Modes de cavité pour le système de Maxwell en dimension 1 et 2

Modes de cavité pour le système de Maxwell en dimension 1 et 2

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Avertissement : le sujet proposé peut sembler long à la première lecture, mais c’est uniquement pour guider les élèves au mieux. Il permet d’illustrer certaines notions théoriques du cours par des résultats numériques.

1 Présentation du problème

Le rayonnement des champs électromagnétiques excités par une source dipolaire mag- nétiquem~ est donné par la résolution du système de Maxwell :

( 0∂ ~E

∂t −−rot→H~ = ~0 µ0∂ ~H

∂t +−rot→E~ = m~

avec des conditions initiales CI nulles àt= 0et s’il y a un obstacle métallique de type conducteur parfait des conditions aux limites CL sur la frontièreΓ:

E~∧~n = ~0 H.~~ n = 0

Classiquement on adimentionne le système pour se ramener à des champs de même grandeur et une vitesse de propagation de 1m/s. On pose comme nouvelles inconnues

E~ ←− q

0

µ0

E~ H~ ←− q_µ

0

0

H~ t ←− ct= √¹0µ0t

et le système adimensionné devient







∂ ~E

∂t −−rot→H~ = ~0

∂ ~H

∂t +−rot→E~ = m~ +CL+CI

On se limite à un problème bi-dimensionnel : il y a symétrie de translation par rapport à l’axe z, soit_∂z^∂ = 0.

Montrer que le système se découple en 2 systèmes découplés, l’un en(Ex, Ey, Hz) et l’autre en(Hx, Hy, Ez). Le premier problème est dit de polarisation TE (Transverse Electrique) et le deuxième problème est dit de polarisation TM (Transverse Magné- tique).

On se limitera dans la suite à la polarisation TE.

2 Schéma bi-dimensionnel

Montrer que le système 2D à résoudre s’écrit :















∂Ex

∂t −^∂H_∂y^z = 0

∂Ey

∂t +^∂H_∂x^z = 0

∂Hz

∂t +^∂E_∂x^y −^∂E_∂y^x = mz

+CI :

E_x(x, y,0) =E_y(x, y,0) =H_z(x, y,0) = 0

On propose pour résoudre le système de Maxwell précédent un schéma aux dif- férences finies dit Saute Mouton. Les champsE~etH~ sont positionnés sur des mailles décalées en temps et en espace. Le schéma est centré en temps et en espace :

ExetEysont déterminés aux temps(n+¹₂)∆t, H_zest déterminé aux tempsn∆t.

On utilise en espace une grille à pas∆x et∆y fixes, les points d’indice entier corrrespondront aux traits de la grille.

E_xest positionné aux points((i+¹₂)∆x, j∆y), E_yest positionné aux points(i∆x,(j+¹₂)∆y), H_yest positionné aux points(((i+¹₂)∆x,(j+¹₂)∆y).

Faire un dessin, on représenteraEx etEy par des flèches orientées suivant leur direction etHz par un point dans un rond (convention classique pour une direction perpendiculaire au plan).

On adopte la notation suivante des inconnues :









 Eⁿ⁺

1 2

x,i+¹₂,j = Ex( (i+¹₂)∆x, j∆y, (n+¹₂)∆t) Eⁿ⁺

1 2

y,i,j+¹₂ = Ey( i∆x, (j+¹₂)∆y, (n+¹₂)∆t) H_z,i+ⁿ 1

2,j+¹₂ = H_z( (i+¹₂)∆x, (j+¹₂)∆y, n∆t) Le schéma s’écrit alors pour les points strictement intérieurs:

E^{n+ 12}

x,i+ 12,j−Eⁿ⁻

1 2 x,i+ 12,j

∆t −

Hⁿ

z,i+ 12,j+ 12−Hⁿ

z,i+ 12,j−1 2

∆y = 0

E^{n+ 12}

y,i,j+ 12

−Eⁿ⁻

1 2 y,i,j+ 12

∆t + ^H

n

z,i+ 12,j+ 12−Hⁿ

z,i−1 2,j+ 12

∆x = 0

Hⁿ⁺¹

z,i+ 12,j+ 12−Hⁿ

z,i+ 12,j+ 12

∆t +

E^{n+ 12}

y,i+1,j+ 12−E^{n+ 12}

y,i,j+ 12

∆x

−

E^{n+ 12}

x,i+ 12,j+1−E^{n+ 12}

x,i+ 12,j

∆y = mⁿ⁺

1 2

z,i+¹₂,j+¹₂

= mz((i+¹₂)∆x,(j+¹₂)∆y,(n+¹₂)∆t) Justifier brièvement que le schéma est d’ordre 2 en temps et en espace

Pour implémenter le schéma, on considérera∆x= ∆y. Le schéma est stable sous la condition CFL

∆t √ 2

3 Schéma mono-dimensionnel

On considérera dans ce cas qu’il y a symétrie de translation par rapport à la direction y, soit _∂y^∂ = 0

On ne garde alors comme inconnues queEyetHz. Justifier pourquoi. La grille est désormais mono-dimensionnelle.

