1 Un cas particulier du th´ eor` eme de Dirichlet

(1)

Th´ eor` eme de la progression arithm´ etique de Dirichlet

Gilles Auriol

auriolg@free.fr — http ://auriolg.free.fr

Pr´ esentation

Depuis Euclide, on sait qu’il existe une infinité de nombres premiers. Naturellement, on peut se demander si étant donnésa et b premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers de la forme an+b (si a et b ne sont pas premiers entre eux, il est clair qu’aucun des nombres an+b ne sera premier).

Euler résolut de fa¸con purement algébrique la question dans le cas des nombres de la forme an+ 1. La démonstration de cette proposition fera l’objet de la première section de ce mémoire.

Plus tard, en 1835, Dirichlet démontra le théorème dans toute sa généralité, par des méthodes analytiques. La preuve classique passe par l’analyse complexe ; nous présentons ici une variante utilisant l’analyse réelle, tirée de [Cha03]. Auparavant, il nous faudra prouver quelques résultats de théorie des groupes et des propriétés élémentaires sur la fonction ζ de Riemann.

Table des mati` eres

1 Un cas particulier du théorème de Dirichlet 1 1.1 Polynômes cyclotomiques . . . . 1 1.2 Une infinité de nombres premiers de la formeλn+ 1, n ∈N^∗ . . . . 3

2 Caract`eres des groupes ab´eliens finis 4

2.1 Premières propriétés des caractères et dual d’un groupe . . . . 4 2.2 Relations d’orthogonalité des caractères . . . . 6 2.3 Caractères de Dirichlet . . . . 6

3 La fonction ζ de Riemann 6

4 L-fonctions de Dirichlet 8

5 Preuve du th´eor`eme de Dirichlet 14

1 Un cas particulier du th´ eor` eme de Dirichlet

Dans cette section nous allons démontrer par une méthode purement algébrique l’existence d’une infinité de nombres premiers de la forme λn+ 1, n∈N^∗.

1.1 Polynˆomes cyclotomiques

1.1 Définition (Racines primitives de l’unité dans C). — Soitm∈N^∗. L’ensemble Um = {z ∈ C/z^m = 1} des racines m-ièmes de l’unité dans C est un groupe cyclique d’ordre m. On appelle racine primitive m-ième de l’unité tout générateur de U^m, c’est-à-dire tout élément ξ de Um tel que ξ^d6= 1 pour 16d < m. On notera P_m(C) l’ensemble des racines primitives m-ièmes de l’unité.

(2)

1.2 Remarque. — L’applicationk 7→exp

2iπk m

est un isomorphisme de groupes entreZ/mZ etUm.

D’après les résultats classiques sur les groupes cycliques, il en résulte immédiatement la

1.3 Proposition. — Soit m∈N^∗. Soit ξ une racine primitive m-ième de l’unité dans C. Alors les racines primitives m-ièmes de l’unité sont les ξ^k avec 16 k 6m et k premier avec m, donc P_m(C) a pour cardinal ϕ(m) où ϕ désigne l’indicatrice d’Euler.

1.4 Définition (Polynôme cyclotomique). — Soit m ∈ N^∗. On appelle m-ième polynôme cyclotomique le polynôme

Φ_m(X) = Y

ξ∈Pm(C)

(X−ξ).

Il est unitaire, de degr´e ϕ(m).

1.5 Lemme. — Soit m ∈ N^∗. Les P_d(C), d d´ecrivant l’ensemble des diviseurs de m dans N^∗, forment une partition de Um.

Preuve. — Si d divise m, P_d(C) ⊂ Ud ⊂ Um. Chaque racine m-ième de l’unité dans C a un unique ordre qui est un diviseur de m d’après le théorème de Lagrange ; autrement dit chaque

élément de Um appartient à un et un seul desP_d(C),d diviseur de m.

On d´eduit ce r´esultat la proposition suivante.

