1 Analyse qualitative du comportement d’un circuit
Dans les montages ci-dessous, les caractéristiques des composants R1,R2,R3,E, sont positives.
Répondre aux questions 1 à 7 pour chacun des montages représentés ci-dessous.
Schéma A Schéma B
Analyse qualitative (sans calculs) :
1) Combien y-a-t-il de valeurs d’intensité ? Justifier par coloriage du schéma.
2) Combien y-a-t-il de valeurs de potentiel ? Justifier par coloriage du schéma.
3) Quels sont les sens conventionnels des différents courants ? 4) Classer les différents potentiels.
Analyse quantitative :
5) Déterminer en fonction de R1,R2,R3,E, l’intensité du courant dans chaque composant.
6) Choisir une masse, puis exprimer en fonction de R1,R2,R3,E, les différents potentiels dans le circuit.
7) Les résultats obtenus sont-ils bien en accord avec l’analyse qualitative ?
Corrigé:
Schéma A
Analyse qualitative (sans calculs) : 1) Puisque l’interrupteur est ouvert, le courant est nul dans la branche de droite, on a nécessairement le même courant dans la branche de gauche et la branche centrale du circuit.
Il y a donc une seule valeur d’intensité 𝑖 dans ce circuit. (1)
2) Le potentiel dans un fil idéal est constant. Ce sont les composants du circuit qui modifient le potentiel.
Il y a donc quatre valeurs de potentiels différents : 𝑉𝐴, 𝑉𝐵, 𝑉𝐶, et 𝑉𝑀. (2)
Note : on remarque que la tension aux bornes de l’interrupteur est non-nulle, elle vaut 𝑉𝐵− 𝑉𝑀
3) Puisque 𝐸 est le seul générateur, le sens conventionnel du courant est de A vers M dans les trois résistances 𝑅1 , 𝑅2 et 𝑅3. (3)
Le courant est nul dans la branche de l’interrupteur.
4) Le courant fléché dans le sens conventionnel descend les potentiels à l’extérieur des générateurs.
D’après les sens conventionnels dans les résistances 𝑅1 , 𝑅2 et 𝑅3, on obtient : 𝑉𝐴 >𝑉𝐵 >𝑉𝐶 >𝑉𝑀(4)
Analyse quantitative : 5) Rappel de la méthode :
On flèche courants et tensions pour chaque dipôle.
On écrit autant de lois de Kirchhoff qu'il y a d'inconnues dans le système d'équations.
On résout le système d'équations.
Une seule loi des mailles ici, une seule inconnue 𝑖
𝐸 − 𝑅1𝑖 − 𝑅2𝑖 − 𝑅3𝑖=0 Ce qui donne 𝑖 = 𝐸
𝑅1+𝑅2+𝑅3 (5)
6) Si on choisit M comme masse : 𝑉𝑀 = 0 (6) 𝑉𝐴− 𝑉𝑀 = 𝐸 ⟹ 𝑉𝐴= 𝐸 (7) 𝑉𝐴− 𝑉𝐵 = 𝑅1𝑖 = 𝑅1𝐸
𝑅1+𝑅2+𝑅3 ⟹ 𝑉𝐵= 𝑅2+𝑅3
𝑅1+𝑅2+𝑅3𝐸 (8)
2
𝑉𝐶− 𝑉𝑀= 𝑅3𝑖 = 𝑅3𝐸
𝑅1+𝑅2+𝑅3 ⟹ 𝑉𝐶= 𝑅3
𝑅1+𝑅2+𝑅3𝐸(9)
7) (1) et (2) vérifiées. (5) confirme (3) (𝑖> 0). (6), (7), (8), (9) confirment (4).
Analyse dimensionnelle : [ 𝐸
𝑅1+𝑅2+𝑅3] =[𝑈]
[𝑅]= [𝐼]
[ 𝑅2+ 𝑅3 𝑅1+ 𝑅2+ 𝑅3
𝐸] = [𝑅
𝑅] . [𝑈] = [𝑈] [ 𝑅3 𝑅1+ 𝑅2+ 𝑅3
𝐸] = [𝑅
𝑅] . [𝑈] = [𝑈]
Les relations (5) à (9) sont bien homogènes.
Schéma B
Analyse qualitative (sans calculs) :
1) Deux noeuds P et M limitant trois branches Il y a trois valeurs d’intensité 𝑖1, 𝑖1et η dans ce circuit.
(a)
2) Le potentiel dans un fil idéal est constant. Ce sont les composants du circuit qui modifient le potentiel.
Il y a donc deux valeurs de potentiels différents : 𝑉𝐴 et 𝑉𝑀. (b)
3) Puisque 𝜂 est le seul générateur (générateur idéal de courant) le sens conventionnel du courant est de A vers M dans les résistances 𝑅1 et 𝑅2. (c)
4) Le courant fléché dans le sens conventionnel descend les potentiels à l’extérieur des générateurs.
D’après les sens conventionnels dans les résistances 𝑅1 et 𝑅2, on obtient : 𝑉𝐴 >𝑉𝑀 (d) Analyse quantitative :
5) Rappel de la méthode :
On flèche courants et tensions pour chaque dipôle.
On écrit autant de lois de Kirchhoff qu'il y a d'inconnues dans le système d'équations.
On résout le système d'équations.
Loi des nœuds en P : 𝑖1+ 𝑖2= 𝜂 (e) Loi des mailles : 𝑅1𝑖1= 𝑅2𝑖2 (f) (f) donne 𝑖2=𝑅1
𝑅2𝜂
On injecte dans (e), ce qui donne :
𝑖 1 = 𝜂
1+
𝑅1𝑅2
(g), et
𝑖
2=
𝑅1 𝑅2 1+𝑅1
𝑅2
𝜂
(h)6) Si on choisit M comme masse : 𝑉𝑀 = 0 (i) 𝑉𝐴− 𝑉𝑀 = 𝑅1𝑖1 ⟹ 𝑉𝐴= 𝑅1
𝜂
1+
𝑅1𝑅2 (j)
7) (a) et (b) vérifiées. (g) et (h) confirment (c) (𝑖1> 0 et 𝑖2> 0 ) (i) et (j) confirment (d).
Analyse dimensionnelle :
[ 𝜂 1 + 𝑅
1𝑅
2] = [𝐼]
1 + [𝑅]
[𝑅]
= [𝐼]
1 = [𝐼] [ 𝑅
1𝑅
2𝜂 1 + 𝑅
1𝑅
2] =
[𝑅]
[𝑅] . [𝐼]
1 + [𝑅]
[𝑅]
= [𝐼]
1 = [𝐼]
[𝑅
1 𝜂1+𝑅1 𝑅2
] = [𝑅].
[𝐼]1
