Fonctions de 2 variables : continuit´e et calcul diff´erentiel

Fonctions de 2 variables : continuit´ e et calcul diff´ erentiel

1 Topologie sur R

1.1 Notion g´en´erale d’espace vectoriel norm´e D´efinition. Soit E un R-espace vectoriel.

On appellenorme deE toute applicationN : E Ñ R telle que :

(a) @XPE,NpXq ¥0

(b) @XPE,NpXq 0_RñX0E

(c) @XPE,@λP R,NpλXq |λ|NpXq

(d) @pX, Yq PE²,NpX Yq ¤NpXq NpYq

E muni deN est appel´e espace vectoriel norm´e.

Exemple. Pour toutX px₁, x₂q P R², on pose : }X}2 b

x²₁ x²₂ et }X}8 maxp|x1|,|x2|q Montrer que ce sont des normes.

Propri´et´e.

SoitpE,}.}q un e.v. norm´e.

(a) @ pX_iq1¤i¤p PE^p,

¸p i1

X_i

¤

¸p i1

}X_i}

(b) @ pX, Yq PE²,|}X} }Y}| ¤ }XY} 1.2 Initiation `a la topologie dans R²

Remarque.Dans toute la suite du chapitre (sauf mention contraire), on consid`ereE l’espace vectorielR² muni d’une norme } } (en g´en´eral la norme euclidienne not´ee} }2).

D´efinition. On appelleboule ouverte de centre APE et de rayon r¡0 l’ensemble

BpA, rq tX PE t.q. }XA}  ru

Exemple.Repr´esenterB2pO,1qetB₈pO,1qles boules de centreO de rayon 1 pour les normes d´efinies ci-avant.

Vocabulaire topologique. On dit queU est unouvertde E si et ssi @XPU,Dr ¡0 t.q. BpX, rq €U. Interpr´etation g´eom´etrique.

Exemple.

(a) s0,3rs 2, 8r (b) R²,∅.

(c) r0,1rs 1,1r. Remarque.

Propri´et´e. Une boule ouverte deR² est un ouvert de R².

D´efinition. Une partie U de R² est diteborn´ee si et seulement si : DM ¡0 t.q.@X PU, }X} ¤M

Interpr´etation g´eom´etrique.

D´efinition. Une partie U de R² est diteconvexe si et seulement si :

@pX, Yq PU, @tP r0,1s, tX p1tqY PU

Interpr´etation g´eom´etrique.

1.3 Un mot sur les suites de R²

D´efinition. Soit pU_nqnPN une suite de R². On dit que la suite converge vers`P R² si et seulement si :

@ε¡0, DN P Nt.q. @nP N, pn¥N ñ }U_n`}  εq

On dit que la suite diverge si elle ne converge pas.

Remarque. Traduction en terme de boule ouverte.

Illustration graphique.

Propri´et´e. Si une suite de R² converge vers`, alors cette limite est unique.

2 Continuit´ e d’une fonction ` a deux variables r´ eelles

2.1 D´efinition et propri´et´es

D´efinition. Soit U une partie ouverte deR². Soitf une application d´efinie de U dansR. SoitX₀PU.

On dit quef a pour limite ` en X0 si et seulement si :

@ε¡0,Dα¡0 t.q.@XPU,}XX₀}  αñ |fpXq `|  ε

On dit que f estcontinue en X₀ si et seulement si fpXq ÝÝÝÝÑ

XÑX0

fpX₀q, Remarque. Traduction en terme de boules ouvertes.

Exemple. Les fonctions de projection sur les axes :px, yq ÞÑxet px, yq ÞÑy sont continues en tout point.

Propri´et´e. On retrouve les propri´et´es des fonctions d’une variable, sauf lorsque l’ordre de la source intervient.

• Unicit´e de la limite sous r´eserve d’existence

• Op´erations sur les limites, les fonctions continues

• Th´eor`eme d’encadrement

• Caract´erisation s´equentielle

• Composition par une fonctionϕ : R Ñ R continue.

Propri´et´e.

