Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes 1.

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes

1.

^(Emo01)

Calculer le rang des matrices A et B de M n (K) dénies par a ij = cos(i + j − 2) , b ij = i + j + ij . 2.

^(Emo02)

En discutant selon les paramètres, calculer le rang

des matrices suivantes :





m − 1 0

− 2 m − 2 0 − 1 m











1 a 1 b a 1 b 1 1 b 1 a b 1 a 1







Pour la deuxième matrice, on présentera le résultat dans le plan des a, b .

3.

^(Emo03)

Étudier l'inversibilité et calculer l'inverse si possible pour les matrices suivantes :

a. (a 1 , · · · , a n ) ∈ R ^∗n







1 + a ₁ 1 · · · 1

1 ... ...

... ... 1

1 · · · 1 1 + a n







b. (α, β, γ) ∈ R ³





α − β − γ 2α 2α

2β β − α − γ 2β

2γ 2γ γ − α − β



 Considérer

U =



 α β γ



 , V =



 1 1 1



 , T = U ^t V.

Calculer T ² et chercher la matrice inverse comme combinaison linéaire de T et I ₃ .

4.

^(Emo04)

Donner une base du sous espace vectoriel de R ⁵ déni par les équations







x 1 + 2x 2 − x 3 + 3x 4 + x 5 = 0 x 2 + x 3 − 2x 4 + 2x 5 = 0 2x 1 + x 2 − 5x 3 − 4x 5 = 0 5.

^(Emo05)

Passage du paramétrique au cartésien.

Déterminer un système d'équations (indépendantes) du sous espace vectoriel de R ⁴ engendré par les vecteurs

(1, 0, 1, 0), (2, 1, 0, 1), (0, 1, − 3, − 2), (1, 0, 2, 3) 6.

^(Emo06)

Calculer les inverses des matrices complexes ou

réelles par la méthode de Gauss (algorithme I'), vérier à la machine





1 + i − 1 2i

i 0 1

1 i 1



 ,





1 j 0

0 j ² 1 j 0 j ²









1 2 3 0 1 2 0 0 1



 ,





1 2 3

− 2 − 4 − 5

3 7 10



 ,





− 5 − 2 3

− 2 − 1 1

2 2 1





7.

^(Emo07)

Décomposition LU .

Soit A ∈ M m (K) . On suppose que l'algorithme du pivot partiel (I) conduit à une matrice triangulaire supérieure avec des termes non nuls sur la diagonale sans qu'il soit nécessaire de permuter les lignes. (Voir l'exercice 25 sur cette condition.)

Montrer qu'il existe une matrice triangulaire inférieure L et une matrice triangulaire supérieure U telles que A = LU . Expliciter L et U pour

A =





5 2 1

5 − 6 2

− 4 2 1



 . 8.

^(Emo08)

Soit A ∈ M p,q ( R ) , montrer que

rg( ^t AA) = rg(A) On pourra montrer que

∀ X ∈ M q,1 ( R ) : ^t AAX = 0 _M

_q,1

₍ _R ₎ ⇒ AX = 0 _M

_p,1

₍ _R ₎ 9.

^(Emo09)

On considère trois vecteurs dans E = R ³ :

u ₁ = (1, − 1, − 1), u ₂ = (2, − 1, 1), u ₃ = (1, 0, 2) La famille (u 1 , u 2 , u 3 ) est-elle libre ou liée ? Si elle est liée, former une relation linéaire entre ses vecteurs. Don- ner une dénition cartésienne de Vect(u ₁ , u ₂ , u ₃ ) . 10.

^(Emo10)

On considère des vecteurs a m , b m , c m , d m dans

E = R ⁴ qui dépendent d'un paramètre m ∈ R et les sous-espaces vectoriels qu'ils engendrent.

a m = (m, 1, 0, m), b m = (0, m, 2m + 2, 0) c _m = (1, 0, m, 0), d _m = (2m, 0, 1, m) V m = Vect(a m , b m ), W m = Vect(c m , d m ) Discuter selon m de la dimension des sous-espaces vectoriels V m , W m , V m ∩ W m et en donner dans chaque cas signicatif une base.

11.

^(Emo11)

Montrer que, dans R ³ , les vecteurs (2, 3, − 1) et (1, − 1, − 2) engendrent le même sous espace vectoriel que (3, 7, 0) et (5, 0, − 7) .

12.

^(Emo12)

Montrer qu'une matrice à p lignes et colonnes est de rang 1 si et seulement si elle est de la forme CL où C est une colonne et L une ligne (non nulles).

13.

^(Emo13)

On dénit une matrice A ∈ M n (K) par

a i,j =



 

 

i si i = j 1 si i > j 0 si i < j

Montrer que A est inversible et calculer A ⁻¹ . 14.

^(Emo14)

Familles de formes linéaires

Soit E un K -espace vectoriel de dimension q muni d'une base B = (b 1 , · · · , b q ) , soit B ^∗ = (β 1 , · · · , β q ) la base de E ^∗ constituée des fonctions coordonnées dans B (base duale).

Soit (ϕ ₁ , ϕ ₂ , · · · ϕ _p ) une famille de formes linéaires sur E et C la base canonique de K ^p . On note

A = M at

B (ϕ 1 , ϕ 2 , · · · ϕ p )

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes

Il s'agit de la matrice d'une famille de formes linéaires dans une base de E .

