Universit´e Paris 7–Denis-Diderot Ann´ee 2002–2003 MT 241
Devoir no 2
On consid`ere la s´erie de fonctions de R dans R: P
n≥1fn o`u fn(x) = 1 n2+n4x2. Partie 1
1. Montrer que la s´erie converge normalement sur R.
2. Etudier la parit´e, la continuit´e, le sens de variation, les limites `a l’infini et la valeur en 0 de la fonction f somme de la s´erie.
3. Montrer que f est d´erivable en tout point de R∗. 4. Montrer que l’int´egrale R+∞
−∞ f(t)dt est convergente et calculer sa valeur.
Partie 2 : Etude de la d´erivabilit´e def en 0
On consid`ere la s´erie de fonctions P
n≥1 gn o`u gn(x) = x 1 +n2x2.
1. Montrer que cette s´erie converge simplement sur R, normalement sur tout intervalle de la forme [a,+∞[ avec a > 0, mais pas normalement sur R tout entier. On note g la somme de cette s´erie.
2. Pour toutx > 0, trouver un encadrement deg(x), en encadrant les sommes partielles PN
n=1 gn(x) `a l’aide de deux int´egrales. En d´eduire la limite de g(x) en 0+.
3. En ´etudiant son taux d’accroissement, montrer que f n’est pas d´erivable en 0 mais y admet une d´eriv´ee `a droite et une d´eriv´ee `a gauche dont on donnera les valeurs.
4. Tracer le graphe de f.
