MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 15 (du lundi 4 au vendredi 8 f´evrier) lyc´ee Chaptal
Fonctions continues sur un intervalle
I. G´en´eralit´es : I est un intervalle de R contenant au moins deux points. D´e- finition et structure d’espace vectoriel stable pour le produit de C(I). Stabilit´e par passage `a la valeur absolue, cons´equence sur f+, sup(f, g), etc. . . Continuit´e sur des intervalles et composition. Restriction et continuit´e ; prolongements par continuit´e.
II. Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires: ´enonc´e, d´emonstration, application
`
a l’image d’un intervalle deR.
III. Image d’un segment : toute fonction continue sur un segment est born´ee et atteint ses bornes, image d’un segment par une application continue.
IV. Fonction continue strictement monotone: c’est une bijection (de. . . sur . . . ) et son application r´eciproque est continue, de mˆeme monotonie. Image de l’intervalle de d´epart suivant les cas possibles. Hom´eomorphisme.
V. Continuit´e uniforme / fonctions lipschitziennes : d´efinition de l’u- continuit´e, caract´erisation s´equentielle, th´eor`eme de Heine. Fonctions lipschit- ziennes : d´efinition, relation lipschitzien/u-continue/continue. Suites r´ecurrentes : preuve du th´eor`eme du point fixe pour une applicationk-lipschitzienne aveck <1.
VI. Exercices
D´ erivation des fonctions ` a valeurs r´ eelles (cours seul)
I. Fonction d´ eriv´ ee : les alg` ebres D(I), C (I). . .
1. Op´erations sur les fonctions d´erivables : d´erivation de combinaison lin´eaire, multiplication, quotient de fonctions d´erivables en un point. Structure de D(I) et deC1(I).
2. Composition : th´eor`eme de d´erivation des fonction compos´ees. Si f est une fonction continue strictement monotone sur I et d´erivable en a ∈ I, alors f−1 est d´erivable enb=f(a) si et seulement sif0(a)6= 0 et expression de la d´eriv´ee (r´esultat admis).
3. D´eriv´ees successives : notions de fonctions n-fois d´erivables, de classe Cn, C+∞. Liens avec les op´erations et la composition des fonctions. Formule de Leibniz.
Questions de cours
Q.1 D´emontrer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
Q.2 Ecrire une proc´´ edure Maple qui d´etermine par dichotomie une valeur appro- ch´ee `aepspr`es d’une fonction continue.
Q.3 [facultatif]D´emontrer qu’une fonction continue sur un segment est born´ee et atteint ses bornes.
Q.4 D´emontrer que la r´eciproque d’une bijection continue sur un intervalle r´eel `a valeurs dansRest continue.
Q.5 Enoncer et d´´ emontrer la caract´erisation s´equentielle de la continuit´e uniforme.
Q.6 [facultatif] D´emontrer le th´eor`eme de Heine.
Q.7 Soitf continue de [a;b] `a valeurs dans [a;b]. D´emontrer quef admet un point fixe.
Q.8 D´eterminer les fonctionsf continue en 0 telles que∀x∈R,f(3x) =f(x).
Q.9 Montrer que sif est continue et strictement d´ecroissante deRdansR, alors f admet un point fixe.
Q.10 D´efinir une fonction continue en aucun point deR.
Q.11 D´emontrer que sif et g sont de classe C1 et composables, alorsg◦f l’est aussi.
Q.12 D´emontrer la formule de Leibniz.
A venir : d´` erivabilit´e sur un intervalle, formules de Taylor.
