S´erie 1

Mécanique quantique II S ´ erie 1 20 février 2013

Exercice 1 Révisions sur les opérateurs unitaires et hermitiens

1. Montrer que l’opérateur d’évolution dans le temps U _t = e ^{−i Ht/ b ¯ h} est unitaire. Qu’est- ce que cela implique pour la normalisation de la fonction d’onde ?

2. Montrer que l’opérateur impulsion p b _x est hermitien. Qu’en est-il pour b p ? 3. Est-ce que l’opérateur _dx ^d est hermitien ?

4. Est-ce que l’opérateur _dx ^d

est hermitien ?

5. Vérifier qu’un Hamiltonien avec un potentiel réel est hermitien.

Exercice 2 Produit tensoriel de deux spins ¹ ₂

Nous considérons un système composé de deux spins ¹ ₂ : S 1 et S 2 .

1. Rappeler la forme matricielle des opérateurs S ₁ ^x , S ₁ ^y et S ₁ ^z , dans l’espace de Hilbert du spin S 1 . Faire de même pour le spin S 2 . On choisira dans les 2 cas l’axe z comme direction de quantification.

2. Quelle est la dimension de l’espace de Hilbert du système total composé par les 2 spins ? Donner une base B de cet espace.

3. On considère maintenant l’action des opérateurs S 1 et S 2 dans la base B. On rappelle que, par extension, on définit dans cette base les opérateurs S 1 et S 2 tels que

S 1 ≡ S 1 ⊗ 1l B

et S 2 ≡ 1l B

⊗ S 2

avec 1l _B

l’opérateur identité dans la base B _i . S 1 agit sur le spin 1 comme le ferait S 1 et sur le spin 2 comme l’identité, et S 2 sur le spin 2 comme S 2 et sur le spin 1 comme l’identité. Ainsi

S 1 | ↓↑i = (S 1 ⊗ 1l _B

)(| ↓i ⊗ | ↑i) = S 1 | ↓i ⊗ 1l _B

| ↑i

S 2 | ↑↓i = (1l B

⊗ S 2 )(| ↑i ⊗ | ↓i) = 1l B

| ↑i ⊗ S 2 | ↓i

Donner la forme matricielle des opérateurs S _i ^x , S _i ^y et S _i ^z (i = 1, 2) dans la base B.

4. On définit l’opérateur de spin total J = S 1 + S 2 . Donner la matrice représentant J ² dans la base B.

5. Diagonaliser l’opérateur J ² . Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres. En déduire les valeurs propres de l’opérateur S 1 · S 2 .

6. Déterminer l’action des opérateurs suivants sur les vecteurs propres de S 1 · S 2 :

 

 



 

 

P t = S 1 · S 2 + ³ ₄ ¯ h ² P s = ¹ ₄ ¯ h ² − S 1 · S 2

P e = ¹ ₂ ¯ h ² + 2S 1 · S 2

7. On introduit les opérateurs N _↑ et N _↓ , qui comptent le nombre de spin up (respecti- vement down) dans une configuration donnée.

Exprimer l’opérateur J ^z = S ^z ₁ + S ₂ ^z , qui représente la composante du spin total suivant l’axe z, en fonction de N _↑ et N _↓ .

8. Écrire S 1 · S 2 en fonction de S ₁ ^z , S ₂ ^z , S ₁ ⁺ , S ⁻ ₁ , S ⁺ ₂ , S ₂ ⁻ . Montrer que S 1 · S 2 conserve N _↑ , N _↓ et J ^z .

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