(a) C⁰pU,Rq, ,

ensemble des applications continues surU est un anneau.

(b) C⁰pU,Rq, , .

est unR-e.v.

M´ethodes pour ´etudier la continuit´e.

(a) Continuit´e en un point sp´ecifique.

(b) Non continuit´e en un point sp´ecifique.

(c) Continuit´e sur un domaine.

Exemple.

g : R² Ñ R px, yq ÞÑ

$&

% a xy

x² y² sipx, yq p0,0q 0 sipx, yq p0,0q

Exemple. Etudier la continuit´´ e de

f : R² Ñ R px, yq ÞÑ

$&

% xy

x² y² si px, yq p0,0q 0 si px, yq p0,0q

Remarque.

2.2 Applications partielles

D´efinition. Soit U une partie ouverte deR². Soitf une application d´efinie de U dansR. SoitX0px0, y0q P U.

On appelleapplications partielles de f relatives `a X0 les applications r´eelles :

f₁ : U₁ Ñ R

x ÞÑ fpx, y₀q

etf₂ : U₂ Ñ R

y ÞÑ fpx₀, yq

Remarque. Les applications partielles sont parfois not´ees fp, y₀qetfpx₀,q. Remarque. Ces applications sont d´efinies surU₁ etU₂ avec

U1 txP Rt.q. px, y0q PUu

Exemple. Donner les applications partielles de la fonctionf pr´ec´edente aux pointsp1,2q,p0,3q etp0,0q. Th´eor`eme.

Si f est continue enX0px0, y0q alorsf1 est continue en x0 et f2 est continue en y0.

Remarque. Attention !

2.3 Extension aux fonctions `a valeurs dans R²

D´efinition. Soit U une partie ouverte deR². Soitf : U Ñ R².

@X P U, fpXq admet deux coordonn´ees pf¹pXq, f²pXqq. On dispose alors de deux applications f¹ et f² `a

valeurs r´eelles, appel´eesfonctions coordonn´eesou applications composantesde f.

D´efinition.SoitU une partie ouverte deR². Soitf : U Ñ R². On dit quef estcontinue enX₀si et seulement si :

@ε¡0,Dα¡0 t.q.@X PU,}XX₀}  αñ }fpXq fpX₀q}  ε

Remarque. Traduction en terme de boules ouvertes.

Propri´et´e. f est continue en X₀ si et seulement si f¹ etf² sont continues en X₀.

Propri´et´e. La composition `a gauche ou `a droite, si elle est licite, « conserve» la continuit´e.

2.4 Extension aux fonctions de trois variables

Normes. Les deux normes usuelles sur R³ sont} }2 et} }₈. Applications partielles. Trois applications partielles

3 Calcul diff´ erentiel

3.1 D´eriv´ee suivant un vecteur. D´eriv´ees partielles

Pr´eliminaire. Soit U une partie ouverte deR². Soit f : U Ñ R. Soit apx₀, y₀q PU. Soit~vpv₁, v₂q P R². U ´etant ouvert, il existeδ¡0 tel que@tPs δ, δr a t~vPU.

a

−

→h

U

On peut ainsi consid´erer l’application d’une variable r´eelle

ϕ_~v : s δ, δr Ñ R

t ÞÑ fpa t~vq fpx₀ tv₁, y₀ tv₂q

D´efinition. On dit quef admet une d´eriv´ee premi`ere ena suivant le vecteur~vsi et seulement siϕ_~v est

d´erivable en 0. Dans ce cas, on noteϕ¹_~vp0q D_~vfpaq cette d´eriv´ee.

D´efinition. On parle ded´eriv´ees partiellesdans les deux cas particuliers o`u~v p1,0q et~v p0,1q.

On les note respectivement Bf

Bxpaqet Bf Bypaq Remarque.

Proposition. Ce sont les d´eriv´ees des applications partielles.

