Pour l’ancien programme des BTS (encore en vigueur pour la deuxi` eme ann´ ee) les s´ eries sont au programme du groupement A, il est en particulier indiqu´ e que :

59 - S ´ ERIES NUM ´ ERIQUES.

CHANTAL MENINI

1. Point programme

Pour l’ancien programme des BTS (encore en vigueur pour la deuxi` eme ann´ ee) les s´ eries sont au programme du groupement A, il est en particulier indiqu´ e que :

“L’´ etude des s´ eries num´ eriques tr` es simples, pr´ ealable ` a l’´ etude des s´ eries de Fourier, a pour objectif de permettre aux ´ etudiants de se familiariser avec les sommes infinies et la notation P

. La plupart des r´ esultats relatifs aux s´ eries num´ eriques pourront ˆ etre admis et ne feront l’objet d’aucun d´ eveloppement th´ eorique.”

Pour le nouveau programme des BTS seules restent les s´ eries g´ eom´ etriques et de Riemann. Pour cette ann´ ee encore nous nous en tenons ` a “l’ancien programme”.

Bien que ne figurant pas explicitement au programme du secondaire, on les trouve cependant d´ ej` a dans des exercices de 1e ou Term o` u on ´ etudie la limite de la suite des sommes partielles.

2. Un plan possible 2.1. D´ efinitions et premiers r´ esultats.

D´ efinition 2.1. Soit (u n ) une suite de r´ eels. La s´ erie num´ erique de terme g´ en´ eral u n , not´ ee P u n

est la suite (S _n ) o` u

S n =

n

X

k=0

u k . S _n est appel´ ee somme partielle d’indice n de la s´ erie P

u _n .

Si la suite (u n ) n’est d´ efinie que pour n ≥ 1, on sommera ` a partir de k = 1.

D´ efinition 2.2. La s´ erie P

u _n est dite convergente de somme S si la suite (S _n ) des sommes partielles est convergente et converge vers S. On note alors P +∞

k=0 u k = S.

Sinon la s´ erie est dite divergente.

Th´ eor` eme 2.3. Si la s´ erie P

u n est convergente alors lim

n→+∞ u n = 0.

Remarque 2.4. La condition ci-dessus est n´ ecessaire mais n’est pas suffisante, consid´ erer par exemple u n = ln( ⁿ⁺² _n+1 ) ou u n = ^√ _n+1+ ^{1 √} _n (= √

n + 1 − √ n).

Un premier exemple de r´ esultat g´ en´ eral sur des s´ eries d´ ej` a “manipul´ ees”

Proposition 2.5. (S´ eries g´ eom´ etriques)

Soient u 0 6= 0 et q deux r´ eels. La s´ erie de terme g´ en´ eral u 0 q ⁿ est convergente si et seulement si |q| < 1.

Elle a alors pour somme _1−q ^u

.

Exemple : on recycle un exemple de l’expos´ e “Suites arithm´ etiques. Suites g´ eom´ etriques”.

2.2. S´ eries ` a termes positifs.

Th´ eor` eme 2.6. (Comparaison)

Soient (u n ) et (v n ) deux suites de r´ eels et n 0 un entier, tels que pour tout n ≥ n 0 0 ≤ u n ≤ v n . Si – la s´ erie P

v _n converge alors la s´ erie P

u _n converge, – la s´ erie P

u _n diverge alors la s´ erie P

v _n diverge.

Th´ eor` eme 2.7. (Comparaison dans le cas d’´ equivalence) Soient P

u _n et P

v _n deux s´ eries ` a termes positifs. Si u _n ∼ v _n alors les s´ eries P

u _n et P

v _n sont de mˆ eme nature.

Date: 3 mars 2014.

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2 CHANTAL MENINI

Ce r´ esultat n’est pas vrai si le terme g´ en´ eral des s´ eries n’est pas de signe constant. Un contre-exemple sera donn´ e plus loin apr` es avoir vu un r´ esultat sur les s´ eries altern´ ees.

Commentaire : on rappelle que u _n ∼ v _n s’il existe une suite (ε _n ) convergeant vers 1 et un entier n ₀ tels que, pour tout n ≥ n 0 , u n = ε n v n , ce qui revient ` a dire dans le cas o` u la suite (v n ) a au plus un nombre fini de termes nuls que lim

n→+∞

u

v

= 1.

Th´ eor` eme 2.8. (S´ eries de Riemann) La s´ erie de Riemann P ₁

n

converge si et seulement si α > 1.

Exemples : P ₁

n diverge, P ₁

n

converge (avec les s´ eries de Fourier on peut montrer que sa somme vaut

π

6 ).

