Chap 17
Etude globale des fonctions : continuit´ ´ e
1 Continuit´ e sur un ensemble
D´efinition. Soit f d´efinie surD. On dit que f estcontinue sur D si et ssi f est continue en tout point de a de D.
Subtilit´e.
Exemple. Les fonctions polynomiales sont continues surR.
Propri´et´e.Op´erations sur les fonctions continues (somme, produit etc.). Composition des fonctions continues.
Propri´et´e. (Restriction, prolongement). Si f est continue sur D, alors sa restriction `a D1 D est encore continue.
Si f est continue surra, bset surrb, cs, alorsf est continue surra, cs.
Propri´et´e.Soitf une fonction `a valeurs r´eelles continue surD. Alors les fonctions|f|,f etf sont continues
sur D.
Remarque.
Exemple. Donner le domaine de d´efinition de xÞÑlnpx2 1q.
2 Fonctions continues sur un intervalle
2.1 Espace vectoriel CpIq
D´efinition. Soit I un intervalle. On noteCpIq ou C0pIq l’ensemble des fonctions continuesI Ñ K.
Propri´et´e. CpIq est non vide, inclus dans l’espace vectorielKI et stable par combinaisons lin´eaires.
On dit que c’est unsous-espace vectoriel de KI.
2.2 Image d’un intervalle
Th´eor`eme (des valeurs interm´ediaires).
Soit f d´efinie et continue sur un intervallera, bs, et y P Rtel que fpaq ¤ y ¤fpbq (oufpbq ¤ y ¤
fpaq). Alors il existexP ra, bstel queyfpxq.
Remarque.
Interpr´etation g´eom´etrique.
Exemple.
Corollaire.Sif est continue sur un intervalleI, alors l’image directe deI parf, not´eefpIq, est un intervalle.
Attention.. fpIq n’est pas toujours de mˆeme nature que I.
Exemple.
(a) Ainsi, si fpxq sinx, on afps π, πrq r1,1s,fps0, πrq s0,1s. (b) Et si gpxq px3q2 2, gps2,4rq r2,3rapr`es recherche des extrema.
(c) Enfin si hpxq 1x, alorshps0,1sq r1, 8r, n’est pas born´e.
2.3 Image d’un segment
Rappel. On appellesegment de R tout intervalle ferm´e born´e deR. Th´eor`eme.
Soit pa, bq P R2 tel quea ¤ b et f : ra, bs Ñ R. Si f est continue sur ra, bs, alors f est born´ee et
atteint ses bornes.
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Chap 17 – ´Etude globale des fonctions : continuit´e
Corollaire. Soit pa, bq P R2 tel que a ¤ b et f : ra, bs Ñ R. Si f est continue sur ra, bs, alorsfpra, bsq est un segment de R:fpra, bsq rm, Ms
Remarque.
2.4 Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle Th´eor`eme.
Soit I un intervalle deR etf continue sur I, strictement monotone surI.
Alors :
(a) fpIqest un intervalle dont les bornes sont les limites def aux bornes deI. On le noteJ. (b) f induit une bijection de I surJ.
(c) la bijection r´eciproque f1 : fpIq ÑI est continue, strictement monotone sur J (de mˆeme sens de variation que f).
Repr´esentation graphique.
px, yq PCf ðñ py, xq PCf1
donc les courbes repr´esentatives sont sym´etriques par rapport `a la droite d’´equation yx.
La fonction radical n-`eme.
La fonction Arctan.
Exemple. La fonction :xÞÑ x 1 |x|.
2.5 Continuit´e uniforme
Rappel. Soitf : DÑ K.f est continuesur Dsi et seulement si :
@yPD, @ε¡0, Dα¡0 t.q.@xPD, |xy| ¤α ùñ |fpxq fpyq| ¤ε
D´efinition. Soit f : DÑ K.f estuniform´ement continuesurD si et seulement si :
@ε¡0, Dα¡0 t.q.@px, yq PD2, |xy| ¤α ùñ |fpxq fpyq| ¤ε
Remarque.
Propri´et´e. Toute fonction lipschitzienne surD estuniform´ement continue sur D.
Th´eor`eme (de Heine).
Toute fonction continue sur un segment estuniform´ement continue.
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17.1Donneruneexempled’applicationfcontinueetbijective, tellequef1 nesoitpascontinue.contglobale_1.tex 17.2Soitpa,bqPR2 ,a betf:ra,bsÑra,bsunefonction continuesurra,bs.D´emontrerqu’ilexistexPra,bstelquefpxqx. contglobale_2.tex 17.3Soitf:RÑRunefonctioncontinuesurunintervalleI telleque|f|estconstantesurI.End´eduirequefestconstantesurI. contglobale_3.tex 17.4Onconsid`erelesquatreapplicationsd´efiniesder01sdansR par f1pxq# 0six0 1 xsix0f2pxq# 1six0 1 xsix0 f3pxq# 0six0 1six0f4pxq$ ' & ' %1xsix0,x1 0six0 1six1 Pouri1,2,3,4,d´eterminerfipr01sq,puis´etudierlacontinuit´edela fonctionfisurr01s.contglobale_4.tex 17.5MontrerquexÞÑ1 cosxd´efinitunebijectionde 0,π 2 surun intervalleI`apr´eciser.contglobale_6.tex 17.6MontrerquexÞÑ? xestuniform´ementcontinuesurR. contglobale_7.tex 17.7SoitfunefonctioncontinuesurRadmettantunelimitefi- nieen8et8.Montrerquefestborn´ee.Atteint-ellesesbornes? contglobale_8.tex 17.8SoitfPC0 pR,Rqdelimite8en8et8.Montrerqu’il existex0PRtelque@xPR,fpx0q¤fpxq.contglobale_9.tex 17.9Soitf:RÑRcontinuetelleque: @xPR,fp|x|qfpxq ¡
0
Montrerquefestpaire.contglobale_10.tex 17.10SoitIunintervalledeR,fetgdeuxfonctionscontinues surItellesque: @xPI,f2 pxqg2 pxq0 Montrerquefgoufg.contglobale_11.tex 17.11Peut-onconstruiref:RÑRcontinuetelleque: # fpQqRrQ fpRrQqQ contglobale_12.tex 17.12Soita betf:ra,brÑRcontinue.Onsupposeque fpxqÝÝÝÑ xÑ b`avec`PR.Montrerquefestuniform´ementcontinuesur ra,br.contglobale_13.tex 17.13SoitaPRetf:ra,8rÑRcontinue.Onsupposeque fpxqÝÝÝÝÑ xÑ8`avec`PR.Montrerquefestuniform´ementcontinue surra,8r.contglobale_14.tex 17.14Soitf:RÑRcontinueetp´eriodique.Montrerquefest uniform´ementcontinuesurR.contglobale_15.tex 17.15Uncoureurparcourt68kmen8heure.Montrerqu’ilexiste unintervallede4heurespendantlequelilaparcouru34km.contglo- bale_18.tex 17.16 (a)Est-cequexÞÑx2 estuniform´ementcontinuesurR? (b)Est-cequexÞÑx2 estlipschitziennesurR? contglobale_30.tex
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