Op´erations. Sif etg admettent des d´eriv´ees partielles en aalors (a) λf µgaussi et ^Bpλf_Bx^µgqpaq λ^B_B^f_xpaq µ_B^Bg_xpaq

(b) f g aussi et ^Bp_B^{f g}_x^qpaq ^B_B^f_xpaqgpaq fpaq^B_Bx^gpaq

(c) si de plusfpaq 0, 1

f aussi et ^B

1 f

Bx paq _f2¹paqBf Bxpaq Exemple. Toujours avec l’exemplef pr´ec´edent, d´eterminer :

(a) la d´eriv´ee premi`ere de f en p1,0qselon le vecteur~v p1,2q; (b) Les nombres d´eriv´ees partielles def en p0,3q;

(c) Les fonctions d´eriv´ees partielles def. Remarque.

3.2 Applications de classe C¹

D´efinition.f : U Ñ Rest ditede classeC¹surU si et seulement si elle admet des d´eriv´ees partielles continues

sur U.

Propri´et´e.

(a) C¹pU,Rq, ,

ensemble des applications de classeC¹ surU est un anneau.

(b) C¹pU,Rq, , .

est unR-e.v.

Th´eor`eme.

Soit U un ouvert de R². Soit f PC¹pU,Rq. Soit aPU eth ph₁, h₂q P R² (a) f admet un DL₁paq:fpa hq fpaq h₁^B_B^f_xpaq h₂^B_B^f_ypaq ophq.

(b) f admet en aune d´eriv´ee suivant tout vecteur~vpv₁, v₂q et

D_~vfpaq v₁Bf

Bxpaq v₂Bf Bypaq

Remarque.

Exemple. On reprend toujours notre exemplef. (a) f est-elleC¹ surR²?

(b) Donner le D.L. de f `a l’ordre 1 en p1,2q; (c) Donner une valeur approch´ee de fp1,1 ; 1,9q.

Remarque. Sif est de classe C¹, alors elle est continue.

Remarque.Lien entre d´erivabilit´e et continuit´e : f cont. ena^{nvoo non //}

UU

non

f admet de d.p. en_KS a

ks f estC¹_KS

f₁ etf₂ cont. ena_jr ^{non ..}f₁ etf₂ d´er. en a_jr ^{non ..}f₁¹ etf₂¹ cont. ena Corollaire. L’application qui `a ~v associeD_~vfpaq est une forme lin´eaire appel´eeforme lin´eaire tangente en

a, not´ee df_a.

Notation diff´erentielle, gradient.

Exemple. Soit f : px, yq ÞÑ y^x. D´eterminer U ouvert de R² sur lequel f est de classe C¹ et calculer en tout point son vecteur gradient.

3.3 Composition et diff´erentiabilit´e Remarque.

Th´eor`eme.

Soit U un ouvert de R². Soit f PC¹pU,Rq. Soit I un intervalle de R.

Soient px, yq PC¹pI,Rq telles que@tPI, pxptq, yptqq PU

Alors g : I Ñ R

t ÞÑ fpxptq, yptqq

est de classeC¹ surI, et

@tPI, g¹ptq x¹ptq Bf

Bxpxptq, yptqq y¹ptq Bf

Bypxptq, yptqq

Exemple. Avec f : px, yq ÞÑ y^x etϕ : tÞÑ pt, t²q. Donner un intervalle sur lequel g fϕest d´erivable et d´eterminer de deux fa¸cons sa d´eriv´ee.

Application : Lignes de niveau et gradient.

Application : Changement de variables.

Exemple. On effectue le changement de variable

#x2X Y

y 3XY . Exprimer les d´eriv´ees partielles de g d´efinie par gpX, Yq fp2X Y,3XYq en fonction de celle def.

3.4 Matrice jacobienne

D´efinition. Siϕ : U Ñ R²

pX, Yq ÞÑ pϕ¹pX, Yq, ϕ²pX, Yqq

alors on appelle matrice jacobiennela matrice

Bϕ¹ BX

Bϕ¹ Bϕ² BY BX

Bϕ² BY

Exemple. Donner la matrice jacobienne depX, Yq ÞÑ p2X Y,3XYq.