Th´ eor` eme 2.9. (Crit` ere de d’Alembert) Soit P

u _n la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n > 0, si – lim

n→+∞

u

u

= l ∈ [0, 1[ alors P

u n converge.

– lim

n→+∞

u

u

= l ∈]1, +∞[ alors P

u _n diverge.

Remarque 2.10. Si l = 1 on ne peut rien dire, penser aux s´ eries de Riemann.

La limite peut ne pas exister par exemple u _n = ₃ ¹

pour n pair et u _n = ₃ ²

pour n impair.

Exemples :

– u _n = ⁿ _a

avec p entier naturel non nul et a > 1 r´ eel (ce qui permet aussi d’en d´ eduire que n ^p

+∞ a ⁿ puisque le terme g´ en´ eral d’une s´ erie convergente tend vers 0)

– u _n = ^x _n!

avec x > 0 (pour l’instant ...)

– u _n = _n ^n!

, lim n→+∞ ( _n+1 ⁿ ) ⁿ = 1/e < 1 (rappel 1 ^∞ est une forme ind´ etermin´ ee).

Commentaire : si vous donnez le dernier exemple pensez ` a rejeter un oeil sur la formule de Stirling.

2.3. S´ eries ` a termes quelconques (r´ eels).

2.3.1. S´ eries altern´ ees.

D´ efinition 2.11. La s´ erie P

u _n est dite altern´ ee si (−1) ⁿ u _n est de signe constant.

Th´ eor` eme 2.12. (S´ eries altern´ ees) Soit P

u n une s´ erie altern´ ee. Si la suite (|u _n |) est d´ ecroissante et converge vers 0 alors la s´ erie P u n est convergente. De plus, si l’on note S sa somme alors

|S _n − S| ≤ |u _n+1 |.

Exemples : Les s´ eries P (−1) √

n et P (−1)

n convergent.

Nous pouvons maintenant donner un contre-exemple au th´ eor` eme de comparaison pour des s´ eries ` a termes quelconques.

Remarque 2.13. On pose pour tout entier non nul n, u n = ^{(−1) √} _n

et v n = ^{(−1) √} _n

+ ¹ _n . Alors – u _n ∼ v _n

– P

u n converge – P

v _n diverge

D´ efinition 2.14. La s´ erie P

u _n est dite absolument convergente si la s´ erie P

|u _n | converge.

Th´ eor` eme 2.15. Si une s´ erie num´ erique est absolument convergente alors elle est convergente.

Remarque 2.16. La r´ eciproque est fausse, P (−1)

n est convergente mais n’est pas absolument convergente.

Exemple : Pour tout r´ eel x la s´ erie P _x

n! est convergente.

Commentaire : Ne pas d´ evier sur les s´ eries enti` eres qui sont hors sujet, on peut quand mˆ eme savoir que par d´ efinition la somme de cette s´ erie est e <sup>x</sup> et que les propri´ et´ es sur les produits de s´ eries absolument convergentes permettent d’obtenir e <sup>x+y</sup> = e <sup>x</sup> e <sup>y</sup> . Si on suppose d´ ej` a connue la fonction exponentielle comme

´

etant la fonction f d´ efinie sur R , solution de f (0) = 1 et f ⁰ = f alors par exemple avec la formule de Taylor avec reste int´ egral on peut obtenir que P +∞

k=0 x

n! = e ^x . On peut le trouver sous forme d’exercice dans

Analyse de Warusfel et al. ed. Vuibert n˚91 p319.

59 - S ´ ERIES NUM ´ ERIQUES. 3

2.4. Exercices. Exercice 1. Achille et la tortue (Paradoxe de Z´ enon)

Achille fait la course avec une tortue (course rectiligne), il lui laisse 100m d’avance. Achille avance ` a la vitesse V m.s ⁻¹ et la tortue v m.s ⁻¹ (bien sˆ ur v < V ). Lorsqu’Achille arrive au point de d´ epart de la tortue not´ e T 0 , celle-ci aura avanc´ e et sera au point not´ e T 1 , lorsqu’il arrive au point T 1 elle aura encore avanc´ e et sera au point T ₂ et ainsi de suite. La tortue ne sera jamais rattrap´ ee.

Nous savons que la tortue sera rattrap´ ee (du moins si l’arriv´ ee est suffisamment loin), d´ eterminer ` a quelle distance de D Achille rattrape la tortue et la dur´ ee de la course jusqu’au point de d´ epassement. Voir par exemple Hyperbole TES et L (programmes 2012 p36) ed. Nathan, avec V = 10 m.s <sup>−1</sup> et v = 0.1 m.s <sup>−1</sup> . Les grandes lignes, on note t n le temps que met Achille pour arriver en T n (position de la tortue ` a la n ^ieme

´

etape), alors

t _n − t n−1 = T n−1 T _n

V T n−1 T _n = v(t n−1 − t n−2 ).

