1 Espaces de probabilit´ es finis

(1)

Chapitre VIII

Probabilit´ es

1 Espaces de probabilit´ es finis

Un espace de probabilit´es fini est un couple (Ω, P) o`u : 1. Ω ={x1, . . . , xn}est un ensemble fini ;

2. P est une probabilit´e sur Ω, i.e. une application P: Ω→[0,1] telle que : P(x1) +. . .+P(xn) = 1.

D´efinition 1 (Espace de probabilit´es fini)

Soit Ω ={x₁, . . . , x_n}un ensemble fini à n≥1 éléments. La probabilité uniforme sur Ω est l’application : P: Ω→[0,1], xi7→ 1

n.

C’est l’unique probabilité sur Ω qui est une application constante, i.e. telle que tous les éléments de Ω ont la même image.

D´efinition 2 (Probabilit´e uniforme)

I Exemple 1 :L’ensemble Ω =J1,6Kmuni de la probabilit´e uniforme P:J1,6K→[0,1], i7→ 1

6 est un espace de probabilit´es fini.

Soit (Ω ={x1, . . . , xn}, P) un espace de probabilit´es fini.

1. Un ´ev´enement est une partie de Ω.

2. Chacun des événements {xi},i∈J1, nK, est appelé événement élémentaire.

3. SiA={xi₁, . . . , xi_k}est un événement, alors la probabilité deAest le nombreP(A) défini par : P(A) =P(xi₁) +. . . P(xi_k).

Définition 3 ( Événement et probabilité d’un événement)

I Exemple 2 : On considère l’espace de probabités (J1,6K, P), où P est la loi uniforme sur J1,6K. Alors l’événementA={1,4} a pour probabilité :

P(A) =P(1) +P(4) = 1 6+1

6 = 1 3. On peut aussi calculerP(A) à l’aide de la propriété suivante.

1

(2)

Soit (Ω ={x1, . . . , xn}, P) un espace de probabilités fini, oùP est la probabilité uniforme. La probabilité d’un

événement est donnée par la formule :

P(A) = Card(A) Card(Ω).

Proposition 1 (Probabilité d’un événement dans le cas uniforme)

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat. Si le nombre d’issues possibles est fini, on associe à l’expérience aléatoire un espace de probabilités fini (Ω, P), où :

1. Ω ={x1, . . . , x_n}est l’ensemble de toutes les issues possibles ;

2. P: Ω→[0,1] est l’application telle que pour tout i∈J1, nK,P(x_i) est la probabilit´e d’obtenir le r´esultat x_i.

Comme Ω contient tous les r´esultats possibles, on a bien :

P(x₁) +. . .+P(x_n) = 1.

Définition 4 (Expérience aléatoire à nombre d’issues fini et espace de probabilités fini associé)

I Exemple 3 :On jette un dé non truqué à 6 faces numérotées de 1 à 6 et on lit le numéro obtenu. L’ensemble de toutes les issues possibles estJ1,6Ket l’espace de probabilités associé est (J1,6K, P), oùP est la loi uniforme surJ1,6K(le dé est non truqué et donc chacune des faces a la même probabilité d’apparaˆıtre).

I Remarque

Il existe de nombreuses exp´eriences al´eatoires dont le nombre d’issues n’est pas fini.

1. On se donne une pièce truquée telle que la probabilité quePILE apparaisse estp, avec 0< p <1. On jette la pièce jusqu’à temps que l’on obtienne unPILEet on notenle nombre de lancers nécessaires pour obtenir unPILE. L’ensemble de tous les résultats possibles est :

Ω ={1,2, . . . , n, . . .} ∪ {∞}.

Le résultat∞correspond au cas oùPILE n’a été obtenu à aucun des lancers. Il est naturel de poser que pour toutn∈N^∗, la probabilité d’avoirncomme issue est :

P(n) = (1−p)ⁿ⁻¹p.

En revanche, il n’est pas ´evident, a priori, de donner une valeur pourP(∞).

On aimerait pouvoir associer à cette expérience un espace de probabilités (infini) et pouvoir étendre les outils de la théorie des probabilités dans le cas fini à cette situation ”infinie”. Un problème se pose : on peut être amené à faire des sommes infinies. . . 2. On tire au hasard un nombre réel entre 0 et 1. L’ensemble de toutes les issues possibles de cette expérience aléatoire est alors

Ω = [0,1]. Il est assez naturel de penser que :

• la probabilit´e d’obtenir un nombre entre 0 et1 2 est1

2, nombre qui peut ˆetre vu comme le rapport entre la longueur de l’intervalle

0,1 2

et la longueur de l’intervalle [0,1] ;

• la probabilit´e d’obtenir un nombre entre1 3et 2

3est1

3, nombre qui peut ˆetre vu comme le rapport entre la longueur de l’intervalle 1

3,2 3

et la longueur de l’intervalle [0,1] ;

• la probabilt´e d’obtenir un nombre entreaetb, avec 0≤a < b≤1 estb−a, nombre qui peut ˆetre vu comme le rapport entre la longueur de l’intervalle [a, b] et la longueur de l’intervalle [0,1].

Deux probl`emes se posent.

