u ,⃗v) Définition

Un nombre complexe est un nombre de la forme z = x + i y, où x et y sont des réels et i un nombre imaginaire vérifiant i² = - 1. L’ensemble des complexes se note ℂ .

Remarque : Si y = 0 alors z est un réel donc ℝ ⊂ ℂ . Si x = 0 on dit que z est un imaginaire pur;

Représentation graphique x et y étant des réels.

A tout complexe z = x + i y on peut associer un unique point M ( x ; y ) et réciproquement.

De même à tout complexe z = x + i y on peut associer un unique vecteur w ( x ; y ) et réciproquement.

Définition :

z s’appelle l’affixe du point M et du vecteur w ( rq : w=OM ).

M s’appelle le point image de z. w s’appelle le vecteur image de z.

Forme algébrique Propriété :

x + i y = x’ + i y’ avec x ; y ; x’ ; y’ réels ⇔ x = x’ et y = y’

Tout complexe z admet une écriture unique de la forme x + i y avec x et y réels.

Cette forme s’appelle la forme algébrique de z . x s’appelle la partie réelle de z notée Re (z) = x.

y s’appelle la partie imaginaire de z notée Im (z) = y.

Propriété :

Z ∈ ℝ ⇔ Im (z) = 0 z imaginaire pur ⇔ Re (z) = 0 Conjugué

Pour tout complexe z = x + i y, où x et y sont des réels, on appelle complexe conjugué le complexe noté z=x – iy

Remarque : M’ ( z ) est le symétrique de M (z) par rapport à l’axe des abscisses.

Somme et produit

Soient x ; y ; x’ ; y’ et k des réels.

(x + i y ) + ( x’ + i y’) = ( x + x’) + i ( y + y’) k (x + i y ) = kx + i ky

(x + i y ) . ( x’ + i y’) = ( x x’- y y’) + i (x y’ + x’ y)

Rq : les produits remarquables sont donc les mêmes. Il y en a même un nouveau xiyx – iy=x²y² Interprétation géométrique

Propriété :

Si t et s ont pour affixes z et z’ alors ts a pour affixe z + z’ et celle de k t est kz. (k ∈ℝ) Propriété :

Si A et B ont pour affixes zA et zB alors l'affixe de AB est zB– z_A et l'affixe du milieu I de [AB] est z_I=z_Az_B

2 Quotient

En pratique : ¹

3 – 5 i= 35 i

3 – 5 i35 i= 3 34 5

34i 1i

– 23 i= 1i– 2 – 3 i

– 23 i– 2 – 3 i= 1 13– 5

13i Propriétés des conjugués

z = z z + z = 2 Re (z) z - z = 2 i Im (z) z . z = (Re (z))² +(Im (z))² zz ' = z ' + z ' z×z ' = z × z '



^{z 'z}



^{= z 'z} pour z’ ≠ 0 z ∈ ℝ ⇔ z = z z ∈ iℝ ⇔ z = - z

Propriété :

Soient a, b et c 3 réels avec a ≠ 0 , on pose = ^{b2– 4 ac} le discriminant de P (z) = a z² +b z + c.

Dans ℂ le polynôme P admet toujours deux racines (confondues si  = 0 ) z1 = – b – d

2 a et z₂ = – bd

2 a où d est le complexe tel que d² = .

Définition

Soit z un complexe non nul d’image M (x ; y ).

On appelle - module de z le réel positif r = |z| = OM =



^x2y2

- argument de z tout réel  = mes ( ^u ; OM ) :

Pour tout complexe z, z . z = ∣z∣²

Pour tout complexe z non nul cos() = x

r et sin() = y

r et donc z = r ( cos ( ) + i sin ( )) Cette écriture s’appelle la forme trigonométrique de z.

Soit z et z’ deux complexes non nuls de modules r et r’ et d’arguments  et ’ alors : z = z’ ⇔ r = r’ et  = '

|z z'| = |z| |z'| et arg(z.z’) ≡ arg(z) + arg(z’) [2]

∣

z '¹

∣

⁼ ∣z '¹∣ et arg( 1

z ' ) ≡ - arg(z) [2]

∣

z '^z

∣

⁼ ∣^∣z '^z∣∣ et arg( z

z ' ) ≡ arg(z) - arg(z’) [2]

| z | = ∣– z∣ = ∣z∣ et arg ( z ) ≡ - arg(z) [2] arg(- z ) ≡ arg(z) +  [2]

Propriété : ( inégalité triangulaire) ∣zz '∣∣z∣∣z '∣ Propriété :

Si A et B ont pour affixes z_A et z_B alors |zB – zA | = AB et arg( z_B- z_A) = ( u ; AB ) Propriété :

Soient A, B et M 3 points deux à deux distincts d’affixes z_A , z_B et z_M. | z_B- z_A | = AB arg( z_B- z_A) = ( u ; AB )

∣

z^z_M^{M– z}– z^B_A

∣

⁼ AM^BM arg( z_M– z_B

z_M– z_A ) = ( AM ;BM ) = ( MA ;MB ) Propriété :

tout complexe non nul z de module r et d’argument  admet une écriture de la forme z = r e^i. Cette forme s’appelle la forme exponentielle de z.

