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Les trois éléments de la famille appartiennent à , car ils vérifient la relation , et ils forment une famille génératrice de , car

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1 esc 2008 option économique corrigé rapide exercice 1

1. (a) 2 1 1 1

1 1 1

2 0 0

     ;    2 0 0 0

2 2 2

2 2 2

     ;     2  

(b) 2 , le polynôme 2 est donc un polynôme anulateur pour la matrice  ; Ce polynôme a pour unique racine 2, donc 2 est la seule valeur propre possible pour . Or 2 est bien valeur propre de , car

2 0   0

1 1

 ,

Le sous-espace propre associé à la valeur propre 2 a donc pour base 0 1 1

, et pour dimension 1.

2. Les opérations élémentaires successives  ,    ,     aboutissent à la matrice triangulaire

4 0

0 2 1

0 0 1 qui est inversible ssi tous les termes de la diagonale sont non nuls, d’où la conclusion : est inversible ssi 1 ;

3. (a) 2   3 1 1

1 1 1

2 0 2

1 0

2 0 2

2 2

2

3 4

1 2

2 2

  1

donc 1 , 1 , 1 .

(b) En fait, , qui est inversible, car 1 1… Il en résulte que est une base de , d’après la théorie du changement de base.

(c) 2 car appartient au sous-espace propre associé à la valeur propre 2.

3 1 1

1 1 1

2 0 2

2 0 2

4 4 8

0 4 4

2 2 0 2

, donc 2 .

2 .

Par définition de la matrice associée à un endomorphisme dans une base, on obtient donc : 2 1 0

0 2 1 0 0 2

2

D’après la théorie du changement de base : .

4. (a) La matrice associée à dans la base est , la matrice associée à est . Par conséquent

2 2 2 2  

   (b)

0 0 0

0 0 0

0 ,  ,

0 , ,

0 , 0 0

0 0 (c)

0 0 1 0 0 0 0 0 0

, donc

  2  2 

Donc Vect , 2  , 2  

car 2 , donc 2 , donc est la matrice de 2  dans la base , et est la matrice de 2  dans cette même base.

(c) 0 0 0, donc la famille , , est libre. Cela se

traduit en termes d’endomorphismes : la famille , 2  , 2   est libre. Comme elle est une famille génératrice de , on peut dire que est de dimension 3 ( est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel

, d’ailleurs…).

(2)

2

Les trois éléments de la famille appartiennent à , car ils vérifient la relation , et ils forment une famille génératrice de , car

  2  2 

2 4 2 4

Comme est de dimension 3, il en résulte que est une base de . exercice 2

1. (a) Si , , alors admet pour densité la fonction telle que

e .

avec 0 et , on obtient l’expression de donnée.

(b) Pour tout , , donc est paire.

(c) les points d’inflexion de la courbe représentative de ont pour abscisses

0 1

2   ;    0 1 2

(C’est beau…)

(d) est paire, donc sa représentation graphique est symétrique pas rapport à l’axe des ordonnées, et

donc P 0 d d P 0

Et comme l’intégrale de sur tout vaut 1, on en conclut que P 0 P 0 .

2. (a) Même principe que la question précédente : la densité de la loi normale centrée réduite est une fonction paire, donc Φ 0 d . La relation de Chasles permet alors d’écrire, pour tout

: Φ e d .

(b) est une fonction continue sur , donc Φ est de classe C1 sur , et  Φ …

(c) De façon générale, , 0, 1 . Ici, 0, , donc

√ 0, 1 . On obtient donc :

P 0 1

√ P 0 √ 1 Φ 1 Φ 0 0,3

car Φ 1 0,8 et Φ 0 .

(3)

3 3. (a) En fait il n’y a aucune forme indéterminée : lim e 0    ;     lim Φ 1

2    ;     donc     lim 0 lim e ∞    ;     lim Φ 1

2    ;     donc     lim ∞ lim e 1    ;     lim Φ 1    ;     donc     lim 1   lim e 1    ;     lim Φ 0    ;     donc     lim 0  

(b) est le produit de deux fonctions de classe C1 sur , donc est de classe C1 sur . lim 0 et  0 0, donc est continue à droite en 0.

(c) Pour tout 0, et pour tout 0 d’ailleurs, on a

1  Φ e Φ 1

 Φ e 1

√2 e                1

e   Φ 1

√2 e        

Avec , on a  e e . lim ∞ et lim e 0, donc

lim 1

e 0

Il en résulte : lim 0. Comme est continue à droite en 0 et continue sur 0, ∞, on obtient alors, en utilisant le théorème sur le prolongment de la dérivée, que est dérivable à droite en 0, et 0 0. (On aurait pu établir plus simplement ce résultat en étudiant la limite de

quand 0).

(d) Il est clair que pour tout 0, est positif, donc est strictement croissant sur chacun des intervalles ∞, 0 , 0 , ∞ .

Pas mal non plus…

exercice 3 partie A

1. Dans tous les cas, les joueurs et répêtent des épreuves identiques et indépendantes jusqu’à l’obtention du premier succès, la probabilité du succès étant pour le joueur et pour le joueur . Par conséquent :

Ω Ω  ;      ,   P 2

3 1

3  ,    P 1

1

(4)

4

E 3  ;    E 1

    ;    V

23 13

6   ;    V 1

2. (a) E E E E (linéarité de l’espérance). Donc

E 3 1 1 3

Même si et sont indépendantes, V n’est pas égal à V V ! Mais

V V V car et sont indépendantes, donc toute fonction de

est indépendante de toute fonction de .

V V V (formule V V ).

V 1

6 6 1

(b) avec 1 :

P P 2

3 1

3   2

3 3

2

3 3

       3

2

3 3

1

1 2

3 3 2 3 2 1 1 2

0

Par incompatibilité des événements, puis indépendance de et , on en déduit

P Z 0 p

1 2p

(c) Pour tout , on a :

Toujours pas incompatibilité, puis indépendance, on obtient alors :

P P P 2

3 1

3   2

3 3

       2

3 3 1 2

0  , d où, par incompatibilité

P 0 P

1 2  

1 2   1

1 1

1 2

1 1

       

1 2

1 1

1 2

est une somme de deux variables alaéatoires, c’est donc une variable aléatoire. prend ses valeurs dans , donc

P Z 0 1 P 0 P 0 1

1 2

1

1 2

2

1 2

0 : personne ne gagne ; 0 : gagne ; 0 : gagne.

(5)

5 partie B

1. Hum, le type de variable « caractère » (« char » en langage pascal) n’est pas (n’est plus) au programme…

function lancer(p :real) :integer ; var A, B :char;

begin

if (random <= 1/3) then A:=’P’ else A:=’F’;

{A lance sa pièce. La probabilité de l’événement random<=1/3 est 1/3}

if (random <=p) then B:=’P’ else B:=’F’;

{même principe pour B}

if (A=B) then lancer:=0 else lancer:=1;

end;

2. Avec des notations évidentes :

P "lancers différents" P P P P P

        1

3 1 2

3 1

3

3. est une somme de variables de Bernouli indépendantes et de même loi : 1ssi les pièces n’affichent pas le même résultat, probabilité . Donc , .

Détail :

Ω   0 ,  ;  0 , , P 1

3

2

3 .

4. 1 est fonction uniquement de et des éléments de l’échantillon , il a droit au titre d’estimateur de inconnu. D’après la linéarité de l’espérance :

E 3

1 3

E 1 3 1

3 1 1 1

L’estimateur est donc sans biais. Étant sans biais, son risque quadratique est égal à sa variance, soit, en

utilisant la formule V V :

r 3

1 9

V 9 1

3 2

3

1 2

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