(a) Quelles sont les parties de Ω pour lesquelles il estintéressantde définir une probabilité ? On aimerait que les intervalles réels inclus dans [0,1] soient des événements, mais poser que les seuls événements sont ces intervalles serait trop restrictif pour pouvoir étendre, plus tard, les formules de probabilités usuelles : e.g. la réunion de deux intervalles réels inclus dans [0,1] n’est, en général, pas un intervalle et le complémentaire d’un intervalle réel inclus dans [0,1] n’est, en général, pas un intervalle. L’ensemble des événements devrait contenir les intervalles réels inclus dans [0,1], mais pas seulement.

(b) Comment définir la probabilité d’un événement ? Nous avons proposé une définition de probabilité pour certains intervalles réels inclus dans [0,1], mais il n’est pas évident, à priori, d’étendre cette définition.

On remarque au passage que nous ne cherchons pas à définir la probabilité d’une issue (i.e. d’un nombre réel entre 0 et 1), mais la probabilité d’un événement (i.e. d’une certaine partie de [0,1]).

I Remarque

Soit (Ω = {x1, . . . , xn}, P) un espace de probabilités fini. Alors en associant à un évènement A sa probabilité P(A), on définit une application :

Pb:P(Ω)→[0,1], A7→P(A) qui v´erifie :

(3)

2. INTRODUCTION AUX S ´ERIES 3

1. Pb(Ω) = 1 ;

2. Pb(A∪B) =P(A) +b P(B), sib AetBsont deux ´ev`enements disjoints (incompatibles).

Soit (Ω ={x₁, . . . , x_n}, P) un espace de probabilit´es fini. Soit une application Pb:P(Ω)→[0,1], A7→P(A)b qui v´erifie :

1. Pb(Ω) = 1 ;

2. Pb(A∪B) =Pb(A) +Pb(B), siAetB sont deux ´ev`enements disjoints (incompatibles).

Alors l’applicationP d´efinie par :

P: Ω→[0,1], xi 7→P({xb i}) est une probabilit´e sur Ω.

Proposition 2 (définition équivalente d’une probabilité dans le cas fini)

I Remarque

La proposition ci-dessus fournit un autre moyen de construire une probabilité. C’est cette approche qui sera la plus à même d’être généralisée.

2 Introduction aux s´ eries

Soit (un)n≥n₀ une suite `a termes positifs. Pour toutn≥n0, on pose : Sn=

n

X

k=n₀

uk.

Comme pour toutn≥n0,Sn+1−Sn=un+1≥0, la suite (Sn)n≥n₀ est croissante.

1. Si (Sn)n≥n₀ est bornée, alors la suite (Sn)n≥n₀ converge vers une limite finiel ∈R. Dans ce cas, on dit que la série de terme généralun converge et on note

+∞

X

n=n0

un

la limitel de la suite (S_n)_n≥n₀.

2. Si (S_n)_n≥n₀ n’est pas bornée, alors la suite (S_n)_n≥n₀ tend vers +∞et on dit que la série de terme général diverge.

Définition 5 (Série à termes positifs)

I Remarque

Soit (un)n≥n0une suite à termes positifs. La série de terme généralunpeut-être identifiée à la suite



S_n=

n

X

k=n0

u_k





n≥n0

des sommes des premiers termes consécutifs de la suite (un)n≥n0. En particulier, étudier la convergence ou la divergence de la série de terme général de terme généralu_nrevient à étudier la convergence ou la divergence de la suite (S_n)_n≥n

0.

I Exemple 4

(4)

La série de terme général 1

n(n+ 1) converge. En effet, pour toutn∈N^∗, on a : 1

n(n+ 1) = 1 n− 1

n+ 1 et par suite, pour toutn∈N^∗ :

Sn =

n

X

k=1

1 k(k+ 1)

=

n

X

k=1

1 k− 1

k+ 1

= 1−1 2 +1

2 −1 3+1

3 −1

4 +. . .+ 1 n−1− 1

n+ 1 n− 1

n+ 1

= 1− 1

n+ 1 (somme t´elescopique).

On en déduit que la suite (Sn)_n≥1 converge vers 1. Par suite la série de terme général 1

n(n+ 1) converge et on

a : +∞

X

n=1

1

n(n+ 1) = 1.

I Exemple 5

La série de terme généralndiverge. En effet, pour toutn∈N, on a : Sn =

n

X

k=0

k= 0 + 1 + 2 + 3 +. . .+n=n(n+ 1)

2 .

On en d´eduit que lim

n→+∞Sn = +∞.Par suite la série de terme généralndiverge.

Soitq∈R⁺ et soit (qⁿ)n≥0 la suite g´eom´etrique de raison qet de premier terme 1.

1. Siq∈[0,1[, alors la série de terme général qⁿ converge et on a :

+∞

X

n=0

qⁿ= 1 1−q. 2. Siq∈[1,+∞[, alors la série de terme généralqⁿ diverge.

Théorème 1 (Séries géométriques)

Preuve

• Siq= 1, alors on a :S_n=

n

X

k=0

q^k=

n

X

k=0

1 =n+ 1.On en d´eduit que lim

n→+∞S_n= +∞.Par suite, la série de terme généralqⁿdiverge.

• Siqest différent de 1, alors on a (cf. cours sur les suites géométriques) :

(∗) ∀n∈N Sn=

n

X

k=0

q^k= 1−qⁿ⁺¹ 1−q .

