Courbes de B´ ezier

(1)

Universit´ e Claude Bernard–Lyon I

Licence 3 de Math´ ematiques : G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire Ann´ ee 2012–2013

Courbes de B´ ezier

1 ^○ Rappels

Polynˆ omes de Bernstein : B _k,n ( t ) = ( ⁿ

k ) t ^k ( 1 − t ) ^n−k si 0 ⩽ k ⩽ n, B _k,n ( t ) = 0 sinon. En g´ en´ eral, on prend t ∈ [ 0, 1 ] .

Dans le plan, on choisit jusqu’` a la fin de la fiche un entier n ⩾ 1 et une famille de points ( P ₀ , . . . , P _n ) . On d´ efinit la courbe de B´ ezier sur les points de contrˆ ole ( P ₀ , . . . , P _n ) , not´ ee M _[P

₀

_,...,P

_n

_] (t) ou plus simplement M (t), par la formule suivante, ind´ ependante du choix d’un point O du plan :

∀t ∈ [0, 1], M(t) = O +

n

∑

k=0

B _k,n (t) Ð Ð →

OP _k , ou bien M (t) = ( P 0 ⋯ P n

B _0,n (t) ⋯ B _n,n (t) ) .

2 ^○ Propri´ et´ es des courbes de B´ ezier a)

^≪

Invariance affine

^≫

Soit f ∶ R ² → R ² une application affine. Montrer que l’image par f de la courbe de B´ ezier sur les points de contrˆ ole P ₀ , . . . , P _n est la courbe de B´ ezier sur les points de contrˆ ole f (P ₀ ), . . . , f (P _n ).

b) Enveloppe convexe

Montrer que la courbe est tout enti` ere contenue dans l’enveloppe convexe des points de contrˆ ole.

c) Influence de l’ordre des points

Montrer sur un exemple (disons avec n = 4) que l’ordre des points de contrˆ ole est important.

D´ eterminer une permutation non triviale des points de contrˆ ole qui ne modifie jamais la courbe de B´ ezier.

d) Contrˆ ole pseudo-local

V´ erifier que si on bouge un et un seul des points de contrˆ ole P _j , la courbe enti` ere est modifi´ es (sauf ´ eventuellement ses extr´ emit´ es si j ∉ {0, n}).

Justifier qualitativement que si l’on bouge le point P j , la courbe est modifi´ ee

^≪

surtout

^≫

pour les valeurs de t au voisinage de j / n.

e) Interpolation aux extr´ emit´ es V´ erifier que M ( 0 ) = P 0 , que M ( 1 ) = P n .

Montrer que la courbe admet un vecteur tangent en t = 0 et que ce vecteur dirige la demi- droite [P ₀ P ₁ ) ; montrer la courbe admet un vecteur tangent en t = 0 et que ce vecteur dirige la demi-droite [ P n P n−1 ) .

3 ^○ Autour de l’algorithme de Casteljau

Algorithme de Casteljau : ` a t ∈ [ 0, 1 ] fix´ e, on d´ efinit M j,0 = P j pour 0 ⩽ j ⩽ n puis, ` a l’´ etape

` ∈ {1, . . . , n} :

M _j,` = M _j,` (t) = ( M _j,`−1 ( t ) M _j+1,`−1 ( t )

1 − t t ) (0 ⩽ j ⩽ n − `).

Alors, on a : M 0,n ( t ) = M ( t ) .

a) Justification (vue en cours) V´ erifier la relation fontamentale :

( P ₀ ⋯ P _n+1

B 0,n+1 ( t ) ⋯ B n+1,n+1 ( t ) ) =

⎛

⎜

⎝

( P ₀ ⋯ P _n

B 0,n ( t ) ⋯ B n,n ( t )

) ( P ₁ ⋯ P _n+1 B 0,n ( t ) ⋯ B n,n ( t )

)

1 − t t

⎞

⎟

⎠ .

En d´ eduire la validit´ e de l’algorithme de Casteljau, c’est-` a-dire que M _0,n ( t ) = M ( t ) .

1

(2)

b) Construction effective

Observer le tableau suivant, le commenter, l’impl´ ementer (par exemple avec Geogebra)...

M 0,0 M 1,0 M 2,0 ⋯ M n−1,0 M n,0

M _0,1 M _1,1 ⋯ M _n−2,1 M _n−1,1

M 0,2 M 2,2 M n−2,2

⋱ ⋰

M 0,n

(On pourra l’utiliser pour d´ emontrer que l’algorithme de Casteljau est correct, c’est-` a-dire que l’on a bien : M _0,n (t) = M (t) pour tout t.)

c) Recollement

Observer la figure ci-dessus (tir´ ee de wikipedia) et montrer que la courbe de B´ ezier de points de contrˆ ole P ₀ , . . . , P _n s’obtient en concat´ enant (

^≪

recollant

^≫

) deux courbes de B´ ezier bien choisies.

