(1) Montrer que la s´erie n≥1,n=m 1 m2−n2 est convergente de somme −3 m2

Licence, Analyse Complexe, 2007

Fonctions analytiques.

Exercice 1. Mq la famille

1

(i+j)^α

(i,j)∈N^∗2

est sommable ssiα >2.

Exercice 2.

(1) Montrer que la s´erie

n≥1,n=m

1

m²−n² est convergente de somme −3

m². Indication: Calculer la somme partielle d’ordren, en d´ecomposant la fraction rationnelle 1

m²−n² en ´el´ements simples.

(2) On poseu_nm 1

m²−n² sin=m,u_nn= 0. Montrer que

m≥1

n≥1

u_nm=−

n≥1

m≥1

u_nm= 0.

La famille (u_nm)_(n,m)∈(N∗)² est elle sommable?

Exercice 3. Montrer que si une s´erie de r´eels (a_n)_n∈N est semi-convergente alors pour toutα∈R, il existe une permutationσdeNtelle que lim

n→+∞

n

k=0

a_σ(n)=α.

Exercice 4. Soit (c_n)_n∈Nune suite de r´eels strictement positifs.

(1) Montrer que lim_n→+∞c_nⁿ¹ ≤lim_n→+∞c_n+1

c_n dans [0,+∞].

(2) En d´eduire que siL= lim

n→+∞

c_n+1

c_n existe dans [0,+∞] alors lim

n→+∞(c_n)ⁿ¹ =L Exercice 5. Donner le rayon de convergence de la s´erie enti`ere

n≥1

a_nzⁿ dans les cas suivants: a_2p = a^2p et a_2p+1 = b^2p+1, 0 < a < b; a_n = n!

nⁿ; a_2p+1 = 0 et a_2p = (−1)^pp!

(p+ sinp)^p

Exercice 6. Mq si a_n =λ_nb_n avecλ_n =O(n^α) (α∈R) alors le rayon de convergence

de

a_nzⁿ est sup´erieur `a celui de b_nzⁿ. Exercice 7.

(1) On se donne une s´erie enti`ere

n∈N

a_nzⁿ et z₀ ∈ C tel qu’il existe K, k ≥ 0 tels que a)

|anz₀ⁿ|< Kn^k ou b)|a0+. . .+a_nz₀ⁿ|< Kn^k. Montrer que le rayon de convergence de cette s´erie est plus grand que|z0|.

Exercice 8. Montrer que si le rayon de convergence de

n∈N

c_nzⁿ estR >0 alors le rayon de convergence de

n∈N

c_n

n!zⁿest infini et que sa sommef(z) v´erifie∀0< θ <1,∃M(θ) telle que|f(z)| ≤M(θ)e^|z|θR.

Exercice 9. On suppose que la s´erie enti`ere

n≥1

a_nzⁿ a un rayon de convergence plus grand que 1. On lui associe la s´erie de fonctions de terme g´en´eralu_n(z) =a_n zⁿ

1−zⁿ,n≥1.

1

(1) Mq

n≥1

u_n(z) converge normalement sur tout compact de D(0,1) et que

n≥1

u_n(z) =

p≥1

n≥1

a_nz^np pour z ∈ D(0,1). Quelle identit´e peut-on en d´eduire lorsque a_n = 1 n!, a_n=αⁿ avec|α|<1? (a_n= (−1)ⁿ,a_n=n...?)

(2) On suppose de plus que la s´erie enti`ere est convergente en 1. Montrer que la s´erie

n≥1

u_n(z) est uniform´ement convergente sur tout compact de C\D(0,1) (On pourra ´etudier (z → u_n(1

z))_n∈N). A-t-on convergence normale sur ces compacts?

Exercice 10. Si|z|<1 etτ(n) est le nombre de diviseur denmontrer que

n≥1

zⁿ 1−zⁿ =

n≥1

τ(n)zⁿ avec convergence uniforme sur les compacts deD(0,1).

Exercice 11.

(1) (Transformation d’Abel) Soit (u_n)_n∈Net (v_n)_n∈Ndeux suites de nombres complexes. Pour n≥m∈N, on poseV_mⁿ=

n

m

v_i. Mq sin > malors

n

m

u_iv_i=

n−1

m

(u_i−u_i+1)V_mⁱ +u_nV_mⁿ. (2) En d´eduire le comportement surU={z∈C,|z|= 1}des s´erieszⁿ

n^α, pourα∈R.