1.6 Proposition. — Soit m∈N^∗. On a

X^m−1 =Y

d|m

Φ_d(X).

Notons au passage l’´egalit´e amusante m=X

d|m

ϕ(d) obtenue en comparant les degr´es.

Une propriété importante des polynômes cyclotomiques est d’être à coefficients entiers. Pour démontrer ce résultat, nous avons besoin d’un lemme.

1.7 Lemme. — Soit P, A, B trois éléments non nuls de Q[X]. On suppose que P ∈ Z[X], que P =AB, et que P et A sont unitaires. Alors A et B appartiennent à Z[X].

Preuve. — Il est que clair queB est lui aussi unitaire. Notons A(X) =Xⁿ+

n−1

X

i=0

a_iXⁱ,

lesa_i ∈Q. Pour chaquei, notons a_i = p_i

q_i, o`u p_i ∈Z etq_i ∈N^∗ sont premiers entre eux. Soit q un multiple commun `a q0, . . . , qn−1. Alors

A(X) = Xⁿ+ 1 q

n−1

X

i=0

z_iXⁱ,

(3)

les z_i ∈ Z. Quitte `a diviser z₀, . . . , zn−1 et q par PGCD(z₀, . . . , zn−1, q), on peut supposer que PGCD(z₀, . . . , z_n−1, q) = 1.

Notant

A₁(X) = qXⁿ+

n−1

X

i=0

z_iXⁱ,

on a A₁(X) ∈ Z[X], A(X) = 1

qA₁(X), et le polynˆome A₁(X) est primitif. De mˆeme il existe r∈N^∗ tel queB(X) = 1

rB₁(X), où le polynômeB₁(X)∈Z[X] est primitif. Il vientqrP =A₁B₁, et d’après le lemme de Gauss (le produit de deux polynômes primitifs est primitif), le polynôme A₁B₁ est primitif. Or γ(qrP) = qrγ(P) = qr car P est unitaire. Donc qr = 1, d’où q = r = 1.

AinsiA=A₁ ∈Z[X] et B =B₁ ∈Z[X].

1.8 Proposition. — Pour tout n∈N^∗, on a Φ_n(X)∈Z[X].

Preuve. — On procède par récurrence sur n ∈ N^∗. Pour n = 1, c’est clair puisque Φ₁(X) = X−1. Supposons la propriété vraie jusqu’au rang n−1, oùn >2. Posons

F(X) = Y

d|n, d<n

Φ_d(X).

Par hypothèse de récurrenceF(X)∈Z[X].F(X) est clairement unitaire. Le polynômeXⁿ−1 est un polynôme unitaire deZ[X]. L’égalitéXⁿ−1 = F(X)Φ_n(X) montre d’abord que Φ_n(X)∈Q[X]

par division euclidienne deXⁿ−1 par F(X) dans Q[X], puis, en appliquant le lemme précédent, que Φn(X)∈Z[X]. Ainsi la propriété est vraie au rang n.

1.9 Remarque. — Le calcul des premiers polynˆomes cyclotomiques laisse `a penser que les coefficients sont dans{−1,0,1}. Il n’en est rien, le premier contre-exemple est fourni par Φ₁₀₅(X) dont deux des coefficients sont−2.

1.2 Une infinit´e de nombres premiers de la forme λn+ 1, n ∈ N^∗

1.10 Théorème (Cas particulier du théorème de Dirichlet). — Soit n ∈N^∗ fixé.

1. Si un nombre premier p divise Φ_n(a), où a est un entier, mais aucun Φ_d(a) où d décrit l’ensemble des diviseurs stricts de n, alors p≡1 [n].