Voici l’identit´ e ` a d´ emontrer : pour u ∈ [0,1], on note N (u) le point courant de la courbe de B´ ezier associ´ ee ` a M 0,0 ( t ) , M 0,1 ( t ) , . . . , M 0,n ( t ) , c’est-` a-dire :

N (u) =

n

∑

k=0

( n

k )(1 − u) ^n−k u ^k M _0,k (t)

=

n

∑

k=0

( n

k )(1 − u) ^n−k u ^k

k

∑

`=0

( k

` )(1 − t) ^k−` t ^` P _`

Il s’agit de montrer que l’on a : N ( u ) =

n

∑

`=0

( n

` )( ut ) ^` ( 1 − ut ) ^n−` P _` . d) Application : tangente

En d´ eduire en particulier que la tangente ` a la courbe de B´ ezier en M ( t ) est la droite passant par M 0,n−1 ( t ) et M 1,n−1 ( t )) .

4 ^○ Points de contrˆ ole pour une courbe polynˆ omiale

a) Soit n ∈ N . Montrer que la famille ( B _k,n ) _0⩽k⩽n est une base de l’espace R n [ t ] des polynˆ omes de degr´ e ⩽ n.

b) On se donne une courbe polynomiale M ( t ) = ( x ( t ) , y ( t )) (t ∈ [ 0, 1 ] ), o` u x et y sont deux polynˆ omes de degr´ e inf´ erieurs ou ´ egaux ` a un entier x donn´ e. Montrer que M est une courbe de B´ ezier pour un choix convenable de points de contrˆ ole P ₀ = M (0), P ₁ , . . . , P _n = M (1).

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Courbes de B´ ezier

Universit´ e Claude Bernard–Lyon I

Licence 3 de Math´ ematiques : G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire Ann´ ee 2012–2013

Courbes de B´ ezier

1 ○ Rappels

Polynˆ omes de Bernstein : B k,n ( t ) = ( n

k ) t k ( 1 − t ) n−k si 0 ⩽ k ⩽ n, B k,n ( t ) = 0 sinon. En g´ en´ eral, on prend t ∈ [ 0, 1 ] .

Dans le plan, on choisit jusqu’` a la fin de la fiche un entier n ⩾ 1 et une famille de points ( P 0 , . . . , P n ) . On d´ efinit la courbe de B´ ezier sur les points de contrˆ ole ( P 0 , . . . , P n ) , not´ ee M [P

,...,P

] (t) ou plus simplement M (t), par la formule suivante, ind´ ependante du choix d’un point O du plan :

∀t ∈ [0, 1], M(t) = O +

n

∑

k=0

B k,n (t) Ð Ð →

OP k , ou bien M (t) = ( P 0 ⋯ P n

B 0,n (t) ⋯ B n,n (t) ) .

2 ○ Propri´ et´ es des courbes de B´ ezier a)

Invariance affine

Soit f ∶ R 2 → R 2 une application affine. Montrer que l’image par f de la courbe de B´ ezier sur les points de contrˆ ole P 0 , . . . , P n est la courbe de B´ ezier sur les points de contrˆ ole f (P 0 ), . . . , f (P n ).

b) Enveloppe convexe

Montrer que la courbe est tout enti` ere contenue dans l’enveloppe convexe des points de contrˆ ole.

c) Influence de l’ordre des points

Montrer sur un exemple (disons avec n = 4) que l’ordre des points de contrˆ ole est important.

D´ eterminer une permutation non triviale des points de contrˆ ole qui ne modifie jamais la courbe de B´ ezier.

d) Contrˆ ole pseudo-local

V´ erifier que si on bouge un et un seul des points de contrˆ ole P j , la courbe enti` ere est modifi´ es (sauf ´ eventuellement ses extr´ emit´ es si j ∉ {0, n}).

Justifier qualitativement que si l’on bouge le point P j , la courbe est modifi´ ee

surtout

pour les valeurs de t au voisinage de j / n.

e) Interpolation aux extr´ emit´ es V´ erifier que M ( 0 ) = P 0 , que M ( 1 ) = P n .

Montrer que la courbe admet un vecteur tangent en t = 0 et que ce vecteur dirige la demi- droite [P 0 P 1 ) ; montrer la courbe admet un vecteur tangent en t = 0 et que ce vecteur dirige la demi-droite [ P n P n−1 ) .

3 ○ Autour de l’algorithme de Casteljau

Algorithme de Casteljau : ` a t ∈ [ 0, 1 ] fix´ e, on d´ efinit M j,0 = P j pour 0 ⩽ j ⩽ n puis, ` a l’´ etape

` ∈ {1, . . . , n} :

M j,` = M j,` (t) = ( M j,`−1 ( t ) M j+1,`−1 ( t )

1 − t t ) (0 ⩽ j ⩽ n − `).

Alors, on a : M 0,n ( t ) = M ( t ) .

a) Justification (vue en cours) V´ erifier la relation fontamentale :

( P 0 ⋯ P n+1

B 0,n+1 ( t ) ⋯ B n+1,n+1 ( t ) ) =

⎛

⎜

⎝

( P 0 ⋯ P n

B 0,n ( t ) ⋯ B n,n ( t )

) ( P 1 ⋯ P n+1 B 0,n ( t ) ⋯ B n,n ( t )

)

1 − t t

⎞

⎟

⎠ .