Les indices en y disparaissent. Montrer que le schéma devient :

E_y,i^{n+ 12}−Eⁿ⁻

1 2 y,i

∆t + ^H

n z,i+ 12−Hⁿ

z,i−1 2

∆x = 0

Hⁿ⁺¹

z,i+ 12

−Hⁿ

z,i+ 12

∆t + ^E

n+ 12 y,i+1−E_y,i^{n+ 12}

∆x = mⁿ⁺

1 2

z,i+¹₂

= mz((i+¹₂)∆x,(n+¹₂)∆t)

Le schéma est stable sous la condition CFL

∆t

∆x ≤1

4 Cas 1D : analyse modale par éléments finis

On se place dans une cavité métallique, les champs électriques tangents vérifient alors une condition de type Dirichlet.

Montrer que le système de Maxwell peut se ramener à la résolution de l’équation des ondes scalaire.

En utilisant une méthode d’éléments finis en espace, montrer que la résolution de l’équation des ondes se ramène à

d²

dt²M U(t) +KU(t) =F(t)

avecM la matrice de masse etK la matrice de rigidité classiques des éléments finis.

Dans l’hypothèse d’une grille à pas régulier, en utilisant l’élément fini d’ordre 1, et en utilisant la formule du trapèze pour calculer la matrice de masse, on obtient une matrice diagonale pourMet le schéma centré à 3 points pour la matrice de rigidité.

Si l’on adopte un schéma de différences finies centré pour la discrétisation en tem- porel on obtient le schéma suivant :

MUⁿ⁺¹−2Uⁿ+Uⁿ⁻¹

∆t² +KUⁿ=Fⁿ

Montrer qu’en utilisant des variables auxiliaires le schéma précédent est stricte- ment équivalent à un schéma saute-mouton.

L’opérateur−∆auto-adjoint et la matriceK associée symétrique définis positifs (conditions aux limites de Dirichlet) diagonalisent en base (Hilbertienne) orthonormée :

KUm=λmUm

avec

U_m^t.M U_n=δ_mn et

λ_m>0

L’équation continue (ou discrète) décomposée sur la base modale devient alors par modes :

Si

U(t) = X

m>0

αm(t)Um

d²

dt²αm(t) +λmαm(t) =fm(t) Les solutions se décomposent alors sur une base decosetsin:

αm(t) =Cmcos(p

λmt) +Dmsin(p λmt)

Il existe donc des solutions non nulles à l’équation des ondes homogène appelées modes de cavité vérifiant :

U(x, t) =U_m(x)(Cmcos(p

λ_mt) +D_msin(p λ_mt))

Remarquez que ces solutions sont stationnaires (il n’y a pas de propagation ent−x out+x).

Dans le cas d’un segment de longueur L, calculer les modes de cavité : expression en espace et valeur propre associée.

Dans le cas discret, verifier que l’interpolé des premiers modes continus est vecteur propre de la matrice éléments finisK, on explicitera la valeur propre associée.

Facultatif : On assemblera la matriceKpour divers pas de discrétisation et on effectuera un calcul aux valeurs et vecteurs propres. On tracera l’allure des modes en fonction du pas de maillage et l’évolution de la valeur propre associée.

Le choix de la normalisation des modes continus (définis à une constante multi- plicative près) les rend orthonormés pour le produit scalaireL²et orthogonaux pour le produit scalaireH¹.

Dans le domaine discret, on normalise de même les modes. Définir les produits scalaires discrets adaptés.

Les valeurs propres√

λ_msont les fréquences propres des modes.

On s’intéresse à connaître le nombre de modesN(f)de fréquence propre inférieure àf et la densité modale^dN_df (f)associée.

Calculer et tracer N(f)et ^dN_df (f)en fonction de f. En déduire une loi asymp- totique (quand f tend vers l’infini).

5 Implémentation numérique 1D

Le domaine en espace est un segment de longueur L avec condition aux limites de Dirichlet pourEyau bord du domaine : en pratique, on se limite à un domaine borné (un segment ou un carré).

L’implémentation du schéma se fait par boucles en temps en effectuant à chaque itération les opérations suivantes :

Etape n :

- détermination desE_yau temps(n+¹₂)∆t - détermination desH_zau temps(n+ 1)∆t - prise en compte de l’excitation

Remarque : on n’est pas obligé de stocker en mémoire toutes les valeurs des champs en espace à tout instant.

Les sorties intéressantes seront : -des cartes de champ à certains instants

-la variation au cours du temps de certaines inconnues.

On désire retrouver numériquement les modes (et leur fréquence) qui peuvent exis- ter dans une cavité. Bien sûr, on ne pourra pas trouver tout le spectre. On choisit donc de se limiter à une plage de fréquence donnée :[0, fmax]. Pour exciter tous les modes, on se place en un point de la grille et on envoye comme source un signal en temps de type gaussien (à partir d’un certain temps, le signal est si petit qu’il peut être considéré à support compact).