3.5 Coordonn´ees polaires

Rappels. On consid`ere le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e directpO,~ı, ~q.

On note ~upθq cospθq~ı sinpθq~ et~vpθq sinpθq~ı cospθq~.

D´efinition. Pour tout point M du plan, il existe pρ, θq P R² tel que ÝÝÑOM ρ~upθq. On dit que pρ, θq est un

syst`eme de coordonn´ees polaires deM.

Remarque. Il n’y a pas unicit´e du syst`eme de coordonn´ees polaires.

Exercice.

(a) ´Ecrire la matrice jacobienne du changement de variables en coordonn´ees polaires.

(b) Calculer le gradient en coordonn´ees polaires.

3.6 Extremum

D´efinition. On d´efinit la notion de maximum/minimum local/global strict/large.

Interpr´etation graphique.

Th´eor`eme.

Soit U partie ouverte de R². Soit f PC¹pU,Rq.

Sif admet un extremum local enaalorsaest unpoint critique, c’est-`a-dire Bf

Bxpaq 0 et Bf

Bypaq 0.

Remarque.

• Cette condition n’est pas suffisante.

• Il existe des conditions suffisantes utilisant les d´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieures, mais elles sont hors programme de premi`ere ann´ee.

• On peut remplacer la condition« f est de classe C¹ surU »par la condition moins forte «f admet des d´eriv´ees partielles en tout point deU ».

• Les conditions U est ouvert et f est de classe C¹ (ou la condition ci-dessus) sont importantes. Ainsi :

f : r1,1s² Ñ R

px, yq ÞÑ |x| |y|

– admet un minimum local en p0,0qsans admettre de d´eriv´ees partielles enp0,0q. – admet un maximum local en p1,1q sans que ses d´eriv´ees partielles ne s’y annulent.

Exemple. Etudier les extrema de´ f : px, yq ÞÑxy.

Exemple. Rechercher les extrema de : f : R² Ñ R

px, yq ÞÑ x² y²2x4y Exemple. Rechercher les extrema de : f : R² Ñ R

px, yq ÞÑ x³ y³6px²y²q

3.7 D´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur

D´efinition.Sif admet des d´eriv´ees partielles surU, on dispose de deux nouvelles applications Bf Bx et Bf

By d´efinies sur U. Si ces derni`eres admettent des d´eriv´ees partielles, on dit quef admet des d´eriv´ees partielles d’ordre 2.

Notations.

Exemple. Donner les d´eriv´ees partielles secondes de f : px, yq ÞÑlna

x² y². Th´eor`eme (de Schwarz).

Si f PC²pU,Rq(i.e. les d´eriv´ees partielles d’ordre 2 existent et sont continues) alors : B²f

BxBy B²f ByBx

4 Exemples d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles

R´esolution de ^B_B^f_x 0. Soitf de classe C¹ sur une partie ouverte et convexe de R².

Ainsi, `ay fix´e, si A1 px1, yqet A2 px2, yq appartiennent `a U alors le segment rA1, A2s €U.

Bf

Bx 0 signifie alors que, toujours `a y fix´e,xÞÑfpx, yq est constante surrx1, x2s.

f est solution de Bf

Bx 0 ðñ DgPC¹pVq t.q.@x, y, fpx, yq gpyq o`uV ty t.q.Dx, px, yq PUu.f est constante par rapport `ax.

Principe de r´esolution. Pour r´esoudre une ´equation aux d´eriv´ees partielles, l’id´ee est de se ramener, `a l’aide

d’un changement de variables, `a une ´equation du type pr´ec´edent.

La fonction inconnue ´etant px, yq ÞÑ fpx, yq, le changement de variables peut ˆetre propos´e sous deux

formes :

Nouvelles inconnues en fonction des anciennes.

#

uψ¹px, yq vψ²px, yq Anciennes inconnues en fonction des nouvelles.

#

xϕ¹pu, vq yϕ²pu, vq Exemple. SoitaP R. R´esoudre l’´equation Bf

Bx Bf

By ad’inconnue f :R²Ñ R en effectuant le changement de variables ux y,vxy.