La suite (t n − t n−1 ) est g´ eom´ etrique de raison _V ^v et de premier terme t 1 − t 0 . Ainsi en sommant les termes t _n = t ₀ + (t ₁ − t ₀ ) 1 − (v/V ) ⁿ

1 − v/V t ₁ − t ₀ = v

V t ₀ t ₀ = 100 V

et a pour limite _V ¹⁰⁰ _−v lorsque n tend vers +∞, temps (en secondes) que met Achille pour rattraper la tortue.

Exercice 2. P +∞

k=0 (−1)

2k+1 = ^π ₄ La cl´ e P n

k=0 (−x ² ) ^k = ^1−(−x _1+x

⁾

´ egalit´ e que l’on int` egre sur [0, 1]. Devient tr` es dur ` a poser en terminale car la fonction arctan n’est pas connue ni la formule g´ en´ erale de d´ eriv´ ee des fonctions compos´ ees (voir par exemple Analyse de Warusfel et al. ed. Vuibert n˚ 90 p318 ou Terracher TS ed. Hachette).

Cette somme peut aussi se calculer avec les s´ eries de Fourier.

Exercice 3.

P +∞

k=1

(−1)

k = ln 2

Mˆ eme cl´ e : trouver la bonne suite g´ eom´ etrique, voir par exemple les livres ci-dessus.

Exercice 4.

P n k=1 1

k ∼ ln n

Pour une preuve niveau terminale, toujours les mˆ emes livres. La cl´ e est de remarquer que la suite c n = P _n

k=1 1

k − ln(n + 1) est croissante et major´ ee.

On peut aussi montrer seulement la divergence de la s´ erie harmonique (sans obtenir d’´ equivalent), la connaissance du ln n’est alors pas n´ ecessaire ; voir par exemple Rep` ere TS (programme 2012 p44) ou D´ eclic TS (programme 2012 p43) ed. Hachette ou encore ci-dessous.

Exercice 5. Une histoire de cubes

Variante de niveau premi` ere (ancien programme) : Terracher Analyse 1e S ed. Hachette, on montre que P ₁

n

et P ₁

n

convergent. La divergence de P ₁

n est montr´ ee en utilisant que _n+1 ¹ + · · · + _2n ¹ ≥ 2, la convergence de P ₁

n

en utilisant que _n(n−1) ¹ = _n−1 ¹ − ¹ _n (penser ` a l’interpr´ etation possible de l’in´ egalit´ e

1

n

≤ _n(n−1) ¹ en terme de comparaison aire et int´ egrale).

Exercice 6. D´ eveloppement d´ ecimal p´ eriodique

0, 999999999 . . . = 1 ou variantes, voir par exemple Terracher Analyse 1e S ou Rep` ere TS (programme 2012 p39) ou D´ eclic TS (programme 2012 p37) ed. Hachette (rappel : les rationnels sont les r´ eels qui ont des d´ eveloppement d´ ecimaux p´ eriodiques ` a partir d’un certain rang, voir par exemple Math´ ematiques L1 ed.

Pearson Education)

3. D´ eveloppements

Afin de ne pas aller “trop loin” au niveau des r´ esultats donn´ es sur les s´ eries nous avons suivi de pr` es le livre de BTS Sigma, tome 1, ed. Foucher. Dans ce livre seuls les r´ esultats du paragraphe 2.1 sont d´ emontr´ es.

Ceci est conforme ` a l’esprit du programme de BTS mais un ´ etudiant pr´ esentant le capes de math´ ematiques ne peut se contenter de savoir faire ces seules d´ emonstrations dans la mesure o` u les autres utilisent des outils sur les suites du niveau terminale. Les d´ emonstrations de tous les r´ esultats annonc´ es s’ils ne sont pas demand´ es comme d´ eveloppement peuvent faire l’objet de questions lors de l’entretien.

Toujours pour rester au plus pr` es du programme de BTS, nous n’avons pas parl´ e de s´ eries ` a termes

complexes. La d´ efinition de s´ erie convergente est la mˆ eme, le module remplace la valeur absolue, mˆ eme

4 CHANTAL MENINI

r´ esultat pour les s´ eries g´ eom´ etriques ainsi que pour l’absolue convergence. Si on en parle on doit aussi remarquer que dans le cas complexe, la convergence de la s´ erie P

u n ´ equivaut ` a la convergence des deux s´ eries P

Re(u _n ) et P

Im(u _n ).