• Siq∈[0,1[, on a lim

n→+∞qⁿ= 0 (cf. cours sur les suites g´eom´etriques) et donc lim

n→+∞qⁿ⁺¹= 0. On en d´eduit (cf. (∗)) que la suite (Sn)_n≥0 converge vers 1

1−q. Par suite, la série de terme généralqⁿconverge et

+∞

X

n=0

qⁿ= 1 1−q.

• Siq ∈]1,+∞[, alors lim

n→+∞qⁿ = +∞(cf. cours sur les suites g´eom´etriques) et donc lim

n→+∞qⁿ⁺¹ = +∞. On en d´eduit (cf. (∗)) que

n→+∞lim Sn= +∞et donc que la série de terme généralqⁿdiverge.

(5)

2. INTRODUCTION AUX S ´ERIES 5 I Exemple 6

La série de terme général 1

2 ⁿ

converge et on a :

+∞

X

n=0

1 2

n

= 1

1−1 2

= 2.

Soit (un)_n≥n₀ et (vn)_n≥n₀deux suites à termes positifs telle que les séries de termes générauxunetvnconvergent.

Soientλ, µ∈R⁺. Alors la série de terme généralλun+µvn converge et on a :

+∞

X

n=n₀

λun+µvn=λ

+∞

X

n=n₀

un

! +µ

+∞

X

n=n₀

! vn. Théorème 2 (Convergence et linéarité)

I Exemple 7

Soitq∈[0,1[. On va démontrer que la série de terme généraln qⁿ converge et que :

+∞

X

n=1

n qⁿ= q (1−q)². 1. Soitn∈N. On d´efinit la fonctionfn par :

fn:R\ {1} →R, x7→

n

X

k=0

x^k.

Cette fonction est d´erivable sur R\ {1}et on a :

(∗) ∀x∈R\ {1} f_n⁰(x) =

n

X

k=1

k x^k−1.

Or, d’après le cours sur les suites géométriques, on a :

∀x∈R\ {1} fn(x) = 1−xⁿ⁺¹ 1−x .

A l’aide de cette observation, on obtient une autre expression pour la d´` eriv´ee de fn : (∗∗) ∀x∈R\ {1} f_n⁰(x) = n xⁿ⁺¹−(n+ 1)xⁿ+ 1

(1−x)² . En comparant (∗) et (∗∗), il vient :

(∗ ∗ ∗) ∀x∈R\ {1}

n

X

k=1

k x^k−1=n xⁿ⁺¹−(n+ 1)xⁿ+ 1 (1−x)² . 2. En appliquant (∗ ∗ ∗) avecx=q, on a donc :

(∗ ∗ ∗∗)

n

X

k=1

k q^k−1= n qⁿ⁺¹−(n+ 1)qⁿ+ 1 (1−q)² . D’après le cours sur les suites géométriques, on a lim

n→+∞qⁿ = 0 et donc lim

n→+∞qⁿ⁺¹= 0. Par croissances compar´ees, on a donc : lim

n→+∞n qⁿ⁺¹ = 0 et lim

n→+∞(n+ 1)qⁿ = 0. On en déduit, grâce à (∗ ∗ ∗∗), que la suite

n

X

k=1

k q^k−1

!

n≥1

converge vers 1

(1−q)². La série de terme généraln qⁿ⁻¹est donc convergente et :

+∞

X

n=1

n qⁿ⁻¹= 1 (1−q)².

(6)

3. Comme pour tout n∈N^∗,n qⁿ=q×(n qⁿ⁻¹), on déduit de ce qui précède, en appliquant le théorème 2, que la série de terme généraln qⁿ converge et que :

+∞

X

n=1

n qⁿ =q× 1

(1−q)² = q (1−q)².

Soit (un)n≥n0 une suite `a termes positifs telle que la s´erie X

un converge. Soiti0 < i1 < . . . < in < . . . une suite strictement croissante d’entiers tous supérieurs ou égaux àn0. Alors la série de terme généralui_n converge

et : +∞

X

n=0

ui_n≤

+∞

X

n=n₀

uk.

Théorème 3 (Convergence d’une série associée à une sous-suite)

3 Espaces de probabilit´ es d´ enombrables

Un ensemble Ω est dit d´enombrable si et seulement si il existe une bijection f:N→Ω, i7→x_i

i.e. si l’on peut faire la liste

x0, x1, x2, . . . , xn, . . . des éléments de Ω en les numérotant à l’aide des entiers naturels.

D´efinition 6 (Ensemble d´enombrable)

I Remarque

Un espace d´enombrable est donc infini, mais il existe des ensembles infinis non d´enombrables.

I Exemples 8

Les ensemblesN,N^∗,Z,QetN×Nsont d´enombrables. En revanche, les ensemblesR,CetP(N) (ensemble des parties deN) ne sont pas d´enombrables.

Un espace de propabilités dénombrable est un couple (Ω, P) tel que : 1. Ω ={x0, x1, . . . , xn, . . .}est un ensemble dénombrable ;

2. P: Ω→[0,1] est une application telle que la série de terme généralP(xn) converge et vérifie :

+∞

X

n=0

P(xn) = 1.