Propriété :

e^i×e^i'=e^{i '} 1

e^i=e^{– i} e^i

e^i'=e^{i–'} (e^iθ)ⁿ=e^i.nθ (cos + i sin )ⁿ = cos n + i sin n (formule de Moivre) cos() = e^ie^{– i}

2 et sin () = e^i– e^{– i}

2 i ( formules d’Euler) Propriété :

Soient A, B et M 3 points deux à deux distincts;

A, B et M sont alignés ⇔ arg( z_M– z_B

z_M– z_A ) ≡ 0 [] (AM) ⊥ (BM) ⇔ arg( z_M– z_B z_M– z_A ) ≡

2 []

--- PROBABILITES

épreuve et schema de bernoulli et loi binomiale

Définition :

Pour n ≠ 0, un schéma de Bernoulli est une répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont p(S) = p. On dit que c'est un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p) Définition :

Soit un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p). On note X la variable aléatoire qui à chaque résultat de ce schéma de Bernoulli associe le nombre de succès. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.

Propriété :

Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier naturel k  n on a P(X=k) =



ⁿk



^{pk 1 – pn – k}

Pour calculer



¹⁰3



= 120 avec une calculatrice :TEXAS : 10 MATH PRB nCr 3 ENTER CASIO : 10 OPTN F 6 PROB nCr 3 EXE

Propriété :

Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors E(X) = n.p et V(X) = n p (1-p)

PROBABILITES CONDITIONNELLES

Définition :

Soit A un événement non vide d'un univers .

On appelle probabilité de B sachant A le réel PA(B) = P(B/A) = PA∩B

PB

Propriété :

Si A et B sont deux événements non vides alors P(A∩ B) = PA(B) P(A) = PB(A) P(B).

Propriété :

Si A ≠ ∅ alors PA( B ) = 1 - PA(B) FORMULE DES PROBABILITES TOTALES

Propriété :

Si E1 ; E2...Ek sont k événements non vides et

si E1 ; E2...Ek forment une partition de l'univers  alors:

P(A) = P(A ∩ E¹) + P(A ∩ E²)+...+P(A ∩ E^k)

= PE1(A) P(E1) + PE2(A) P(E2)...+ PEk(A) P(Ek)

Propriété :

Si B et B sont non vides alors P(A) = P(A ∩ B) + P(A∩ B ) = PB(A).P(B) + ^PBA.P( B ) EVENEMENTS INDEPENDANTS

Définition :

Deux événements A et B sont dits indépendants si le fait de savoir si A est réalisé ou pas n'influe pas sur le résultat de la probabilité de B. C'est à dire que PA(B) = P(B)

Propriété :

A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩ B) = P(B) . P(A).

LOIS DE PROBABILITE CONTINUES

On considère une expérience aléatoire et un univers associé  , muni d'une probabilité .

Une variable aléatoire X est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle I de ℝ Soit X une variable aléatoire continue à valeur dans un intervalle I de ℝ.

On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f définie sur I vérifiant les trois conditions : f continue sur I f positive sur I

∫

I

f(x)d x =1

On définit la loi de probabilité P de densité f de X en associant à tout intervalle [a;b] ⊂ I le réel : P( X ∈ [a;b]) =

∫

a b

fxd x On dit que P est une loi de probabilité continue à densité f sur I.

L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f sur I est E(X) =

∫

I

x f(x)d x

LA LOI UNIFORME SUR [a;b]

Définition :

On appelle loi uniforme sur I = [a;b] la loi de probabilité continue sur I dont la densité f est la fonction constante égale à fx= 1

b – a . Propriété :

Si X suit la loi uniforme sur [a;b] alors pour tout intervalle [,]⊂ [a;b] P(X ∈ [,]) = ^β–α b – a Propriété :

Si X suit la loi uniforme sur [a;b] alors son espérance est E(X) = a+b 2 LES LOIS EXPONENTIELLES

Soit  un réel strictement positif. X suit la loi exponentielle de paramètre  sur [0 ; +∞ [ si sa densité est la fonction définie sur ℝ ⁺ par fx=e^–x

Si X suit la loi exponentielle de paramètre  Pour tout intervalle [a;b]⊂ℝ ⁺ : P( X ∈ [a;b]) =

∫

a b

λe^–λxd x = e^–λa– e^–λb et P ( X  a ) = e^−λa

L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre  est E (X ) = 1/

Si X suit la loi exponentielle de paramètre  , pour tous réels positifs s et t, on a : ^PXs ( X > s + t ) = P ( X > t ) On dit que la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement.

