Compl´ements de topologie g´en´erale

Compl´ements de topologie g´en´erale

1 Topologie initiale

Proposition - D´ efinition (Topologie initiale). Soit E un ensemble, A une famille d’applica- tions de E vers des espaces topologiques et τ ⊂ P(E). Les assertions suivantes sont ´ equivalentes :

1. τ est la topologie engendr´ ee par

{f

(U ) | f ∈ A, U ouvert de l’espace d’arriv´ ee de f };

2. τ est la topologie la moins fine qui rende toutes les applications de A soient continues ; 3. pour tout espace topologique (X, τ

) et toute application ψ : X → E, ψ est continue de

(X, τ

) dans (E, τ ) si et seulement si, pour tout f : E → (F, τ

) appartenant ` a A, f ◦ ψ est continue de (X, τ

) dans (F, τ

).

La topologie ainsi (triplement) d´ efinie est appel´ ee topologie initiale associ´ ee ` a A.

Exemples. 1. Si (F, τ

) est un espace topologique et E est un sous-ensemble de F, la topologie induite par τ sur E est la topologie initiale associ´ ee ` a une unique application : l’inclusion de E dans (F, τ

) (v´ erification imm´ ediate).

2. Si E = E

× · · · × E

, la topologie produit associ´ ee aux topologies τ

,. . .,τ

sur E

,. . .,E

engendr´ ee par les rectangles ouverts U

×· · ·× U

est aussi engendr´ ee par les rectangles tels que U

= E

sauf pour au plus un facteur. Ceci montre qu’elle co¨ıncide avec la topologie initiale associ´ ee ` a la famille des projections π

: E → (E

, τ

) (au sens du 1. ci-dessus). ` A partir de l` a, les caract´ erisations de la topologie produit vues en cours sont des corollaires de la proposition ci-dessus.

De la mˆ eme fa¸con, dans le cas d’un produit infini, la topologie sur E = Π

E

engendr´ ee par les cylindres ouverts co¨ıncide avec la topologie initiale associ´ ee aux projections π

E → (E

, τ

), et c’est comme cela que l’on d´ efinit la topologie produit.

Exercice. (Preuve de la proposition)

1. Montrer que l’ensemble des topologies qui rendent les applications de A continues est non vide et stable par intersection. En d´ eduire qu’il admet un unique ´ el´ ement minimal (ainsi, ind´ ependamment de la proposition, 2. d´ efinit bien une unique topologie).

2. Montrer que la topologie τ (A) d´ efinie par le 1. rend les ´ el´ ements de A continus, et que toute autre topologie ayant cette proprı´ et´ e contient τ (A). En d´ eduire que 1. et 2. d´ efinissent la mˆ eme topologie.

3. (a) Montrer que si τ satisfait l’assertion 3, elle rend les applications de A continues.

(b) Montrer, en utilisant la question pr´ ec´ edente, que si τ

et τ

sont deux topologies sur E telles que l’assertion 3. soit satisfaite pour τ = τ

et τ = τ

, alors l’identit´ e est continue de (E, τ

) dans (E, τ

) et inversement. Qu’est-ce que cela signifie sur τ

et τ

?

(c) Montrer que pour τ = τ (A), l’assertion 3. est v´ erifi´ ee. Conclure.

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2 Topologie image

Ci-dessus, on avait des applications de E vers divers F avec des topologies sur F et on construisait une topologie sur E (initiale car E est l’ensemble de d´ epart). Maintenant c’est le contraire : on a toujours une application de E dans F mais c’est sur E qu’on a une topologie et sur F qu’on veut en construire une (d’o` u le nom topologie image).

Proposition - D´ efinition (Topologie image). Soit (E, τ

) un espace topologique, F un en- semble, f : E → F et τ ⊂ P(F ). Les assertions suivantes sont ´ equivalentes :

1. τ = {U ⊂ F | f

(U) ∈ τ

} ;

2. τ est la topologie la plus fine qui rende f continue ;

3. pour tout espace topologique (X, τ

) et toute application ψ : F → X, ψ est continue de (F, τ ) dans (X, τ

) si et seulement si ψ ◦ f est continue de (E, τ

) dans (X, τ

).

La topologie ainsi (triplement) d´ efinie est appel´ ee topologie image de τ

par f .

Exemple. Si F = E/R avec R relation d’´ equivalence sur E, la topologie quotient sur F est d´ efinie comme la topologie image de τ

par la projection canonique π

: E → E/R.

Exercice. (Preuve de la proposition)

1. Montrer que le 1. d´ efinit bien une topologie. Notons la τ

.

2. Montrer “la topologie la plus fine qui rende f continue” d´ efinit bien une topologie sur F (on pourra s’inspirer du 1. de l’exercice pr´ ec´ edent).

3. Montrer que τ

satisfait l’assertion 3. S’inspirer du 3. de l’exercice pr´ ec´ edent pour conclure.

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