Exemple. Soit kP R. R´esoudre l’´equation xBf By yBf

Bx kf d’inconnuef :R² Ñ Ren passant en coordonn´ees polaires.

Exemple. Soit k P R. R´esoudre l’´equation de la corde vibrante : B²f

Bt² k²B²f

Bx² 0 en posant u x kt et v xkt.

43.1SoitNetN1 deuxnormessurR2 .Onditquecesnormessont ´equivalentessietseulementsi: Dpα,βqPR t.q.@XPR2 ,αNpXq¤N1 pXq¤βNpXq (a)Montrerquec’estunerelationd’´equivalence,c’est-`a-direunere- lationr´eflexive,sym´etriqueettransitive. (b)Montrerque}}2et}}8sont´equivalentes. (c)Commenttraduirelarelationd’´equivalenceentermedeboules ouvertesdemˆemecentre? (d)Repr´esenterler´esultatdelaquestionpr´ec´edentepourlesnormes }}2et}}8. fct2var_37.tex 43.2Ond´efinitsurR2 l’application: }}1:R2 ÑR px,yqÞÑ|x||y| (a)Montrerque}}estunenormesurR2 . (b)Montrerquecettenormeest´equivalente`a}}2et`a}}8. (c)Dessinerlabouleunit´edeR2 associ´ee`acettenorme. fct2var_1.tex 43.3Montrerquesi}}estunenormesurR2 ,alorspourtout px,yqPR2 ,onalarelation:

}x}}y} ¤

}xy} fct2var_2.tex 43.4SoitUunouvertdeR2 etpunqnPNunesuited’´el´ementsdeR2 quiconvergentvers`PU.Peut-onavoirunRUpouruneinfinit´ede n? fct2var_3.tex 43.5

´ Etudierleprolongement´eventuelparcontinuit´edef: ypx,yqÞÑx.Justifierl’existenceet´ecrireladiff´erentielledefaupoint decoordonn´eesp4,2q;´ecrireled´eveloppementlimit´edef`al’ordre1 encepoint.

fct2var_4.tex 43.6Lesfonctionssuivantessont-ellesprolongeablesparcontinuit´e enp0,0q? paqfpx,yqx2 y x2y2pbqfpx,yqx x2y2 pcqf:px,yqÞÑx4 y4 px2y4q3pdqfpx,yqx3 y x4y2 fct2var_5.tex 43.7Soitf:RÑRd´erivableet: F:R2 ÑR px,yqÞÑfpx2 y2 q Montrerque@px,yqPR2 ,yBF Bxpx,yqxBF Bypx,yq0 fct2var_7.tex 43.8Soit:f:R2 ÑR px,yqÞÑ# x2 six¥0ety¥0 0six 0oupx¥0ety 0q SoitUR2 rtpx,0q|x¥0u.D´emontrerquefestcontinuesurU, puisquefestdeclasseC1 surU. fct2var_8.tex 43.9Soit:f:R2 ÑR px,yqÞÑ

$ &0sipx,yqp0,0q 22 xypxyq %sinon 22xy 21 fest-ellecontinuesurR?declasseC?admet-elledesd´eriv´eespar- 2 tiellesd’ordre2?est-elledeclasseC? fct2var_9.tex 2 43.10Soit:f:RÑR px,yqÞÑ

$ ' &0sipx,yqp0,0q 22 sinpxqsinpyq ' %asinon 22xy 2 fest-ellecontinuesurR?admet-elledesd´eriv´eespartiellesau pointp0,0q?fct2var_10.tex