LOI NORMALE CENTREE REDUITE :

N

^(0;1)

Th de MOIVRE-LAPLACE (admis)

Pour tout entier naturel n, Xⁿ est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale

B

( n ; p ) et on pose Z_n= X_n−np

√

^np(1−p) .Pour tout les réels a et b (a < b) on a : la limite de P(Z_n∈[a ; b]) quand n tend vers + ∞ est

∫

a

b 1

√

2πe

−x² 2 d x

Une variable aléatoire X suit une loi normale centré réduite si sa fonction densité est la fonction définie sur ℝ par fx= 1



^2e

– x²/2

elle se note

N ^(0;1)

P(a  X  b ) =

∫

a b

fxd x

L'aire sous la courbe est 1 : elle représente P(X ∈ ]–∞;∞[)

La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc P(X _∈^[0;∞ [) = 1 2 P( X  u) = P( X  -u) donc P( X  - u) = 1 – P ( X  u )

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale

N ^(0;1)

alors son espérance est E(X) = lim_t→−∞

∫

t 0

xf(x)d x + lim_s→+∞

∫

0 s

x f(x)d x = 0 et son écart-type est 1.

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale

N ^(0;1)

alors pour tout réel  ] 0∈ ; 1 [ il existe un unique réel uα tel que P ( −u_α  X  uα ) = 1 - 

Intervalles particuliers à connaître

P( X ∈ [-1;1] ) ≈ 0,68 P( X ∈ [-1,96;1,96] ) ≈ 0,95 P( X ∈ [-2;2] ) ≈ 0,954 P( X ∈ [-3;3] ) ≈ 0,997 LOI NORMALE

N

⁽

^

^{; }

²

⁾

Dire qu'une variable aléatoire X suit une loi normale

N

^{(  ;  2} ) signifie que la variable aléatoire T=X –

 suit une loi normale

N ^(0;1)

Si une variable aléatoire suit une loi normale

N

^{(  ;  2} ) , alors son espérance est  , sa variance est ² et son écart-type est .

---

INTERVALLE DE FLUCTUATION - ESTIMATION

I) INTERVALLE DE FLUCTUATION

Pour tout  de ]0;1[ il existe uα tel que P(−uα⩽Z⩽uα) = 1- lorsque Z suit la loi normale

N ^(0;1)

^{et on}

pose In=

[

^p−uα

^√

^p(1−p)

√

^{n ; p+uα}

√

^p(1−p)

√

ⁿ

]

^.

Si la variable aléatoire X_n suit la loi binomiale B(n;p) avec p ∈ ]0;1[ alors lim

n→+∞

P

(

^Xnⁿ∈I_n

)

^{= 1-}

Si la variable aléatoire Xn suit la loi binomiale B(n;p) avec p ∈ ]0;1[ et  un réel de ]0;1[ ; L'intervalle In=

[

^p−uα

^√

^p(1−p)

√

n ; p+u_α

√

^p(1−p)

√

n

]

est appelé un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 1- de la variable aléatoire F_n=X_n

n qui, à tout échantillon de taille n, associe la fréquence obtenue f.

u_α désigne le réel tel que P(−u_α⩽Z⩽u_α) = 1- lorsque Z suit la loi normale

N ^(0;1)

^.

Cas particulier : si  = 0,05 on a vu au chapitre précédent que P(-1,96  Z  1,96) = 0,95 lorsque Z suit une loi N(0;1) donc que ^uα≈ 1,96 . On admet que dés que n  30 , n.p 5 et n (1-p) 5 Si Xn suit une loi binomiale B(n;p) avec p ∈]0;1[ L'intervalle Jn=

[

^{p – 1,96}

^√

^{p(1 – p)}

√

^{n ; p+1,96}

√

^{p(1 – p)}

√

ⁿ

]

est appelé intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire fréquence F_n=X_n

n .