En d´ eduire la validit´ e de l’algorithme de Casteljau, c’est-` a-dire que M 0,n ( t ) = M ( t ) .

1

b) Construction effective

Observer le tableau suivant, le commenter, l’impl´ ementer (par exemple avec Geogebra)...

M 0,0 M 1,0 M 2,0 ⋯ M n−1,0 M n,0

M 0,1 M 1,1 ⋯ M n−2,1 M n−1,1

M 0,2 M 2,2 M n−2,2

⋱ ⋰

⋱ ⋰

M 0,n

(On pourra l’utiliser pour d´ emontrer que l’algorithme de Casteljau est correct, c’est-` a-dire que l’on a bien : M 0,n (t) = M (t) pour tout t.)

c) Recollement

Observer la figure ci-dessus (tir´ ee de wikipedia) et montrer que la courbe de B´ ezier de points de contrˆ ole P 0 , . . . , P n s’obtient en concat´ enant (

recollant

) deux courbes de B´ ezier bien choisies.

Voici l’identit´ e ` a d´ emontrer : pour u ∈ [0,1], on note N (u) le point courant de la courbe de B´ ezier associ´ ee ` a M 0,0 ( t ) , M 0,1 ( t ) , . . . , M 0,n ( t ) , c’est-` a-dire :

N (u) =

n

∑

k=0

( n

k )(1 − u) n−k u k M 0,k (t)

=

n

∑

k=0

( n

k )(1 − u) n−k u k

1 ^○ Rappels

Polynˆ omes de Bernstein : B _k,n ( t ) = ( ⁿ

k ) t ^k ( 1 − t ) ^n−k si 0 ⩽ k ⩽ n, B _k,n ( t ) = 0 sinon. En g´ en´ eral, on prend t ∈ [ 0, 1 ] .

Dans le plan, on choisit jusqu’` a la fin de la fiche un entier n ⩾ 1 et une famille de points ( P ₀ , . . . , P _n ) . On d´ efinit la courbe de B´ ezier sur les points de contrˆ ole ( P ₀ , . . . , P _n ) , not´ ee M _[P

_,...,P

_] (t) ou plus simplement M (t), par la formule suivante, ind´ ependante du choix d’un point O du plan :

B _k,n (t) Ð Ð →

OP _k , ou bien M (t) = ( P 0 ⋯ P n

B _0,n (t) ⋯ B _n,n (t) ) .

2 ^○ Propri´ et´ es des courbes de B´ ezier a)

Soit f ∶ R ² → R ² une application affine. Montrer que l’image par f de la courbe de B´ ezier sur les points de contrˆ ole P ₀ , . . . , P _n est la courbe de B´ ezier sur les points de contrˆ ole f (P ₀ ), . . . , f (P _n ).

V´ erifier que si on bouge un et un seul des points de contrˆ ole P _j , la courbe enti` ere est modifi´ es (sauf ´ eventuellement ses extr´ emit´ es si j ∉ {0, n}).

Montrer que la courbe admet un vecteur tangent en t = 0 et que ce vecteur dirige la demi- droite [P ₀ P ₁ ) ; montrer la courbe admet un vecteur tangent en t = 0 et que ce vecteur dirige la demi-droite [ P n P n−1 ) .

3 ^○ Autour de l’algorithme de Casteljau

M _j,` = M _j,` (t) = ( M _j,`−1 ( t ) M _j+1,`−1 ( t )

( P ₀ ⋯ P _n+1

( P ₀ ⋯ P _n

) ( P ₁ ⋯ P _n+1 B 0,n ( t ) ⋯ B n,n ( t )

En d´ eduire la validit´ e de l’algorithme de Casteljau, c’est-` a-dire que M _0,n ( t ) = M ( t ) .

M _0,1 M _1,1 ⋯ M _n−2,1 M _n−1,1

(On pourra l’utiliser pour d´ emontrer que l’algorithme de Casteljau est correct, c’est-` a-dire que l’on a bien : M _0,n (t) = M (t) pour tout t.)

Observer la figure ci-dessus (tir´ ee de wikipedia) et montrer que la courbe de B´ ezier de points de contrˆ ole P ₀ , . . . , P _n s’obtient en concat´ enant (

k )(1 − u) ^n−k u ^k M _0,k (t)

k )(1 − u) ^n−k u ^k

` )(1 − t) ^k−` t ^` P _`

` )( ut ) ^` ( 1 − ut ) ^n−` P _` . d) Application : tangente

4 ^○ Points de contrˆ ole pour une courbe polynˆ omiale

a) Soit n ∈ N . Montrer que la famille ( B _k,n ) _0⩽k⩽n est une base de l’espace R n [ t ] des polynˆ omes de degr´ e ⩽ n.