Définition 7 (Espace de probabilités dénombrable)

(7)

3. ESPACES DE PROBABILIT ´ES D ´ENOMBRABLES 7

Soit (Ω ={x₀, x₁, . . . , x_n, . . .}, P) un espace de probabilit´es d´enombrable.

1. Un ´ev´enement est une partie de Ω.

2. SiA={x_i₁, . . . , x_i_n}est un événement fini, alors la probabilité deAest le nombreP(A) défini par : P(A) =P(x_i₁) +. . . P(x_i_n).

3. Si A est un ´ev`enement infini, alors il existe une unique suite strictement croissante d’entiers naturels i0< i1< . . . < in < . . .telle que :

A={xi0, xi1, . . . , xin, . . .}.

La probabilit´e deAest d´efinie par :

P(A) =

+∞

X

n=0

P(x_i_n).

D’après le théorème 3, cette somme est bien définie et on sait que : P(A)≤

+∞

X

n=0

P(x_n) = 1.

Définition 8 ( Événement et probabilité d’un évènement)

I Exemple 9 :L’ensemble Ω =Nmuni de l’application P:N→[0,1], n7→

1 2

ⁿ⁺¹

est un espace de probabilités dénombrable. En effet, on a vu (cf. exemple 6) que la série de terme général 1

2 n

converge et que

+∞

X

n=0

1 2

n

= 2. On en déduit, grâce au théorème 2, que la série de terme général 1

2 n+1

=1 2 ×

1 2

n

converge et que :

+∞

X

n=0

1 2

n+1

=1

2 ×2 = 1.

SoitAl’´ev´enementl’entier est pair, i.e.A={0,2,4,6,8,10,12, . . .}. On a donc : P(A) = P(0) +P(2) +P(4) +P(6) +P(8) +P(10) +P(12) +. . .

=

+∞

X

n=0

P(2n)

=

+∞

X

n=0

1 2

²ⁿ⁺¹

=

+∞

X

n=0

1 2×

1 2

²!n

= 1

2 ×

+∞

X

n=0

1 4

n!

(cf. th´eor`eme 2)

= 1

2 × 1 1−1

4

(cf. th´eor`eme 1)

= 2

3. I Remarque

(8)

Soit (Ω ={x0, x₁, . . . , x_n, . . .}, P) un espace de probabilités dénombrable. Alors en associant à un évènementAsa probabilitéP(A), on définit une application :

Pb:P(Ω)→[0,1], A7→P(A)

qui v´erifie : 1. Pb(Ω) = 1 ;

2. si (A_n)_n∈Nune suite d’événements deux à deux disjoints (incompatibles), alors la série de termes généralP(Ab _n) converge et on a :

Pb



 [

n∈N

An



=

+∞

X

n=0

Pb(An).

Nous admettrons la propriété 2 dont la démonstration n’est pas immédiate et requiert des résultats supplémentaires sur les séries à termes généraux positifs, résultats que nous ne discutons pas ici.

Soit (Ω ={x0, x1, . . . , xn, . . .}, P) un espace de probabilit´es d´enombrable. Soit une application Pb:P(Ω)→[0,1], A7→P(A)b

qui v´erifie : 1. Pb(Ω) = 1 ;

2. Si (A_n)_n∈_Nune suite d’événements deux à deux disjoints, alors la série de terme généralPb(A_n) converge et on a :

Pb [

n∈N

A_n

!

=

+∞

X

n=0

Pb(A_n).

Alors l’applicationP d´efinie par :

P: Ω→[0,1], xi 7→P({xb i}) est une probabilit´e sur Ω.

Proposition 3 (définition équivalente d’une probabilité dans le cas dénombrable)

I Remarque

Nous admettrons cette propriété. À nouveau, il nous faudrait des outils supplémentaires sur les séries à termes généraux positifs pour pouvoir en donner une preuve. C’est cette dernière définition de probabilité qui sera prise comme définition de probabilité dans le cas général.

4 Espaces de probabilit´ es g´ en´ eraux

Soit Ω un ensemble quelconque, appel´e univers.

Contrairement aux deux cas précédents (Ω fini, Ω dénombrable), un événement ne sera pas nécessairement une sous-partie quelconque de Ω dans le cas général. Sans parler des problèmes théoriques sous-jacents, on ne sera pas forcément intéressé, dans le cas général, par connaˆıtre la probabilité de toutes les parties de Ω.

Pour indiquer quelles sont les parties de Ωintéressantes, on va ajouter à Ω un sous-ensemble T de P(Ω), appelé ensemble des événements ou tribu, possédant certaines propriétés.

(9)

4. ESPACES DE PROBABILIT ÉS G ÉN ÉRAUX 9

Une tribuT sur Ω est un ensemble de parties de Ω tel que : 1. Ω∈ T ;

2. T est stable par passage au compl´ementaire, i.e. :

∀A∈ T A∈ T.

3. T est stable par réunion dénombrable, i.e. pour tout suite (A_n)_n∈_Nd’éléments de T, on a : [

n∈N

A_n∈ T. D´efinition 9 (tribu)

1. Un espace probabilisable est un couple (Ω,T) o`u Ω est un ensemble etT est une tribu sur Ω.

2. Un événement d’un espace probabilisable (Ω,T) est une sous-partie de Ω qui appartient à la tribuT. Définition 10 (espace probabilisable, événement d’un espace probabilisable)

I Remarque

Dans le cas où Ω est fini ou dénombrable, on choisira toujoursT =P(Ω). Toute partie de Ω sera donc, dans ces cas, un événement, ce qui est cohérent avec ce qui précède. Dans le cas où Ω n’est ni fini, ni dénombrable, la tribuT sera, en pratique, toujours différente deP(Ω).

