Compl´ ements d’int´ egration et s´ eries de Fourier
U2EH36 (6 ECTS, coef. 2)
Modalit´es d’´evaluation : contrˆole continu et examen terminal Pr´e-requis :
Parcours int´egrant obligatoirement cette UE :Math´ematiques pour l’en- seignement
Parcours pouvant int´egrer cette UE :
Programme des enseignements
– Rappels et compl´ements d’analyse : fonctions uniform´ement continues et conver- gence uniforme des suites de fonctions. Th´eor`eme de Stone-Weierstrass.
– Compl´ements d’int´egration : int´egrale des fonctions r´egl´ees.
– Espaces pr´e-hilbertiens. Espaces de Hilbert. Projection sur un sous-espace vectoriel ferm´e. Syst`eme orthogonal. In´egalit´e de Bessel.
– S´eries de Fourier de fonctions p´eriodiques continues etC1 par morceaux ; identit´e de Parseval ; convergences quadratique et ponctuelle. Th´eor`eme de convergence de Dirichlet dans le cas des fonctionsC1 par morceaux.
– Applications des s´eries de Fourier (par exemple : in´egalit´e iso-p´erim´etrique, re- cherche de solution d’EDO par s´eries de Fourier).
Objectifs :Revenir sur la construction de l’int´egrale de Rieman en insistant sur le lien avec la convergence uniforme. Introduire les s´eries de Fourier hors du cadre de l’int´egrale de Lebesgue, mais en utilisant des outils de topologie.