2. Il existe une infinit´e de nombre premiers de la forme λn+ 1, n∈N^∗.

Preuve. — 1) Si p divise Φn(a), p divise aⁿ−1, soit (a)ⁿ = 1 dans F^p, soit a∈F^∗p et l’ordre ω dea dans F^∗p divisen. Comme

a^ω−1 =Y

d|ω

Φ_d(a),

si ω < n, il existe d diviseur strict de n tel que p divise Φ_d(a), ce qui est exclu. Ainsi ω =n, et puisque a est d’ordre n dans le groupe F^∗p d’ordre p−1, d’après le théorème de Lagrange, on a n|p−1, c’est-à-dire p≡1 [n].

2) SoitN ∈N^∗. Posons a= 3N!, alors Φ_n(a) est un entier et

|Φ_n(a)|= Y

PGCD(k,n)=1 16k6n

|a−exp

2ikπ n

|> Y

PGCD(k,n)=1 16k6n

(a−1)>2^ϕ(n) >2.

(4)

Soit pun diviseur premier de Φ_n(a).

Si p 6 N, alors p divise a, donc divise tout entier de la forme

k

X

i=1

z_iaⁱ, avec z_i ∈ Z, et en particulierpdivise Φ_n(a)−Φ_n(0). Par suitepdivise Φ_n(0) =±1, ce qui est absurde. Ainsip > N.

Supposons qu’il existeδ diviseur de strict den tel que pdivise Φ_δ(a). Comme Xⁿ−1 = Y

d|n

Φ_d(X),

a est racine de multiplicité > 2 du polynôme Xⁿ −1 de F^p[X]. Ceci contredit que le fait que le polynôme Xⁿ−1 et sa dérivée nXⁿ⁻¹ sont premiers entre eux dans Fp[X], comme le prouve l’égalité de Bezout

1

nXnXⁿ⁻¹−(Xⁿ−1) = 1.

Ainsi p divise Φ_n(a) mais aucun des Φ_d(a) o`u d est un diviseur strict de n. Par le premier point,p≡1 [n].

En résumé,∀N ∈N^∗,∃ppremier tel quep > N etp≡1 [n], ce qui traduit exactement qu’il existe une infinité de nombres premiers de la formeλn+ 1, n∈N^∗.

2 Caract` eres des groupes ab´ eliens finis

Nous allons étudier les homomorphismes d’un groupe abélien fini dansC^∗. Après s’être intéres- sés aux propriétés de ces homomorphismes et avoir muni leur ensemble d’une structure de groupe, nous verrons les relations dites d’orthogonalité, qui seront utilisées dans la démonstration du théorème de Dirichlet. Enfin nous définirons les caractères de Dirichlet.

2.1 Premières propriétés des caractères et dual d’un groupe

2.1 Définition (Caractère). — Soit G un groupe. Un homomorphisme multiplicatif χ : G→ C^∗ est appelé caractère. Le caractèreχ₀ tel que χ₀(a) = 1pour tout a∈Gest dit caractère trivial.

Notons que pour tout a∈ G, on a que |χ(a)|= 1, puisque part le théorème de Lagrange, en posantn =|G|, on a aⁿ =e d’où 1 =χ(e) =χ(aⁿ) = χ(a)ⁿ.

2.2 Définition (Dual d’un groupe). — Soitχ₁ etχ₂ deux caractères d’un groupe abélien fini G. On définit le produitχ₁χ₂ de ces deux caractères en posant χ₁χ₂(a) = χ₁(a)χ₂(a). L’ensemble des caractères de G muni de cette opération forme un groupe abélien à |G| éléments noté G,b appelé dual de G, dont l’élément neutre est χ₀.

Il est immédiat de vérifier que Gb est bien un groupe abélien. En effet, pour χ₁, χ₂ ∈ G, on ab χ₁χ₂(ab) = χ₁(ab)χ₂(ab) = χ₁(a)χ₁(b)χ₂(a)χ₂(b) = χ₁χ₂(a)χ₁χ₂(b), donc χ₁χ₂ est encore un caractère. L’inverse χ⁻¹₁ de χ₁ est défini par χ⁻¹₁ (a) = 1

χ₁(a), ou encore puisque χ₁(a) est de module 1 parχ⁻¹₁ (a) =χ(a) =χ(a) (la dernière égalité étant juste une notation). Le fait que χ₀ est l’identité de Gb et que Gb est commutatif est évident. Enfin que Gb soit d’ordre |G| résulte du théorème 2.4 ci-dessous.