Un espace de probabilit´es est un triplet (Ω,T, P) o`u : 1. (Ω,T) est un espace probabilisable ;

2. P:T →[0,1] est une application, appel´ee probabilit´e, telle que : (a) P(Ω) = 1 ;

(b) Pour toute suite d’événements (A_n)_n∈_Ndeux à deux disjoints (incompatibles), i.e.

∀n∈N ∀m∈N n6=m=⇒A_n∩A_m=∅, la série de terme généralP(An) converge et :

+∞

X

n=0

P(An) =P [

n∈N

An

! .

On remarque que d’après la propriété 3 de la définition d’une tribu, [

n∈N

A_n ∈ T. On peut donc considérer la probabilité de l’événement [

n∈N

An. D´efinition 11 (espace de probabilit´es)

I Exemple 10 :Il existe uneplus petite tribu B sur Ω = [0,1] contenant tous les intervalles réels inclus dans [0,1]. Cette tribu est appelée tribu borélienne (borélien fait référence au mathématicien Émile Borel) et n’est pas égale à P([0,1]), i.e. certaines parties de [0,1] n’appartiennent pas à la tribu borélienne. Sur l’espace probabilisable ([0,1],B), il existe une unique probabilitéP telle que pour touta, b∈R, 0≤a < b≤1, on a :

P(]a, b[) =P([a, b[) =P([a, b]) =P(]a, b]) =b−a.

On dit queP est la probabilit´e uniforme sur [0,1].

Les résultats cités ci-dessous sont admis. Leurs démonstrations dépassent le cadre du programme.

(10)

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. On a les propriétés suivantes.

1. P(∅) = 0.

2. SiAetB sont deux ´ev´enements disjoints (incompatibles), alorsP(A∪B) =P(A) +P(B).

3. SiA1, . . . , An sont des événements deux à deux disjoints (incompatibles), i.e. :

∀i∈J1, nK ∀j∈J1, nK i6=j=⇒Ai∩Aj =∅, alorsP(A1∪. . .∪An) =P(A1) +. . .+P(An).

4. SoitAun ´ev´enement. AlorsP(A) = 1−P(A).

5. SoientA etB deux ´ev´enements tels queA⊂B. AlorsP(A)≤P(B).

6. SoientA etB deux ´ev´enements. AlorsP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

Théorème 4 (propriétés élémentaires des espaces de probabilités)

Preuve

1. Pour toutn∈N, on poseA_n=∅. Alors la suite (A_n)n∈Nest une suite d’événements deux à deux disjoints. La convergence de la série de terme généralP(A_n) =P(∅) force l’égalitéP(∅) = 0.

2. SoientAetBdeux événements incompatibles. On poseA0=A,A1=BetAn=∅pour tout entiern≥2. La suite (An)n∈Nest alors une suite d’événements deux à deux disjoints. Alors la série de terme généralP(An) converge et :

(∗)

+∞

X

n=0

P(A_n) =P



 [

n∈N

A_n



.

Or

(∗∗)

+∞

X

n=0

P(A_n) = P(A₀) +P(A₁) +P(A₂) +P(A₃) +P(A₄) +P(A₅) +. . .

= P(A) +P(B) +P(∅) +P(∅) +P(∅) +P(∅) +. . .

= P(A) +P(B) (P(∅) = 0) De plus on a :

(∗ ∗ ∗) [

n∈N

A_n = A₀∪A₁∪A₂∪A₃∪A₄∪A₅∪. . .

= A∪B∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪. . .

= A∪B

De (∗), (∗∗) et (∗ ∗ ∗), on d´eduit queP(A∪B) =P(A) +P(B).

3. On peut prouver la propriété 3. en généralisant la démonstration donnée pour la propriété 2. Les détails sont laissés en exercice.

4. SoitAun événement. AlorsAetAsont deux événements disjoints. On a donc, d’après 2. : (∗) P(A∪A) =P(A) +P(A).

OrA∪A= Ω etP(Ω) = 1. De (∗), on d´eduit doncP(A) +P(A) = 1 et par suiteP(A) = 1−P(A).

5. SoientAetBdeux événements tels queA⊂B. AlorsB=A∪(B∩A) (faire un diagramme de Venn). Comme les deux événementsAet B∩Asont disjoints, on a d’après 2. :

(∗) P(B) =P(A) +P(B∩A).

OrP(B∩A)≥0 (car l’ensemble d’arriv´ee deP est [0,1]). On a doncP(A)≤P(B).

6. SoientAetBdeux événements. AlorsA∪B= (A∩B)∪(A∩B)∪(A∩B) (faire un diagramme de Venn). Les trois événementsA∩B, A∩BetA∩Bétant deux à deux disjoints, on a, d’après 3. :

(∗) P(A∪B) =P((A∩B)∪(A∩B)∪(A∩B)) =P(A∩B) +P(A∩B) +P(A∩B).