ESTIMATION

Si f est la fréquence d'un caractère d'un échantillon de taille n avec n  30 , n.f 5 et n (1-f) 5 alors l'intervalle

[

^{f –}



¹n;f 1



n

]

est appelé intervalle de confiance de la fréquence p de toute la population au niveau de confiance 0,95

Taille minimale de l'échantillon pour avoir une précision donnée :

Avec un niveau de confiance 0,95, l'amplitude de l'intervalle de confiance est de 2



ⁿ . Donc si l'on veut situé p dans un intervalle de longueur a donnée il faut donc que 2



n  a et donc n  4 a² .

---

GEOMETRIE VECTORIELLE

VECTEURS COPLANAIRES

Les vecteurs u , v et w sont coplanaires signifie qu'il existe quatre points O, A, B et C appartenant au même plan tels que OA=u ; OB=v et OC=w .

Les vecteurs u , v et w sont coplanaires ⇔ il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v Soient u , v et w des vecteurs non coplanaires de l'espace;

Pour tout vecteur t , il existe un unique triplet ( a ; b ; c ) de réels tels que t = a u + b v + c w REPERAGE DANS L'ESPACE

Si u( x ; y ; z ) v( x' ; y' ; z' ) A( ^xA; ^yA; ^zA) et B ( ^xB ; ^yB ; ^zB ) dans le repère O;i,j,k alors :

uv ( x + x' ; y + y' ; z + z' ) k u ( kx ; ky ; kz ) avec k ∈ ℝ AB ( x_B– x_A; y_B– y_A ; z_B– z_A) le milieu I de [AB] a pour coordonnées



^xA2^xB;y_Ay_B

2 ;z_Az_B

2



le centre de gravité G de ABC a pour coordonnées



^xAx3^BxC;y_Ay_By_C

3 ;z_Az_Bz_C

3



Représentation paramétrique d'une droite

Si u (a ; b ; c ) et A( xA; yA; zA) dans le repère O; i,j,k et d la droite passant par A et de vecteur directeur u

M(x:y;z) ∈ d ⇔ il existe un réel t tel que

{

^{x=z=y=btctatxzyAAA} Ce système s'appelle une « représentation paramétrique » de d.

PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE

I ) PRODUIT SCALAIREDans tout ce chapitre, on suppose choisie une unité de longueur.

Si u≠0 et v≠0 alors on appelle produit scalaire de u par v le réel u⋅v = ∥u∥ . ∥v∥ . cos( u ; v ) Si u=0 ou v=0 alors u⋅v = 0

Rq : Si u et v sont colinéaires et de même sens alors u⋅v = ∥u∥ . ∥v∥ Si u et v sont colinéaires et de sens contraires alors u⋅v = - ∥u∥ . ∥v∥ Soit AB≠0 et C’ , D’ les projetés orthogonaux de C et D sur (AB)

AB⋅CD = AB⋅C ' D' = AB.C'D' si AB⋅C ' D' ont le même sens.

= - AB.C'D' si AB⋅C ' D' ont un sens contraire.

Pour tous les vecteurs ^u , ^v et ^w et les réels a et b on a : ^u ⊥ ^v ⇔ ^u⋅v = 0

u⋅v=v⋅u u⋅vw=u⋅vu⋅w a u. b v = (ab) u⋅v On appelle carré scalaire de u le réel u⋅u noté u²

Conséquences : u² = ∥u∥² et ^AB² = AB² uv² = u² + 2 u⋅v + v²

u−v² = u² - 2 u⋅v + v² uv⋅u –v = u² - v²

u⋅v = 1

2 ( uv² - u² - v²) = 1

2 ( ∥uv∥² - ∥u∥² - ∥v∥² ) Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé

L’espace est muni d’un repère orthonormé O;i,j,k .on donne u (x ; y ; z)

v (x' ; y' ; z') ; A ( x_A ; y_A ; z_A ) et B( x_B ; y_B ; z_B)

u⋅v = xx’ + yy’ + zz’ ^u ⊥ v ⇔ xx’ + yy’ + zz’ = 0

∥u∥ =



^x2y2z2 AB =



^xB– x_A²y_B– y_A²z_B– z_A² ORTHOGONALITE DANS L'ESPACE

Si une droite D est orthogonale à deux droites sécantes d1 et d2 d'un plan P alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan.

On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur non nul dont la direction est orthogonale à P.

- Soit n≠0 et A un point de l’espace : l’ensemble des points M de l’espace tels que AM ⊥ n est le plan passant par A et de vecteur normal

- Soit P un plan passant par A et de vecteur normal n : M ∈ P ⇔ AM ⊥ n

Tout plan de vecteur normal n ( a ; b ; c ) où a , b et c sont trois réels non tous nuls admet une équation cartésienne de la forme a x + b y + c z + d = 0 .

L'ensemble E des points M(x;y;z) de l'espace vérifiant l'équation a x + b y + c z + d = 0 où a , b et c sont trois réels non tous nuls est un plan de vecteur normal ⃗n ( a ; b ; c ).