2.3 Théorème. — Soit H un sous-groupe d’un groupe fini abélien G, et supposons que le quotient G/H soit cyclique. Alors chaque caractère de H est la restriction de [G : H] caractères de G.

(5)

Preuve. — Soit m = [G : H], et soit aH un g´en´erateur de G/H. Alors a^m ∈ H et chaque

´element de G s’´ecrit de fa¸con unique a^jh avec 06j 6m−1 et h∈H.

Soit χ∈Hb et supposons que χ=χ|e_H avec χe∈G. Posonsb η=χ(a). Alorse η^m =χ(a)e ^m =χ(ae ^m) =χ(a^m)

et pour 06j 6m−1 et h∈G,

χ(ae ^jh) =χ(a)e ^jχ(h) =e η^jχ(h).

Ainsi χe est déterminé par χ et η. Il y a m fa¸cons de choisir η, ce sont les racines m-ièmes de χ(a^m). Vérifions alors que la formule ci-dessous donne bien des caractères deG.

Prenons pour η une racine m-i`eme de χ(a^m). Soit 0 6 j, k 6 m−1 et h, h⁰ ∈ H. Alors en utilisant la commutativit´e de G

χ(ae ^jh)χ(ae ^kh⁰) =η^j+kχ(h)χ(h⁰) =η^j+kχ(hh⁰).

Sij+k 6m−1, alors

χ(ae ^jh)χ(ae ^kh⁰) = χ(ae ^j+khh⁰) =χ((ae ^jh)(a^kh⁰)).

Sinon 06j+k−m6m−1 et donc

χ(ae ^jh)χ(ae ^kh⁰) = η^j+k−mη^mχ(hh⁰) = η^j+k−mχ(a^m)χ(hh⁰)

= η^j+k−mχ(a^mhh⁰) = χ(ae ^j+k−ma^mhh⁰) =χ((ae ^jh)(a^kh⁰)).

Ce qui montre queχeest un caract`ere deG.

Plus généralement, on peut énoncer

2.4 Théorème. — Soit H un sous-groupe d’un groupe fini abélien G. Chaque caractère de H est la restriction de [G:H] caractères de G. En particulier |G|b =|G|.

Preuve. — SoitG=ha₁, . . . , a_ri. PosonsH_j =H+ha₁, . . . , a_ji pour 06j 6r. Ainsi H₀ =H, H_r = G, H_j ⊂H_j+1 pour 06j 6 r−1 et H_j+1/H_j est cyclique. En appliquant le théorème 2.3 il vient qu’un caractère de H est la restriction de

r−1

Y

j=0

[H_j+1 :H_j] = [G:H]

caract`eres de G.

Le groupe trivial n’a qu’un seul caractère, donc en appliquant le résultat àH ={e}, on obtient

|G|b = [G:{e}] =|G|.

2.5 Remarque (Caractères d’un groupe cyclique). — Soit G = hai d’ordre m. Il est aisé d’exhiber ses caractères. Soit ψ ∈G. En reprenant la d´b emonstration du théorème 2.3 avec H = {e} il vient que ψ(a) est l’une des racines m-ièmes de l’unité, donc ψ(a) = exp(2πij/m) avec 06j 6m−1. De plus la connaissance deψ(a) détermine entièrement le caractère, puisque pour tout 0 6 k 6 m−1, on a ψ(a^k) = ψ(a)^k = exp(2πijk/m). De fa¸con pratique, on retiendra que les caractères deG sont les ψ_j :a^k 7→exp(2πijk/m) pour 06j 6m−1.