Les événementsA∩B et A∩B sont disjoints et leur réunion est A(faire un diagramme de Venn). On a donc, d’après 2., P(A) = P(A∩B) +P(A∩B). On en déduit :

(∗∗) P(A∩B) =P(A)−P(A∩B).

De mˆeme, on montre :

(∗ ∗ ∗) P(A∩B) =P(B)−P(A∩B).

De (∗), (∗∗) et (∗ ∗ ∗), on d´eduit :

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

I Remarque

(11)

4. ESPACES DE PROBABILIT ÉS G ÉN ÉRAUX 11

On considère à nouveau l’espace de probabilités (Ω = [0,1],B, P) introduit dans l’exemple 10. On remarque, dans cet exemple, deux phénomènes que l’on n’a pas rencontrés dans le cas fini.

1. Sia∈ [0,1], alorsP({a}) = P([a, a]) =a−a = 0. Il existe donc des événements différents de l’ensemble vide et qui ont une probabilité nulle.

2. On aP(]0,1[) = 1−0 = 1, alors que ]0,1[ n’est pas ´egal `a Ω = [0,1].

Ceci conduit `a introduire deux d´efinitions nouvelles.

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités et soitAun événement.

1. Aest un événement négligeable siP(A) = 0.

2. Aest un événement presque sûr siP(A) = 1.

Définition 12 (événement négligeable et événement presque sûr)

I Remarque

SiAetB sont deux événements d’un espace de probabilités fini, on sait que pour calculerP(A∩B), on peut utiliser l’indépendance de AetB(quand cette propriété est satisfaite, ce qui n’est pas toujours le cas) ou plus généralement la notion de probabilité conditionnelle.

Ces deux notions s’étendent naturellement au cas d’un espace de probabilités général.

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilit´es.

1. Deux événementsAet B sont dits indépendants siP(A∩B) =P(A)×P(B).

2. Des événementsA1, A2, . . . , An sont dits deux à deux indépendants si :

∀i∈J1, nK ∀j∈J1, nK i6=j=⇒P(A_i∩A_j) =P(A_i)×P(A_j).

3. Des événementsA1, A2, . . . , Ansont dits mutuellement indépendants si pour tout sous-ensembleIdeJ1, nK on a :

P \

i∈I

A_i

!

=Y

i∈I

P(A_i).

D´efinition 13 (ind´ependance)

I Exemple 11 : Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. On explicite la condition d’indépendance mutuelle dans le cas de 4 événementsA1,A2,A3etA4. Les événementsA1,A2,A3etA4sont mutuellement indépendants si les propriétés suivantes sont satisfaites :

P(A1∩A2) =P(A1)×P(A2) P(A1∩A3) =P(A1)×P(A3) P(A1∩A4) =P(A1)×P(A4) P(A2∩A3) =P(A2)×P(A3) P(A2∩A4) =P(A2)×P(A4)

P(A3∩A4) =P(A3)×P(A4)

P(A1∩A2∩A3) =P(A1)×P(A2)×P(A3) P(A1∩A2∩A4) =P(A1)×P(A2)×P(A4) P(A₁∩A₃∩A₄) =P(A₁)×P(A₃)×P(A₄) P(A₂∩A₃∩A₄) =P(A₂)×P(A₃)×P(A₄) P(A₁∩A₂∩A₃∩A₄) =P(A₁)×P(A₂)×P(A₃)×P(A₄)

I Remarque

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. Si les événementsA1, A2, . . . , Ansont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à deux indépendants, mais la réciproque esten général fausse.

(12)

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. SoientAetB deux événements. SiAn’est pas négligeable(i.e.P(A)6=

0), alors la probabilité deB sachantA, notée P(B / A) ouPA(B), est définie par : P(B / A) =P(A∩B)

P(A) . La conditionP(A)6= 0 est impos´ee pour pouvoir diviser parP(A).

D´efinition 14 (probabilit´e conditionnelle)

5 Les th´ eor` emes fondamentaux

Les th´eor`emes fondamentaux :

• formule du crible ou de Poincar´e,

• formule des probabilit´es compos´ees,

• formule des probabilit´es totales,

• th´eor`eme de Bayes,

vus dans le cas d’un espace de probabilités fini, s’étendent au cas d’un espace de probabilités général. Les preuves ne sont pas rappelées, car elles sont analogues voire quasi identiques à celles données dans le cas fini. La seule nouveauté réside dans une extension de la formule des probabilités totales, dont une démonstration est proposée.

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. SoientA₁, A₂, . . . , A_n des événements. Alors on a :

P

n

[

i=1

Ai

!

=

n

X

k=1



(−1)^k−1 X

1≤i₁<i₂<...<i_k≤n

P(Ai₁∩Ai₂∩. . .∩Ai_k)



. Théorème 5 (formule de Poincaré)

I Exemple 12 :On explicite la formule de Poincaré pour une réunion de 4 événementsA1,A2,A3etA4d’un espace de probabilités (Ω,T, P).

