Exercices: Convergence des suites réelles

ECS1

Exercices: Convergence des suites réelles

Exercice 1. Déterminer les limites des suites suivantes : 1. an =√

n+ 1−√

n−1 2. bn= lnn−n² 3. cn = 2ⁿ−n 4. dn=n¹ⁿ 5. e_n =n²sin

1 n

6. f_n= lnn+ (−1)ⁿ 7. g_n= bnxc

n pour xun réel xé.

Exercice 2. Soit la suite(u_n)_n∈N dénie par u_n+1= e^−un

n+ 1 et u₀= 2013.

Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite.

Exercice 3. Soient(u_n)_n∈N^∗ dénie pour tout entiernnon nul par

un=

n

X

k=0

n n²+k. Montrer que(un)_n∈N converge, et donner sa limite.

Exercice 4. Soient(vn)n∈N^∗ dénie pour tout entiernnon nul par v_n=

n

X

k=1

1 n³+k³.

Montrer que(v_n)_n∈N converge, et donner sa limite.

Exercice 5. Soit(un)_n∈N^∗ la suite dénie par : pour toutn>1,un= Z 1

0

dx 1 +xⁿ. 1. Montrer que pour toutn∈N^∗, u_n61

2. Établir que pour toutn∈N^∗,061−un6 1

n+ 1. En déduire la limite de la suite(un). Exercice 6. Soit(u_n)_n∈N la suite dénie par pour toutnentier paru_n =

n

X

k=0

2^k k!. 1. Montrer que pour toutk>2, 2^k

k! 62 2

3 k−2

. 2. En déduire que(un)n∈N converge vers un réel`69. Exercice 7. On pose pour tout entiern>2: S_n=

n

X

k=2

1

k(k−1) et T_n=

n

X

k=1

1 k². 1. CalculerSn pour toutn>2.

2. En déduire que(Tn)_n∈N^∗ est convergente.

Exercice 8. Soit la suite(un)n∈N^∗ dénie pour toutnentier non nul par : u_n= 1

n

n

X

k=1

√1 k. 1. Montrer que(u_n)_n∈N^∗ converge.

2. Montrer que pour toutnnon nul,u_2n−1

2u_n6 1 2√

n. 3. En déduire la limite de(un)_n∈N^∗.

Exercice 9. Pour tout entier nnon nul, on poseun=

n

X

k=1

1

k−ln(n)et vn=un− 1 n. 1. Montrez queuet vsont deux suites adjacentes. Que pouvez-vous en déduire ?

On noteγ la limite deu(Ce réel est appelé la constante d'Euler).

2. A partir de quel entier est-on assuré queu_n est une approximation deγ à10⁻³ près ?

Exercice 10. Montrer que la suiteudénie pour toutn∈N^∗ paru_n =

n

X

k=1

(−1)^k

k converge.

Indication : on pourra commencer par étudier les suites (u2n)et(u2n+1). Exercice 11. Soient(u_n)_n∈N et(v_n)_n∈N dénies pour tout entiernpar :

u_n+1= u_n+v_n

2 v_n+1= 2u_nv_n un+vn

0< v₀< u₀. 1. Montrer que pour toutn∈N,0< vn < un.

2. Montrer que les suites(un)n∈N et(vn)n∈N sont adjacentes.

3. Étudier la nature de la suite de terme généralwn =unvn. En déduire la limite commune de(un)n∈N et (vn)n∈N.

Exercice 12. Soitx∈R. On dénit les suites(qn)et(pn)par :∀n∈N, qn= 10⁻ⁿb10ⁿxc et pn=qn+ 10⁻ⁿ.

1. En utilisant la dénition de la partie entière, montrer que :∀n∈N,q_n 6x6p_n. 2. Soitn∈N.

(a) Donner le meilleur encadrement possible de10ⁿ⁺¹xen fonction deb10ⁿxc. (b) En déduire les signes de

10ⁿ⁺¹x

−10b10ⁿxcet de

10ⁿ⁺¹x

−10b10ⁿxc −9. (c) Montrer que les suites(pn)et(qn)sont adjacentes.

3. En utilisant les questions précédentes, étudier la convergence de(qn)et donner sa limite.