La transformée de Fourier d’une gaussienne étant une gaussienne, on injecte ainsi un contenu fréquentiel borné (les fréquences en bout de gaussienne deviennent nég- ligeables).

Le pas du maillage et le pas de temps (reliés par la condition CFL) doivent être cohérents avec la variation en espace des modes (au moins 5 points sur une période sinus) et la fréquence de battement : heureusement ces deux critères croissent ensemble de façon quasi linéaire.

On ajustera les paramètres du calcul (pas d’espace, de temps,fmax, ..) sur le cas 1D et on en déduira une règle simple d’utilisation.

6 Analyse des résultats : valeurs propres

Au bout d’un temps assez long de simulationT, les seules solutions pouvant exister dans la cavité sont les modes :

En faisant une transformée de Fourier en temps de la réponse Ey(x, t)en un point de l’espace donné, on doit obtenir le spectre en fréquence des modes excités.

Comparer aux valeurs théoriques : on essayera différentes positions, on fera varier le tempsT de simulation et on regardera l’influence de ces paramètres sur la détermi- nation des fréquences propres.

On fera attention à faire revenir le signal à0en utilisant une fonction de troncature afin d’utiliser le plus proprement possible la transformée de Fourier discrète.

Conclure

7 Notion d’énergie :

La donnée physique pertinente est l’énergie électromagnétique définie en chaque in- stanttet en tout pointxde la façon suivante :

Wem(x, t) = 1

2(E_y²(x, t) +H_z²(x, t)) On intègre l’énergie électromagnétique sur la cavitéWem(t):

Wem(t) = Z L

0

1

2(E_y²(x, t) +H_z²(x, t))dx

En utlisant la décomposition modale en espace des champs (et la propriété d’orthogonalité associée), écrire dans le domaine continu l’énergieWem(t)en fonction desαm(t)et βm(t)avec :

Ey(x, t) = P

m>0αm(t)modeEm(x) Hz(x, t) = P

m>0βm(t)modeHm(x) etmodeEm(x)etmodeHm(x)modes normalisés à l’unité.

Calcul de l’énergie discrète :

On se propose de calculer à partir des champsEy etHz obtenus par calcul les amplitudes modalesαm(t),βm(t)et l’énergie électromagnétiqueWem(t):

Proposer une méthode d’intégration discrète qui permette de vérifier la propriété d’orthogonalité des modes.

Tracer αm(t)etWem(t)pour différents modes de cavité.

Quelles sont les allures des courbes en fonction du temps ?

On s’intéresse àW_eménergie par modemmoyennée au cours du temps : Comment l’obtient-on dans le domaine continu ?

En déduire une méthode d’intégration discrète : On s’intéressera à la quantité

W_em=lim_T−>∞1 T

Z T 0

W_em(t)dt

qui représente l’énergie déposée sur chaque mode.

On fera divers essais en faisant varier la position du point portant l’excitation, le temps T de simulation et on tracera les courbes obtenues : on repérera en abscisse le mode non pas par son ordre mais sa fréquence propre. On pourra normaliser l’énergie de chaque mode par l’énergie totale envoyée.

Pour simuler l’environnement électromagnétique ”pollueur” dans une cabine d’avion du aux téléphones portables et autres appareils électronique afin de déterminer leur im- pact sur les systèmes de vol (commandes électriques, aide à l’atterrissage), on fait l’hypothèse qu’à partir d’une certaine fréquence l’énergie se répartit de façon uniforme sur les modes de cavité (au moins par zone autour d’une fréquence centrale).

Arrive-t’on par la simulation à reproduire ce phénomène ? Faut-il envoyer des sources en différents endroits de façon aléatoire, combien ... ?

8 Cas 2D : Extension de l’analyse précédente au cas bidimensionnel

En s’inspirant du cas 1D, écrire dans le cas continu :

- la forme des modes de cavité et la fréquence propre associée.

- Calculer et tracerN(f)et ^dN_df (f)en fonction de f.

En déduire une loi asymptotique (quand f tend vers l’infini).

La loi de Weil annonce asymptotiquement un comportement deN(f)enAf²∗π, avecAl’aire du domaine, éventuellement corrigé à l’ordre 1 par un terme en^{P f}₂ avec Ple périmètre du domaine.

Retrouve t-on ce résultat ?

Il est remarquable que la densité modale ne dépende plus à partir d’une certaine fréquence de la forme du domaine mais seulement de son aire. On peut démontrer aussi que cette densité est indépendante des conditions aux limites.

On se place dans un domaine rectangulaire : On implémentera le schéma différences finis 2D : Etape n :

- détermination desE_xau temps(n+¹₂)∆t - détermination desEyau temps(n+¹₂)∆t - détermination desHzau temps(n+ 1)∆t - prise en compte de l’excitation

et on effectuera la même analyse que dans le cas 1D.

En particulier, il faut exciter de même la cavité en différents points et tracer l’énergie par modes (en fonction de leur fréquence).

Arrive-t’on à exciter les différents modes de façon homogène ?