P(A1∪A2∪A3∪A4) = P(A1) +P(A2) +P(A3) +P(A4)

− (P(A1∩A2) +P(A1∩A3) +P(A1∩A4) +P(A2∩A3) +P(A2∩A4) +P(A3∩A4)) + P(A1∩A2∩A3) +P(A1∩A2∩A4) +P(A1∩A3∩A4) +P(A2∩A3∩A4)

− P(A1∩A2∩A3∩A4)

On remarque la présentation du membre de droite en probabilités des événementsP(Ai), probabilités des intersections doubles, probabilités des intersections triples, et probabilité de l’intersection quadruple (correspondant aux différents termes d’indicesk de la somme

4

X

k=1

de la formule de Poincaré de l’encadré). On note également l’alternance des signes.

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. SoientA1, A2, . . . , An des événements tels queA1∩A2∩. . .∩A_n−1 n’est pas négligeable(i.e.P(A1∩A2∩. . .∩An−1)6= 0). Alors on a :

P(A1∩A2∩. . .∩An) =P(A1)×P(A2/ A1)×P(A3/ A1∩A2)×. . .×P(An/ A1∩A2∩. . .∩An−1).

Théorème 6 (formule des probabilités composées)

I Remarque

(13)

5. LES TH ´EOR `EMES FONDAMENTAUX 13

Dans le théorème précédent, toutes les probabilités conditionnelles sont bien définies. En effet, commeP(A₁∩A₂∩. . .∩An−1)6= 0, on a : P(A₁)6= 0 (A₁∩A₂∩. . .∩An−1⊂A₁et propriété 5 du théorème 4)

P(A₁∩A₂)6= 0 (A₁∩A₂∩. . .∩An−1⊂A₁∩A₂et propriété 5 du théorème 4) ..

.

P(A1∩A2∩. . .∩An−2)6= 0 (A1∩A2∩. . .∩An−1⊂A1∩A2∩. . .∩An−2et propriété 5 du théorème 4)

I Exemple 13 : On explicite la formule des probabilités composées pour une intersection de 4 événements A1,A2,A3 etA4d’un espace de probabilités (Ω,T, P).

P(A1∩A2∩A3∩A4) =P(A1)×P(A2/ A1)×P(A3/ A1∩A2)×P(A4/ A1∩A2∩A3)

I Remarque

Cette formule des probabilités composées peut être appliquée pour rédiger soigneusement ce que l’onvoit sur un arbre de probabilités.

Soit (Ω,T) un espace probabilisable.

1. Une partition finie de (Ω,T) est une famille (A1, . . . , An) d’´ev´enements telle que :

• les événements A1, . . . , An sont deux à deux disjoints,

• la réunion des événementsA1,. . .,An est égale à Ω, i.e. :

n

[

i=1

Ai= Ω.

2. Une partition dénombrable de (Ω,T) est une suite (An)_n∈Nd’événements telle que :

• les événements A1,. . .,An,. . .sont deux à deux disjoints,

• la réunion des événementsA1,. . .,An,. . . est égale à Ω, i.e. : [

n∈N

An= Ω.

D´efinition 15 (partition finie et partition d´enombrable d’un espace probabilisable)

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilit´es.

1. Soit A un événement qui n’est ni négligeable, ni presque sûr (i.e. P(A)6= 0 et P(A) 6= 1). (On a ainsi P(A) = 1−P(A)6= 0 ;An’est donc pas négligeable.) Alors pour tout événement B, on a :

P(B) =P(B / A)×P(A) +P(B / A)×P(A).

2. Soit (A₁, . . . , A_n) une partition finie de (Ω,T) telle que :

∀i∈J1, nK P(Ai)6= 0.

Alors pour tout ´ev´enementB, on a :

P(B) =

n

X

i=1

P(B / Ai)×P(Ai).

3. Soit (A_n)_n∈_N une partition d´enombrable de (Ω,T) telle que :

∀n∈N P(A_n)6= 0.

Alors pour tout événementB, la série de terme généralP(B / An)×P(An) converge et on a :

P(B) =

+∞

X

n=0

P(B / An)×P(An).

Théorème 7 (formules des probabilités totales)

Preuve

(14)

La démonstration des propriétés 1. et 2. est analogue à celle connue dans le cas fini. Nous ne donnons de preuve que pour la troisième propriété.

Soit (An)n∈Nune partition finie de (Ω,T) telle que :∀n∈N P(An)6= 0.Pour toutn∈N, soitBnl’événement défini par : Bn=B∩An.

Alors (B_n)_n∈Nest une suite d’événements deux à deux disjoints. En effet, sinetmsont deux entiers naturels distincts, alors : B_n∩B_m= (B∩A_n)∩(B∩A_m) =B∩(A_n∩A_m

| {z } )

∅

=∅.

La propriété An∩Am = ∅vient du fait que les événements (An)n∈N sont deux à deux disjoints, d’après la définition d’une partition dénombrable.

D’après la définition d’un espace de probabilités, la série de terme généralP(Bn) converge et on a :

P



 [

n∈N

B_n



=

+∞

X

n=0

P(B_n).

Comme pout toutn ∈N,P(Bn) =P(B∩An) =P(B / An)×P(An) (on peut introduire la probabilité conditionnelleP(B / An) car P(An)6= 0), on en déduit que la série de terme généralP(B / An)×P(An) converge et que :

(∗) P



 [

n∈N

B_n



=

+∞

X

n=0

P(B / A_n)×P(A_n).

