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Compl ´ements sur la d ´erivation
C H A P I T R E
L’artiste Jean-Fran¸cois Renaud (morpholux), `a partir d’une utilisation du logiciel Processing, contrˆole le point mitoyen d’un trac´e vectoriel. Puis en- chaˆıne avec un d´eplacement global du point et de ses leviers grˆace `a la fonction noise()... un algorithme aussi connu sous l’appellation bruit de Perlin. Les courbes de B´ezier (propos´e par Pierre Bezier 1910-1999) com- posent l’outil de la base du dessin vectoriel qui repose sur la transcription math´ematique des objets en cr´eant des formes du plan et de l’espace `a partir de points de contrˆole et de leurs nombres d´eriv´es.
1 1 Nombre deriv´e
Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleI etaest un r´eel deI.
Dire que le r´eellest le nombre d´eriv´e def en asignifie que :
la fonctionh7→ f(a+h)−f(a)
h avec (h6= 0) a pour limitel en z´ero.
On dit alors que la fonction f est d´erivable en a et on notef0(a) le nombre d´eriv´e de la fonctionf ena.
−
→j
−
→i A
B
a a+h
f(a)
f(a+h) D´efinition 1
Remarque.Certaines fonctions ne sont pas d´erivables, par exemple la fonction valeur absoluef :x7→ |x|n’est pas d´erivable en 0.
En effet on a lim
h→0−
|h|
h =−1 et lim
h→0+
|h|
h = 1 dans ce cas le rapport f(a+h)−f(a) h poura= 0 n’ a pas de limite lorque htend vers 0
Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleI, d´erivable ena∈Iet Cf la courbe representative de la fonctionf dans un rep`ere (O;−→ı;−→).
La tangente `a la courbeCf au pointA(a, f(a)) est la droite qui passe par A et qui a pour coeffecient directeurf0(a).
D´efinition 2
Sif est d´erivable ena, alors une ´equation de la tangente enA(a, f(a)) `a la courbe Cf est :
y=f0(a)(x−a) +f(a) Propri´et´e 1
C
∆
f (a)
a
A
3 Chapitre 5. Compl´ements sur la d´erivation
1 2 Fonction deriv´ee
Une fonction est d´erivable sur un intervalleI signifie qu’elle est d´erivable en tout r´eelxdeI.
A tout` x de I on associe son nombre d´eriv´ef0(x) on d´efinie ainsi une fonction appel´ee fonction d´eriv´ee def et not´eef0.
D´efinition 3
D´eriv´ees usuelles
Fonctionf Df Fonctionf0 Df0
x7→ax+b R x7→a R
x7→xn n∈N∗ R x7→nxn−1 R x7→ 1
x R∗ x7→ − 1
x2 R∗
x7→√
x [0; +∞[ x7→ 1
2√
x ]0; +∞[
Propri´et´e 2
Ces r´esultats sont `a connaitre par cœur.
D´eriv´e et op´erations
Soituet vdeux fonctions d´efinies et d´erivables sur un intervalleI.
Les r`egles op´eratoires de d´erivation sont les suivantes :
• (ku)0 =ku0 aveckune constante
• (u+v)0=u0+v0
• (u×v) =u0v+uv0
De plus siv ne s’annule on a :
• 1
v 0
=−v0 v2
• u v
0
= u0v−uv0 v2 Propri´et´e 3
1 3 lien variation d’une fonction et signe de sa d´eriv´ee
Le signe de la fonction d´eriv´ee pemet de donner des indications concernant les varia- tions de la fonction et par cons´equent les ´eventuels extremums sur un intervalle.
admis
Soitf une fonction d´efinie et d´erivable surI.
• Si pour toutx∈I,f0(x)60 alors la fonctionf est d´ecroissante surI.
• Si pour toutx∈I,f0(x)>0 alors la fonctionf est croissante surI.
Th´eor`eme 1
Exemple.
Soitf la fonction d´efinie surRparf(x) =x2−4x+ 7.
On af0(x) = 2x−4 = 2(x−2) d’o`u : 3
f
0(x) − 0 +
f
+ ∞
3
+ ∞
Formules compl´ ementaires
2
2 1 Deriv´ee dex7→p u(x)
Soituune fonction d´efinie, positive et d´erivable sur un intervalleIetf la fonction d´efinie surI parf(x) =p
u(x).
La fonctionf est d´erivable en tout r´eelxtel queu(x)6= 0 et on af0(x) = u0(x) 2p
u(x). Propri´et´e 4
D´emonstration.