Soit deux plans P et P' de vecteur normaux ⃗n et ^⃗n ' :

P ⊥ P' ⇔⃗n ⊥ ^⃗n ' P // P' ⇔⃗n et ^⃗n ' colinéaires Soit P : a x + b y + c z + d = 0 et P’ : a’ x + b’ y + c’ z + d’ = 0.

P ⊥ P’ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = 0.

P // P’ ⇔ ( a ; b ; c ) et ( a’; b’; c’) sont proportionnels.

P = P’ ⇔ ( a ; b ; c; d ) et ( a’; b’; c’; d’) sont proportionnels.

---

INTEGRATION

PRIMITIVE

Soient f et F deux fonctions définies sur I.

F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et pour tout x de I F ‘(x) = f (x) Si f continue sur I alors f admet une primitive sur I.

Si f admet une primitive sur I alors : - elle en admet une infinité, toutes égales à une constante prés.

- pour tout couple ( x₀ ; y₀) avec x₀ ∈ I et y₀ ∈ℝ, il existe une unique primitive F₀ de f sur I telle que F₀ ( x₀ ) = y₀

PRIMITIVES USUELLES c désigne un réel quelconque et u une fonction

f(x) F(x)

^{fonction primitive}

k (une constante) kx+c

xⁿ xⁿ⁺¹

n+1 + c u’.uⁿ où n ∈ℤ^-∗-{-1} uⁿ⁺¹ n+1 + c

1÷x ln(∣x∣)+ c u '

u ln(u) + c

e

^x e^x + c u '

√

u 2

√

^{u + c}

1

√

x 2

√

^{x + c u’ eu} e^u + c

sin(x) - cos(x) + c u’. sin(u) - cos(u) + c

cos(x) sin (x) + c u’ . cos(u) sin(u) + c

Soient f et g deux fonctions admettant F et G comme primitives sur I alors une primitive de a .f + b.g où a et b sont des réels est a F + b G.

INTEGRALE

Le plan est muni d’un repère orthogonal O; i,j tel que OI=i et OJ=j et OIKJ rectangle.

:

On appelle unité d’aire, l’aire du rectangle OIKJ.

Soit une fonction continue et positive sur [a;b] et C la courbe représentative de f dans le repère O; i,j .

On appelle intégrale de f sur [a;b] le réel noté

∫

a b

fxd x représentant l’aire , en unité d’aire, du domaine D délimité par C, l’axe des

abscisses, et les droites d’équations x = a et x = b.

Soit une fonction continue et négative sur [a;b] et C la courbe représentative de f dans le repère . O;i,j On appelle intégrale de f sur [a;b] le réel noté

∫

a b

fxd x représentant l’opposé de l’aire , en unité d’aire, du domaine D délimité par C, l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = a et x= b.

Intégrale et primitive

Soit une fonction f continue sur [a;b] , la fonction A : x

∫

a x

fxd x définie sur [a;b] est la primitive de f sur [a;b] qui s’annule en a.

Si f est continue sur [a;b] alors

∫

a b

fxd x = F(b) - F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [a;b].

Propriétés des intégrales

Dans tout ce chapitre f et g sont continues sur I et a, b et c sont des éléments de I et  et  deux réels.

Définition :

Soit une fonction continue sur [a;b] , on appelle valeur moyenne de f sur [a;b] le réel  = 1

b – a

∫

a b

fxd x

Remarque :  représente la hauteur rectangle de largeur b – a qui a la même aire que l'aire du domaine sous la courbe représentative de f entre a et b

Propriété :

∫

a b

fxd x = -

∫

b a

fxd x

∫

a b

fxd x +

∫

b c

fxd x =

∫

a c

fxd x ( relation de Chasles)

∫

a b

fxgxd x = 

∫

a b

fxd x + 

∫

a b

gxd x ( linéarité) Propriété : (positivité)

Si a  b et f continue et positive sur [a;b] alors

∫

a b

fxd x  0

Remarque : Si f continue et positive et a b alors

∫

a b

fxd x  0 Si f continue et négative et a  b alors

∫

a b

fxd x  0 Si f continue et négative et a b alors

∫

a b

fxd x  0

Propriété :(conservation de l’ordre)

Si a  b , f et g continues sur [a;b] et f  g sur [a;b], alors

∫

a b

fxd x 

∫

a b

gxd x

Propriété :

Si a  b , f et g continues sur [a;b] et f  g sur [a;b], alors l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les deux courbes représentatives de f et g et les droites d’équations x = a et x = b

est

∫

a b

gx−fxd x