Math´ematiques 3 Partiel CUPGE 2`eme ann´ee - automne 2020
Partiel - 19 octobre 2020
La clart´e et la pr´ecision de la r´edaction auront une part importante dans le barˆeme.
Exercice 1. Une int´egrale impropre.
L’int´egrale impropre suivante est elle absolument convergente ? Est-elle convergente ? Z +∞
0
sint (√
t+t3/2) ln((1 +t)3)dt.
Exercice 2. Cherchez l’erreur.
Montrer que les assertions suivantes sont fausses.
1. Toute s´erie convergente est absolument convergente.
2. Pour toute suite (un) `a valeurs complexes, si la s´erie P
un converge, alors la s´erie P u4n converge.
3. Il existe une suite (un) `a valeurs positives telle que la s´erie P
un converge mais la s´erie Pu3n ne converge pas.
Exercice 3. Convergence de s´eries.
Pour chacun des suites (un) suivantes, dire si la s´erie de terme g´en´eral un est convergente.
1. un= ln(n+1)3n2 , o`u n>1.
2. un= 23 +5−2n+n1 2
n
, o`u n>0.
3. un= 3−√3n, o`un >0.
4. un= ln(n+1)n −ln(n)n , o`un >1.
5. un= cos(nπ+ exp(−√3
n)), o`u n >0.
Exercice 4. Comparaison s´erie-int´egrale.
On consid`ere la suite (un) donn´ee un = n1 pour n > 1, et la suite de sommes partielles Sn = Pn
k=1uk.
1. La suite (Sn) est-elle convergente ?
2. En utilisant la comparaison s´erie-int´egrale, donner un ´equivalent de la suite des sommes partielles de la s´erie P1
n. 3. On pose ∆n =un−Rn+1
n dt
t. a) Montrer que la s´erie P
∆n converge. On pourra montrer que ∆n6un−un+1. b) En d´eduire que la suite vn =Sn−lnn converge.
Universit´e de Paris 1 UFR de math´ematiques
