Figure 1 – S´erie 1 Figure 2 –S´erie 2 En consid´erant la dispersion des valeurs, la s´erie 1 est dispers´ee alors que la s´erie 2 l’est beaucoup moins

Premi`ere S1 Corrig´e du devoir surveill´e n˚6

Correction du devoir de math´ematiques n^o6 Exercice 1 : (QCM)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Une grande surface rel`eve en fin de journ´ee la r´epartition des 97 ch`eques cadeaux remis aux clients (montants allant de 5e

`a 100e). Les r´esultats sont consign´es dans le diagramme en boˆıte ci-contre.

1. R´eponse B.

En effet, Q1 = 10donc au moins 75 % des ch`eques cadeaux (soit ₁₀₀⁷⁵ ×97 = 72,75) ont une valeur au moins

´egale `a 10e. 2. R´eponse A.

En effet, Q1 = 10donc au moins 25 % des ch`eques cadeaux (soit 100<sup>25</sup> ×97 = 24,25) ont une valeur inf´erieure ou ´egale `a 10e.

3. R´eponse A.

En effet, l’´ecart-type est forc´ement inf´erieure `a l’´etendue, ´egale `a100−5 = 95.

Exercice 2 :

L’une des deux s´eries repr´esent´ees ci-dessous `a une m´ediane ´egale `a 5 et un ´ecart interquartile ´egal `a 8, alors que l’autre s´erie `a une moyenne ´egale `a 6 et un ´ecart-type ´egal `a 2.

Figure 1 – ^{S´erie 1} Figure 2 –^{S´erie 2}

En consid´erant la dispersion des valeurs, la s´erie 1 est dispers´ee alors que la s´erie 2 l’est beaucoup moins. Ainsi, la m´ediane ´egale `a 5 et l’´ecart interquartile ´egal `a 8 (´elev´e) correspond `a la s´erie 1 ; et la moyenne ´egale `a 6 avec un ´ecart-type ´egal `a 2 (faible) correspond `a la s´erie 2.

Exercice 3 : Avec le menu STAT de la calculatrice...

On a relev´e le prix d’un mˆeme mod`ede de cl´e USB de 64 Go dans 350 magasins d’une grande enseigne. Les prix relev´es sont donn´es dans le tableau suivant :

Prix (e) 31,75 31,80 31,85 31,90 31,95 32 32,05

Nombre de

magasins 25 82 99 52 55 31 6

1. A la calculatrice, Me= 31,85,Q1 = 31,80 et Q3= 31,95.

2. ∗ 32,05−31,75 = 0,30. L’´etendue de la s´erie est0,30.

∗ 31,95−31,80 = 0,15. L’´ecart interquartile de la s´erie est 0,15.

3.

31,70 31,75 31,90 32

Prix ene

Min

Q1 Me Q3

Max

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4. On note L la liste constitu´ee des effectifs de cette s´erie statistique. La liste L poss`ede donc 7 ´el´ements et on a L[1] = 25, L[2] = 82. . .

Cet algorithme ajoute successivement les effectifs de la s´erie et affiche le r´esultat `a chaque ´etape. Le rˆole de cet algo- rithme est donc de calculer et d’afficher les effectifs cumul´es croissants de la s´erie statistique.

S est un r´eel.iest un entier.

S ←0

Pour i= 1 jusqu’`a7faire S←S+L[i]

Afficher la valeur deS Fin Pour

Exercice 4 : Avec les formules...

Une machine est r´egl´ee pour produire des paquets de pˆates de 500 grammes chacun. Pour v´erifier le r´eglage de cette machine, on pr´el`eve un lot de 100 paquets que l’on p`ese.

Masse (g) 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505

Nombre de pa-

quets 1 4 10 12 20 20 16 9 5 2 2

1. Calcul de la moyenne :

x= 1×495 + 4×496 +· · ·+ 1×505

100 = 50472

101 ≈499,723 Le masse moyenne par paquet est environ 499,723g.

Calcul de la variance :

V = 1×495²+ 4×496²+· · ·+ 1×505²

100 ≈249726,9901−499,723² ≈3,913.