(6)

2.2 Relations d’orthogonalit´e des caract`eres

2.6 Théorème. — Soit G un groupe fini abélien. On a (i) X

g∈G

χ(g) =

|G| si χ=χ₀,

0 sinon et (ii) X

χ∈Gb

χ(g) =

|G| sig =e, 0 sinon.

Preuve. — (i) Remarquons que χ étant un homomorphisme, son noyau H est un sous-groupe de G et on a l’isomorphisme G/H ' Im(χ). Comme Im(χ) est un sous-groupe fini de C^∗, c’est un groupe de racines de l’unité. Le caractère χ envoie sur chaque racine d-ième de l’unité un même nombre d’éléments de G. Siχ6=χ₀, le groupe quotient G/H a au moins 2 éléments et par l’isomorphisme, il en est de même de Im(χ). Ainsi la somme de ses éléments vaut 0. Siχ=χ₀, le résultat est clair puisque χ(g) = 1 pour tout g ∈G et|G|b =|G|.

(ii) Le résultat est acquis pourg =ecar dans ce cas χ(e) = 1 pour tout caractère χ. Sig 6=e, considérons le sous-groupe H = hgi. Il est cyclique d’ordre n > 2, son dual Hb est aussi d’ordre n, et si ψ(g) = 1 pour tout ψ ∈ H, il vient que ψ(g^k) = 1 pour tout 0 6 k 6 n−1, donc Hb est trivial, ce qui contredit n>2. Il existe donc ψ₁ ∈Hb tel queψ₁(g)6= 1. Par suite il existe χ₁ ∈Gb tel que χ1(g)6= 1, par prolongement de ψ1 àG (théorème 2.4). Finalement puisque χ7→χ1χ est une permutation de G,b

X

χ∈Gb

χ(g) =X

χ∈Gb

χ₁χ(g) = χ₁(g)X

χ∈Gb

χ(g)

et doncX

χ∈Gb

χ(g) = 0 vu le choix χ₁(g)6= 1.

2.3 Caract`eres de Dirichlet

Soit N ∈ N^∗. On note (Z/NZ)^∗ le groupe des entiers inversibles modulo N. L’ordre de ce groupe estϕ(N), et a appartient `a (Z/NZ)^∗ si et seulement sia et N sont premiers entre eux.

Un caractère de Dirichlet modulo N est un caractère du groupe (Z/NZ)^∗ que l’on étend en une fonction définie sur Z en posant

χ(a) =

χ(a) sia et N sont premiers entre eux, 0 sinon.

La fonction ainsi définie est multiplicative. En effet si a et b sont premiers à N alors ab l’est aussi, et la multiplicativité résulte de la définition du caractère. si a ou b n’est pas premier à N le produitab n’est pas non plus premier à N et on a bien χ(a)χ(b) =χ(ab) = 0. De plus elle est N-périodique.

On noteX_N l’ensemble des caractères de Dirichlet moduloN etχ₀ le caractère trivial étendu.

Il y aϕ(N) caract`eres de Dirichlet.

3 La fonction ζ de Riemann

La fonction ζ peut être définie sur le corps des complexes, mais nous nous contenterons ici d’une définiton dans un cadre réel.

3.1 D´efinition (Fonction ζ de Riemann). — Soit s un nombre r´eel. On pose ζ(s) =

+∞

X

n=1

1 n^s quand cette s´erie converge.

(7)

Pour s60, la s´erie diverge grossi`erement, on peut donc supposer s >0. Dans ce cas 1

n^s >

Z n+1 n

dt

t^s > 1 (n+ 1)^s, donc

M

X

n=1

1 n^s >

Z M 1

dt t^s >

M+1

X

n=2

1

n^s. (1)

et la s´erie converge si et seulement si Z +∞

1

dt

t^s converge. On a alors le r´esultat suivant.

3.2 Théorème. — La série ζ(s) converge si et seulement si s >1. Dans ce cas s

s−1 > ζ(s)> 1 s−1. En particulier

lim

s→1⁺(s−1)ζ(s) = 1.