(3) (Un th´eor`eme de Picard) Soit (c_n)_n∈Nune suite d´ecroissante de r´eels positifs qui converge vers 0. Mq la s´erie

c_nzⁿ converge sur U\ {1}. (Indication: On pourra utiliser la transformation d’Abel pour montrer que la s´erie v´erifie le crit´ere de Cauchy).

Exercice 12. (Un th´eor`eme d’Abel) Soitk≥1. NotonsE={z∈D(0,1),|1−z|

1− |z| ≤k}.

Soit (c_n)_n∈N une suite de nombres complexes telle que la s´erie enti`ere +∞

0

c_nzⁿ converge enz= 1. Alors lim

z∈Ez→1

n∈N

c_nzⁿ→ +∞

0

c_n=s (1) V´erifiez que l’on peut se ramener `a s= 0.

(2) Notons f la somme de la s´erie sur D(0,1). Pour z ∈ D(0,1), d´eveloppez f(z)

1−z en s´erie enti`ere.

(3) Conclure (Utilisez le faits= 0).

(4) Appliquer le r´esultat pr´ec´edent au calcul de

+∞

1

(−1)ⁿ⁺¹ n

Exercice 13. Donner le d´eveloppement en s´erie enti`eres des fonctions suivantes, et donner le rayon de convergence de la s´erie obtenue:

f(z) = z

z²−2z−3 en 0;g(z) = 1

3−2z en 3;h(z) =e^z en 1.

Exercice 14. Soitα∈R. On consid`ere la fonctionfd´efinie parf(z) = sinα z<sup>2</sup>−2zcosα+ 1. D´evelopperfen s´erie enti`ere au voisinage de 0, et donner le rayon de convergence de la s´erie obtenue. Pour|z|<1 etn∈N^∗, en d´eduire un calcul de I(z) =

_2π

0

sinαsin(nα) 1−2zcosα+z²dα

Exercice 15. Soitf(z) =

n≥0

a_nzⁿ,a_n∈Cune s´erie de rayon de convergenceR.

(1) Pour r ∈ [0, R[, mq M(r, f) = 1 2π

_2π

0 |f(re^iθ)|²dθ =

n≥0

|a_n|²r²ⁿ. En d´eduire les in´egalit´es de cauchy |a_n|rⁿ ≤ max_|z|=r|f(z)|. Et montrer que s’il y a ´egalit´e pour un entiernalorsf(z) =a_nzⁿ.

(2) En d´eduire quer→M(r, f) est une fonction croissante sur [0, R[ et que lim

r→R⁻M(r, f) =

n≥0

|an|²R²ⁿ∈[0,+∞] .

(3) En d´eduire que sif est born´ee sur le disque unit´e (etR= 1) alorsa_n= 0(1).

Exercice 16. On consid`ere la s´erie enti`ere (de la variablez−1)

n≥1

(−1)ⁿ⁺¹

n (z−1)ⁿ. Calculer son rayon de convergence et montrer que, f, la somme de cette s´erie sur D(1,1) v´erifie l’´equatione^f(z)=z.

Exercice 17.

(1) Pr´eciser les sous-espaces discrets de Cdans la listes suivantes: N,Z,Q,R, A={1

n, n∈N^∗},A,A∪N^∗,e^iA,e^iA∪ {1}

(2) D´eterminer les sous-espaces connexes d’un espace discret.

(3) Montrer qu’un sous-ensemble discret et ferm´e deCest localement fini.

Exercice 18.

(1) D´et`erminer les fonctions analytiques dansD(0,1) qui v´erifientf(1 n) = 1

n², pourn∈N^∗. (2) Soit f une fonction analytique dansD(0,1). On suppose qu’il existe une suite (a_n)_n∈Nde

r´eels distincts de l’intervalle [−1 2,1

2] telle quef(a_n)∈R.

D´emontrer que ∀z∈D(0,1),f(z) =f(z) (Montrez d’abord que z→f(z) est analytique).

(3) Soit f une fonction analytique sur D(0,1) et (a_n)_n∈N une suite strictement d´ecroissante de r´eels qui converge vers 0. On suppose quef(a_2p+1) =f(a_2p)∈R. Mqf est constante (On raisonne sur la d´eriv´ee).

Exercice 19. SoientU un ouvert deC,f :U →Cune fonction analytique etz₀∈U. (1) Montrer que f(z₀) = . . . , f^(k−1)(z₀) = 0 et f^(k)(z₀) = 0 ⇐⇒ ∃g ∈ A(U), telle que

g(z) = (z−z₀)^kg(z) et g(z₀)= 0.

Exercice 20. Montrer que la r´eunion de deux f`erm´es discrets est un f´erm´e discret. En d´eduire que siU est un ouvert connexe deCalorsA(U) est int`egre.