Or on a :

(∗∗) [

n∈N

Bn= [

n∈N

B∩An=B∩



 [

n∈N

An





| {z }

Ω

=B.

La propri´et´e [

n∈N

A_n= Ω est cons´equence du fait que (A_n)_n∈Nest une partition d´enombrable.

De (∗) et (∗∗), on d´eduit que :

P(B) =

+∞

X

n=0

P(B / An)×P(An).

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. Soient A et B deux événements non négligeables (i.e. P(A 6= 0) et P(B 6= 0)). Alors on a :

P(A / B) = P(B / A)×P(A) P(B) . Théorème 8 (théorème de Bayes)

I Remarque

En appliquant une des trois formules des probabilités totales au dénominateurP(B) de la fraction apparaissant dans le théorème de Bayes, on obtient de nouvelles versions de ce théorème, pour des événementsAintervenant dans la formule des probabilités totales considérée.

Une application typique du th´eor`eme de Bayes est lerenversement du conditionnement, i.e. le calcul deP(A / B) connaissant la valeur deP(B / A) (ainsi que les valeurs deP(A) etP(B)).

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilités. Soit A un événement qui n’est ni négligeable, ni presque sûr (i.e.

P(A)6= 0 etP(A)6= 1). Alors pour tout événementB non négligeable (i.e.P(B)6= 0), on a : P(A / B) = P(B / A)×P(A)

P(B / A)×P(A) +P(B / A)×P(A).

Théorème 9 (théorème de Bayes et première formule des probabilités totales)

(15)

6. ESPACES DE PROBABILIT ´ES PRODUITS 15

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilit´es. Soit (A1, . . . , An) une partition finie de (Ω,T) telle que :

∀i∈J1, nK P(Ai)6= 0.

Alors pour tout événementB non négligeable (i.e.P(B)6= 0), on a :

∀i∈J1, nK P(Ai/ B) = P(B / Ai)×P(Ai)

n

X

j=1

P(B / Aj)×P(Aj) .

Théorème 10 (théorème de Bayes et deuxième formule des probabilités totales)

Soit (Ω,T, P) un espace de probabilit´es. Soit (A_n)_n∈_Nune partition d´enombrable de (Ω,T) telle que :

∀n∈N P(A_n)6= 0.

Alors pour tout événementB non négligeable (i.e.P(B)6= 0), on a :

∀n∈N P(An/ B) = P(B / An)×P(An)

+∞

X

k=0

P(B / Ak)×P(Ak) .

Théorème 11 (théorème de Bayes et troisième formule des probabilités totales)

6 Espaces de probabilit´ es produits

Nous admettrons le théorème suivant, utile par exemple pour modéliser des épreuves répétées.

Soient (Ω1,P(Ω1), P1) et (Ω2,P(Ω2), P2) deux espaces de probabilit´es finis. Alors il existe une unique probabilit´e P sur l’espace probabilisable (Ω1×Ω2,P(Ω1×Ω2)) telle que :

∀A1∈ P(Ω1) ∀A2∈ P(Ω2) P(A1×A2) =P1(A1)×P2(A2).

Cette probabilitéP est appelée probabilité produit deP₁ et P₂. Théorème 12 (espace de probabilités produit)

I Remarque

Ce théorème admet une généralisation au cas où l’on anespaces de probabilités finis (Ω₁,P(Ω₁), P₁), . . . ,(Ω_n,P(Ω_n), P_n), oùn≥2 est un entier quelconque. Alors il existe une unique probabilitéPsur l’espace probabilisable (Ω₁×. . .×Ω_n,P(Ω₁×. . .×Ω_n)) telle que :

∀A1∈ P(Ω1) . . . ∀An∈ P(Ωn) P(A1×. . .×An) =P1(A1)×. . .×Pn(An).

Cette probabilitéPest appelée probabilité produit desP1, . . . , Pn.

I Exemple 14 :On considère le jeu dePile ouFace. On dispose d’une pièce de monnaie que l’on lancenfois de suite. On suppose que les résultats des différents lancers sont indépendants.

On notep∈[0,1] la probabilité d’obtenirPile lors d’un lancer. Un lancer sera alors modélisé par l’espace de probabilité (Ω ={Pile,Face},P(Ω), P) oùP est la probabilité définie par :

P:{Pile,Face} → [0,1]

Pile 7→ p

Face 7→ 1−p .

La suite desnlancers sera modélisée par l’espace de probabilités (Ωⁿ,P(Ωⁿ), Q), oùQest la probabilité produit

(16)

deP, . . . , P

| {z }

nfois

.

Par exemple, la probabilité de l’événementon obtientnPile sera : Q({Pile} ×. . .× {Pile}

| {z }

ntermes

) =P({Pile})×. . .×P({Pile})

| {z }

ntermes

=P({Pile})ⁿ=pⁿ

et la probabilité de l’événement on obtientkPile puisn−k Face (0≤k≤n) sera : Q({Pile} ×. . .× {Pile}

| {z }

ktermes

× {Face} ×. . .× {Face}

| {z }

n−ktermes

)

= P({Pile})×. . .×P({Pile})

| {z }

ktermes

×P({Face})×. . .×P({Face})

| {z }

n−ktermes

= P({Pile})^k×P({Face})^n−k

= p^k(1−p)^n−k.