43.11Soit:f:R2 ÑR px,yqÞÑ

$ ' &0sipx,yqp0,0q 122' %apxyqsinsinon 22xy fadmet-elledesd´eriv´eespartiellesaupointp0,0q?est-ellecontinue? 1 est-elledeclasseC?fct2var_11.tex 43.12Onconsid`erelafonctionfd´efiniepar: fpx,yqpx3y1qpxy1qpxy1q (a)Leplan´etantrapport´e`aunrep`ereorthonormal,repr´esenterl’en- sembledespointsdecoordonn´eespx,yqtelsquefpx,yq0. BfBf (b)Sansd´evelopperl’expressiondef,calculerpx,yqetpx,yq. BxBy (c)fpr´esente-t-elleunminimumouunmaximumaupointdeco- ordonn´eesp0,1q? fct2var_12.tex 2 43.13Soitf:px,yqÞÑxy. (a)D´eterminerlad´eriv´eedefaupointap1,3qselonlevecteur hp2,3q. ´ E(b)crireled´eveloppementlimit´edef`al’ordre1ena. fct2var_13.tex 43.14Soithunefonctiondelavariablex. 2(a)Montrerque,pourqu’ilexisteunefonctionfPCpRR,Rq telleque: # Bf2 px,yqxpy1qhpxqBx (1) Bf2 px,yq2xyhpxq By ilfautquehv´erifie: 1 xhpxq3hpxq0@x¡0(2) (b)D´eterminerlessolutionsde(2),puistrouverlesfonctionsfde 2 classeCsatisfaisant(1).

fct2var_14.tex 43.15Soituunefonctionr´eelledesvariablesr´eellesxetyd´efinie parupx,yqFrpx,yqo`urpx,yqa x2y2etFunefonctionr´eelle d’unevariabler´eelle.Onpose: ∆uB2 u Bx2B2 u By2 (a)CalculerBr Bx,Br By,B2 r Bx2etB2 r By2. (b)Prouverque∆uF2 prqF1 prq r. (c)End´eduire∆ulorsqueupx,yqlnpx2 y2 q. fct2var_15.tex 43.16D´eterminerlesextremadesfonctionsdeR2 dansRsuivantes: (a)fpx,yqx3 y3 (b)fpx,yqx3 y3 3xy fct2var_16.tex 43.17

` A

proposdesextremadef:px,yqÞÑx4 y4 pxyq2 : (a)D´eterminerlespointscritiquesdef. (b)fpr´esente-t-elleunextremumenl’origine? fct2var_17.tex 43.18R´esoudreles´equationsauxd´eriv´eespartiellessuivantes: paqx2 f2 xy1pbqf2 xyx ya pcqf2 x2xypdqf1 xaf fct2var_18.tex 43.19D´eterminerlesfonctionsfPC2 pR2 ,Rqtellesquegpx,yq f x yv´erifie: paqg2 x2g2 y20pbqg2 x2g2 y2y x3 fct2var_19.tex 43.20

´ Ecrirelamatricejacobiennedesfonctionsd´efiniespar:

(a)fpx,yqpxy,x2 y2 q (b)gpx,yqpArctany x,Arctanx yq. fct2var_38.tex 43.21Leplanestrapport´e`aunrep`ereorthonorm´epO;~ı,~q.On appelleinversiondepˆoleOetderayonRl’applicationqui`atout pointMpx,yqdistinctdeOassocielepointsM1 delademi-droite rOMqtelqueOMOM1R2. Calculerlamatricejacobiennedel’applicationfenunpointdistinct del’origine.Montrerqueladiff´erentielledefencepointestunesi- militudeindirectedontond´eterminerales´el´ementscaract´eristiques. fct2var_39.tex 43.22 (a)Soitpα,βqPR2 et f:R2ÑR px,yqÞÑ# |x|α|y|β |x||y|sipx,yqp0,0q 0sinon Montrerquefestcontinueenp0,0qsietseulementsiαβ¡1. Indic.:fpx,yqp|x||y|qαβ1p...qetfpx,xq.... (b)Soitpα,βqPR2 ,pγ,δqPR2 et f:R2 ÑR px,yqÞÑ# |x|α|y|β |x|γ|y|δsipx,yqp0,0q 0sinon DonneruneC.N.S.surpα,β,γ,δqpourquefsoitcontinueen p0,0q. fct2var_6.tex 43.23D´eterminerleslignesdeniveauducˆoned’´equation: x2 y2 2xz0 fct2var_64.tex