Les d´ emonstrations des r´ esultats donn´ ees dans le plan peuvent se trouver dans n’importe quel ouvrage de L2 traitant des s´ eries. Nous allons donner les points cl´ es de certaines d’entre-elles. Pour les d´ emonstrations d´ etaill´ ees voir par exemple Mat´ ematiques L2 ed. Pearson Education ou le Pr´ ecis de Br´ eal “Analyse MP”.

Les grandes lignes :

Premier th´ eor` eme de comparaison : Lorsqu’une s´ erie est ` a termes positifs alors la suite (S _n ) de ses sommes partielles est croissante. Une suite croissante est convergente si et seulement si elle est major´ ee.

Deuxi` eme th´ eor` eme de comparaison : Si u n ∼ v n alors il existe C > 0, c > 0 et un entier n 0 tel que pour tout n ≥ n ₀ , cu _n ≤ v _n ≤ Cu _n puis on applique le premier th´ eor` eme de comparaison.

Remarque : ce type de r´ esultat s’accompagne classiquement d’un compl´ ement qui est l’´ equivalence des restes dans le cas de convergence et ´ equivalence des sommes partielles dans le cas de divergence. Il n’a pas

´

et´ e indiqu´ e dans le plan car plus “pointu”, y jeter un oeil tout de mˆ eme si on maitrise bien tout le reste.

S´ eries de Riemann : divergence grossi` ere si α ≤ 0 car alors le terme g´ en´ eral _n ¹

ne tend pas vers 0. Pour α > 0, on note u n = R _n+1

n 1

t

dt alors u n ∼ _n ¹

et on applique le th´ eor` eme de comparaison en remarquant que P n

k=1 u _n = R n+1 1

1

t

dt. On calcule cette int´ egrale puis sa limite (penser ` a distinguer la cas α = 1).

Remarque : Ce r´ esultat est un cas particulier du th´ eor` eme de comparaison s´ erie P

f(n) et int´ egrale g´ en´ eralis´ ee R +∞

n

f (t) dt lorsque f est continue et d´ ecroissante sur [n ₀ , +∞[ et ` a valeurs dans R + .

Crit` ere de d’Alembert : Comparaison ` a une suite g´ eom´ etrique de raison q = ^l+1 ₂ , 0 < q < 1 lorsque l < 1 et q > 1 lorsque l > 1.

Remarque : Nous n’avons pas mis le crit` ere de Cauchy qui n’est pas au programme des BTS, savoir tout de mˆ eme que si la suite ( ^u _u

n

) converge et a pour limite l alors la suite √

u n converge aussi et a mˆ eme limite. La r´ eciproque est fausse, la suite donn´ ee pour montrer que ( ^u

_u

n

) n’a pas n´ ecessairement de limite convient.

S´ eries altern´ ees : Joli exemple d’utilisation du th´ eor` eme des suites adjacentes qu’il faudra au pr´ ealable d´ etailler puisqu’il ne fait plus partie du programme de terminale (mais se d´ emontre ais´ ement avec les r´ esultats sur les suites croissantes et major´ ees (resp. d´ ecroissantes et minor´ ees). Les suites (S _2n ) et (S _2n+1 ) sont adjacentes donc elles convergent et ont la mˆ eme limite not´ ee S. Ce qui permet d’en d´ eduire que la s´ erie P

u _n converge et que |S _2n − S| ≤ |S _2n − S _2n+1 | = |u _n+1 | et |S _2n+1 − S| ≤ |S _2n+1 − S _2n+2 | = |u _n+2 |.

Absolue convergence.

Une premi` ere d´ emonstration valable uniquement pour les suites ` a valeurs r´ eelles.

On pose v _n = |u _n | − u _n , on a alors 0 ≤ v _n ≤ 2|u _n | et avec le th´ eor` eme de comparaison pour les s´ eries ` a termes positifs, la s´ erie de terme g´ en´ eral v n converge. u n = |u _n | − v n , les s´ eries de termes g´ en´ eraux |u _n | et v _n convergent donc la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n converge.

Une d´ emonstration valable dans tout espace de Banach (piqure de rappel avant l’´ ecrit) : On note w _n = |u _n |, S n = P n

k=0 u _k et T n = P n

k=0 w _k . La suite (T n ) converge donc elle est de Cauchy :

∀ε > 0 ∃n _ε : ∀n ≥ n _ε , ∀p ∈ N , |T _n+p − T _n | ≤ ε or

|S _n+p − S _n | = |

n+p

X

k=n+1

u _k | ≤

n+p

X

k=n+1

|u _k | =

n+p

X

k=n+1

v _k = T _n+p − T _n

donc la suite (S _n ) est de Cauchy et elle converge car R ( C si on a parl´ e du cas complexe) est complet.