Preuve. — On a

Z N 1

dt t^s =







1−N^1−s

s−1 si s6= 1, lnN si s= 1, donc l’int´egrale

Z +∞

1

dt

t^s converge vers 1

s−1 si et seulement sis >1. En passant `a la limite dans (??), il vient

ζ(s)> 1

s−1 > ζ(s)−1 d’o`u

s

s−1 > ζ(s)> 1 s−1.

En multipliant pars−1 et en faisant tendre s vers 1⁺, on a le r´esultat souhait´e.

Nous prouvons maintenant la formule d’Euler pour la fonctionζqui fait le lien avec les nombres premiers.

3.3 Théorème (Développement eulérien). — Soit s >1. Alors ζ(s) =Y

p

1− 1

p^s −1

o`u le produit est pris sur les entiers premiers.

Preuve. — Soit M un entier naturel. Alors Y

p6M

1− 1

p^s −1

= Y

p6M +∞

X

m=0

1

p^ms = X

n∈A_M

1 n^s

o`u A_M est l’ensemble des entier naturel dont aucun des facteurs premiers n’exc`ede M. Puisque A_M contient tous les entiers n6M, il vient

M

X

n=1

1

n^s 6 Y

p6M

1− 1

p^s −1

6ζ(s).

En faisant tendreM vers +∞, on a le r´esultat souhait´e.

(8)

4 L-fonctions de Dirichlet

Dans la suite, N d´esignera un entier >1.

4.1 D´efinition (L-fonction de Dirichlet). — Soit χ∈X_N ets∈R. On d´efinit la L-fonction de Dirichlet L(s, χ) par L(s, χ) =

∞

X

n=1

χ(n)

n^s quand cette s´erie converge.

Avant de regarder des conditions pour que les L-fonctions convergent, nous allons prouver un lemme qui nous servira plusieurs fois.

4.2 Lemme. — Soit χ ∈ X_N et supposons que χ 6= χ₀. Posons a_n =

n

X

j=1

χ(j). Alors pour tout n∈N, |a_n|6N.

Preuve. — On suppose N > 2, car pour N = 1, on ne peut pas trouver de χ 6= χ₀. Par le th´eor`eme 2.6,

N

X

j=1

χ(j) = 0 pour N > 2. Soit maintenant n > N. En effectuant la division euclidienne de n par N, il existe q∈N et 06r < N tel que n=qN +r, d’o`u

a_n=

n

X

j=1

χ(j) =

N

X

j=1

χ(j) +

2N

X

j=N+1

χ(j) +· · ·+

qN

X

j=(q−1)N+1

χ(j) +

qN+r

X

j=qN+1

χ(j)

Tous les termes du membre de droite sont nuls, sauf le dernier qui peut se r´e´ecrire

r

X

j=1

χ(j) =a_r

par d´efinition du caract`ere de Dirichlet. Par suite

|a_n|=|a_r|6

r

X

j=1

|χ(j)|6r6N,

comme attendu.

4.3 Théorème. — Soit χ∈X_N. Si χ=χ₀, la série L(s, χ) converge pour s >1. Si χ6=χ₀, la série converge pour s >0.

Preuve. — Lorsque χ=χ₀, on a χ(n)∈ {0,1}pour tout n∈N, donc 06

M

X

n=1

χ(n) n^s 6

M

X

n=1

1 n^s

et par comparaison à la série ζ(s), cette série converge pour s >1.

Supposons `a pr´esent χ6=χ₀. Posons

a0 = 0 et an=

n

X

j=1

χ(j) si n >1.

(9)

On a alorsχ(n) =a_n−an−1 pourn >1, et une transformation d’Abel conduit `a

M

X

n=1

χ(n) n^s =

M

X

n=1

a_n−a_n−1 n^s

=

M

X

n=1

a_n n^s −

M

X

n=1

an−1

n^s

=

M

X

n=1

a_n n^s −

M−1

X

n=1

a_n (n+ 1)^s

= a_M M^s +

M−1

X

n=1

a_n 1

n^s − 1 (n+ 1)^s

.