La variance de cette s´erie est environ 3,913.

Calcul de l’´ecart-type : σ =√

V ≈1,978.

L’´ecart-type de cette s´erie est environ 1,978.

2. D’apr`es le protocole de maintenance de la machine, il faut proc´eder `a un r´eglage si l’intervalle[x−2σ; x+ 2σ]

contient moins de95% des paquets produits.

x−2σ ≈495,767 x+ 2σ ≈503,679

D’o`u [x−2σ ; x+ 2σ]≈[496 ; 503] : 4 + 10 + 12 + 20 + 20 + 16 + 9 + 5

101 ×100≈95,05.

95,05% des paquets de pˆates ont une masse appartenant `a l’intervalle[x−2σ ; x+ 2σ]. Ainsi, il n’est pas n´ecessaire de proc´eder au r´eglage de la machine.

Exercice 5 :

a) cosx=−¹2 dans R: cosx=−¹2

⇐⇒ cosx= cos²₃^π

⇐⇒ x= ²₃^π + 2kπ ou x=−²3^π + 2kπ, k∈Z

S=2π

3 + 2kπ ; −^23π + 2kπ|k∈Z

b) sin(2x−^π6) = ^√₂³ dans[0 ; π]; sin(2x−^π6) = ^√₂³

⇐⇒ sin(2x−^π6) = sin^π₃

⇐⇒ 2x− ^π6 = ^π3 + 2kπ ou 2x−^π6 =π−^π3 + 2kπ, k∈Z

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⇐⇒ 2x− ^π6 = ^π₃ + 2kπ ou 2x−^π6 = ²₃^π + 2kπ, k∈Z

⇐⇒ 2x= ^π₂ + 2kπ ou 2x= ⁵₆^π + 2kπ, k∈Z

⇐⇒ x= ^π₄ +kπ ou x= ⁵₁₂^π +kπ, k∈Z Dans[0 ; π]

k= 0 x= ^π4 ∈[0 ; π] ou k= 0 x= ⁵12^π ∈[0 ; π]

k= 1 x= ⁵₄^π ∈/ [0 ; π] ou k= 1 x= ¹⁷₁₂^π ∈/[0 ; π]

k=−1 x=−³4^π ∈/ [0 ; π] ou k=−1 x=−⁷12^π ∈/[0 ; π]

S=_π

4 ; ⁵₁₂^π c) 1−√

2 cosx= 0 dans[−^π2 ; 0].

1−√

2 cosx= 0 ⇐⇒ cosx= √^1×√2 2×√

2 = ^√2².

Par lecture du cercle trigonom´etrique sur[−^π2 ; 0],x=−^π4. S=

−^π4

Exercice 6 :

1. a) sinx6−¹2 dans[0 ; 2π]

Par lecture du cercle trigonom´etrique, S = [⁷₆^π ; ¹¹₆^π].

b) cosx < ¹2 dans[−π ; ^π2]

Par lecture du cercle trigonom´etrique, S = [−π ; −^π3[∪ ]^π₃ ; ^π₂].

2. Tableau de signes de

2 sinx−3 2 cosx−√ 2

sur [0 ; 2π]:

∗ 2 sinx−3 = 0 ⇐⇒ sinx= ³2 ∈/ [−1 ; 1]donc il n’y a pas de solution dans [0 ; 2π].

∗ 2 sinx−3>0 ⇐⇒ sinx > ³₂. Cette in´equation n’a pas de solution dans[0 ; 2π].

∗ 2 cosx−√

2 = 0 ⇐⇒ cosx= ^√₂² ⇐⇒ x= ^π₄ ou x= ⁷₄^π dans [0 ; 2π].

∗ 2 cosx−√

2>0 ⇐⇒ cosx > ^√₂² ⇐⇒ x∈[0 ; ^π₄[∪]⁷₄^π ; 2π] dans[0 ; 2π].

D’o`u le tableau de signes : x

2 sinx−3 2 cosx−√ 2 (2 sinx−3)(2 cosx−√

2)

0 ^π4

7π

4 2π

0 0

0 0

−

+ − +

− + −

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