Soitxun r´eel tel queu(x)>0 etJ un intervalle deI contenantI.
Soithun r´eel non nul tel quex+h∈J. On poseτ=
pu(x+h)−p u(x)
h .
On aτ =(p
u(x+h)−p
u(x))(p
u(x+h) +p u(x)) h(p
u(x+h) +p
u(x)) = u(x+h)−u(x) h(p
u(x+h) +p u(x))
Examinons la limite deτ lorsquehtend vers 0 : La fonctionuest d´erivable donc lim
h→0
u(x+h)−u(x)
h =u0(x).
La fonctionuest continue (car d´erivable) lim
h→0u(x+h) =u(x) la fonction racine carr´e est elle aussi continue d’o`u lim
h→0
1 (p
u(x+h) +p
u(x)) = 1 2p
u(x). On en d´eduit queτ admet pour limite lorsquehtend vers 0 : u0(x)
2p
u(x).
Exemple.
Soit laf fonction d´efinie surRparf(x) =p x2+ 1.
Cette fontion est d´erivable surRen effet pour tout r´eel x,x2+ 1>0 et on a f0(x) = 2x
2√
x2+ 1 = x
√ x2+ 1.
5 Chapitre 5. Compl´ements sur la d´erivation
2 2 D´eriv´ee dex7→(u(x))n
Soituune fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleI,nun entier naturel non nul etf la fonction d´efinie surI parf(x) = (u(x))n.
La fonctionf est d´erivable en tout r´eel xdeI et on a f0(x) =n u0(x)(u(x))n−1 Propri´et´e 5
D´emonstration.
La propri´et´e est vraie pourn= 1 en effet pour toutx∈I on a 1×u0(x)(u(x))1−1=u0(x).
Supposons la propri´et´e vraie pour un entierket consid´erons la fonction qui `a tout r´eel xdeI associeu(x)k+1,
on peut ´ecrireu(x)k+1=u(x)×u(x)k
on peut d´eriver cette expression en tant que produit de deux fonctions.
u(x)k+10
=u0(x)×u(x)k+u(x)×u(x)k0 On utilise l’hypoth`ese de r´ecurrence pour obtenir
u(x)k+10
(x) =u0(x)×u(x)k+u(x)×k×u0(x)u(x)k−10 d’o`u u(x)k+10
(x) =u0(x)×u(x)k+k×u0(x)u(x)k0 et finalement u(x)k+10
(x) =k×u0(x)u(x)k0
On peut donc en conclure que pour tout entier naturelnnon nul u(x)k+10
(x) =n u0(x)(u(x))n−1.
Exemple. Soit f la fonction d´efinie sur R par f(x) = (5x−3)3. La fonction f est d´erivable et pour tout r´eelxon a f0(x) = 3×5×(5x−3)2= 15(5x−3)2.
On a le mˆeme type de formule lorsquenest entier relatif non nul cependant la fonction une doit pas s’annuller sur I.
admis
Soituune fonction d´efinie, d´erivable surI tel que pout tout xdeI u(x)6= 0, n un entier relatif non nul etf la fonction d´efinie surI parf(x) = (u(x))n.
La fonctionf est d´erivable en tout r´eel xdeI et on a f0(x) =n u0(x)(u(x))n−1 Propri´et´e 6
2 3 D´eriv´ee dex7→f(ax+b)
Soitaetbdeux r´eels etf une fonction d´efinie et d´erivable sur unI.
La fonctionx7→f(ax+b) est d´erivable en tout r´eelxtel queax+b∈Iet on a f0(ax+b) =af0(ax+b)
Propri´et´e 7
D´emonstration.Soitxun r´eel tel queu(x)>0 etJ un intervalle deI contenantI.
Soithun r´eel non nul tel quea(x+h)+b∈J. On poseτ= f(a(x+h) +b)−f(ax+b)
h .
On aτ =a×f(ax+b+ah)−f(ax+b) ah
Examinons la limite deτ lorsquehtend vers 0 : 5
ah→0 ah b).
On en d´eduit queτ admet pour limite lorsquehtend vers 0 : a×f0(ax+b).
2 4 G´en´eralisation
Des exemples pr´ec´edents se dessine une formule unifi´ee de la d´eriv´ee x 7→ f(u(x)) (fonction compos´ee deuet def que l’on notef◦u)
(f◦u)0:x7→u0(x)×f0(u(x)) Exemples.Soit la fonctionf d´efinie sur R+ parf(x) = cos(√
x).
La fonctionf est d´erivable pour toutx >0 et on a f0(x) =− 1 2√
xsin(√ x).