Par le lemme 4.2, il existe A tel que |a_n| 6 A pour tout n. Si s > 0, alors a_M/M^s → 0 quand M → ∞ et

M−1

X

n=1

a_n 1

n^s − 1 (n+ 1)^s

6A

1− 1

M^s

Il en r´esulte que la s´erie L(s, χ) converge pour s >0. De plus, L(s, χ) =

∞

X

n=1

a_n 1

n^s − 1 (n+ 1)^s

Cette formule nous servira un peu plus loin.

A l’instar de la sérieζ(s), la sérieL(s, χ) peut s’écrire comme un produit infini. Plus précisément, on dispose du théorème suivant

4.4 Th´eor`eme. — Soit χ∈X_N et s >1. Alors L(s, χ) =Y

p

1− χ(p) p^s

−1

Preuve. — Puisque

L(s, χ) = 1 + χ(2)

2^s +χ(3)

3^s +. . . , on a par exemple

χ(2)

2^s L(s, χ) = χ(2)

2^s +χ(4)

4^s +χ(6)

6^s +. . . , d’o`u en soustrayant membre `a membre

1− χ(2) 2^s

L(s, χ) = 1 + χ(3)

3^s +χ(5) 5^s +. . . On recommence alors le proc´ed´e : on a

χ(3) 3^s

1−χ(2) 2^s

L(s, χ) = χ(3)

3^s +χ(9)

9^s +χ(15) 15^s +. . . puis en soustrayant ces deux derni`eres ´equations

1− χ(2)

2^s 1−χ(3) 3^s

L(s, χ) = 1 +χ(5)

5^s +χ(7) 7^s +. . .

(10)

En itérant ce procédé pour chaque premier p, on obtient Y

p

1− χ(p) p^s

L(s, χ) = 1,

ce qui est le r´esultat attendu.

Les deux théorèmes suivants concernent le comportement de L(s, χ) quands →1⁺. 4.5 Théorème. — Pour χ=χ₀ ∈X_N, on a

lim

s→1⁺(s−1)L(s, χ) = ϕ(N) N .

Preuve. — Soit s > 1. Puisque χ(p) = 0 si p|N et χ(p) = 1 si p - N, on peut écrire par le théorème 4.4

L(s, χ) =Y

p-N

1− 1

p^s −1

=Y

p

1− 1

p^s −1

Y

p|N

1− 1

p^s

, ou encore

L(s, χ) = ζ(s)Y

p|N

1− 1

p^s

. Mais

lim

s→1⁺(s−1)ζ(s) = 1, donc

s→1lim⁺(s−1)L(s, χ) = lim

s→1⁺

Y

p|N

1− 1

p^s

=Y

p|N

1− 1

p

= ϕ(N) N , d’o`u le r´esultat.

4.6 Th´eor`eme. — Soit χ∈X_N avec χ6=χ₀. On a

L(s, χ) = L(1, χ) +O(s−1)quand s→1⁺. Preuve. — Soit 1< s <2. Par la preuve du th´eor`eme 4.3,

L(s, χ)−L(1, χ) =

∞

X

n=1

a_n 1

n^s − 1 (n+ 1)^s

− 1

n − 1 n+ 1

En appliquant le théorème des accroissements finis às 7→n^−s−(n+ 1)^−s de dérivée s7→ ln(n+ 1)

(n+ 1)^s −lnn n^s ,

il existe s_n∈]1;s[ tel que

L(s, χ)−L(1, χ) = (s−1)

∞

X

n=1

an

ln(n+ 1)

(n+ 1)^sⁿ − lnn n^sⁿ

.

Une nouvelle application du théorème des accroissements finis à la fonction x7→ lnx

x^sⁿ de d´eriv´ee x7→ 1−snlnx

x^sⁿ⁺¹