On dénit φ ∈ L (E, K ^p ) par :

φ(x) = (ϕ 1 (x), ϕ 2 (x), · · · , ϕ p (x)) a. Exprimer

Mat B,C φ, Mat

B

^∗

(ϕ 1 , · · · , ϕ p )

en fonction de A . Pour la deuxième, il s'agit de la matrice d'une famille de vecteurs de E ^∗ dans une base de E ^∗ .

b. Montrer que rgφ = rg(ϕ ₁ , · · · ϕ _p ) . En déduire dim(ker ϕ 1 ∩ · · · ∩ ker ϕ p ) = q − rg(ϕ 1 , · · · ϕ p ) c. Montrer que (ϕ 1 , · · · ϕ p ) est libre si et seulement si

φ est surjective. Lorsque φ est surjective, montrer l'existence d'une famille (u ₁ , · · · , u _p ) de vecteurs de E tels que ϕ _i (u _j ) = δ _ij . Montrer que (u ₁ , · · · , u _p ) est libre et que

ker ϕ 1 ∩ · · · ∩ ker ϕ p ⊕ Vect (u 1 , · · · , u p ) = E d. Soit (ϕ 1 , · · · ϕ p ) libre et ϕ ∈ E ^∗ tel que

ker ϕ ₁ ∩ · · · ∩ ker ϕ _p ⊂ ker ϕ Montrer que

ϕ = ϕ(u ₁ )ϕ ₁ + · · · + ϕ(u _p )ϕ _p En déduire que ϕ ∈Vect (ϕ 1 , · · · ϕ p ) .

Les nombres λ 1 ,· · · , λ p tels que ϕ = λ 1 ϕ 1 + · · · + λ p ϕ p sont appelés les multiplicateurs de Lagrange.

e. Base antéduale.

Soit (ϕ 1 , · · · ϕ q ) une base de E ^∗ , montrer l'existence d'une base (f 1 , · · · , f q ) de E telle que (ϕ 1 , · · · ϕ q ) soit la base duale de (f 1 , · · · , f q ) .

15.

^(Emo15)

Dans R ⁴ muni de sa base canonique C. On dénit des formes linéaires α et β

α((x, y, z, t)) = x + y + z + t β ((x, y, z, t)) = x − y + 2z − t

Former la matrice dans la base canonique (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) de la projection sur Vect(e 3 , e 4 ) parallelement à ker α ∩ ker β .

16.

^(Emo16)

Dans K ⁴ , on considère les vecteurs

a = (1, 2, 3, 4), b = (2, 2, 2, 6), c = (0, 2, 4, 4), d = (1, 0, − 1, 2), e = (2, 3, 0, 1) On pose U = Vect(a, b, c) et V = Vect(d, e) . Calculer les dimensions de U , V , U ∩ V , U + V et donner une base de chacun d'entre eux.

17.

^(Emo17)

Diagonalisation.

En discutant du rang de A − λI 3 avec

A =





− 2 − 1 0

− 1 0 1

0 1 2



 ,

trouver les scalaires λ tels que A − λI 3 soit non inversible.

Pour ces valeurs, résoudre l'équation AX = λX où X est une colonne. Préciser une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que

A = P D P ⁻¹ . Même question avec







0 1 1 1

1 0 − 1 − 1 1 − 1 0 − 1 1 − 1 − 1 0





 ,





1 2 3 1 2 3 1 2 3





18.

^(Emo18)

On considère une matrice par blocs M =

A B 0 C

où A et C sont des matrices carrées et 0 désigne une matrice nulle. Montrer que

rg M ≥ rg A + rg C.

19.

^(Emo19)

Soit m ∈ R et f m ∈ L ( R ⁵ , R ⁴ ) dont la matrice dans les bases canoniques est







1 − 3 1 − 2 1 0 1 − 1 − 1 1

0 0 1 − 1 0

0 0 1 0 − m







Déterminer l'image et le noyau de f _m par une base et des équations.

20.

^(Emo20)

Montrer que tout hyperplan de M p (K) contient au moins une matrice inversible. On pourra utiliser (exercice mm18) le résultat suivant :

Pour toute forme linéaire ϕ sur M p (K) , il existe une unique matrice A telle que

∀ M ∈ M p (K), ϕ(M ) = tr(AM ).

21.

^(Emo21)

Soient A et C des matrices données, on cherche à calculer B vériant B C = A .

a. On se donne

A =





2 3 − 2 4 − 1 − 2

0 1 0



 C =





1 2 − 1

2 − 1 − 1

− 1 2 0



 b. Soit k est un paramètre réel, on se donne

A =





− 2 1 1 8 1 − 5

4 3 k



 C =





1 2 − 1

2 − 1 − 1

− 5 0 3



 Est-ce possible pour tout k ?

22.

^(Emo22)

Soit a ∈ R, en utilisant les trois méthodes propo- sées par le cours, calculer la matrice inverse de







1 − a 0 0

0 1 − a 0

0 0 1 − a

0 0 0 1







(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes

23.

^(Emo23)

Former un système d'équations du sous-espace V de R ⁴ engendré par les vecteurs

(7, 4, − 2, − 1), (3, 2, 0, 1), (5, 2, 4, 7), (1, 0, 2, 3) 24.

^(Emo24)

On considère une matrice A à laquelle on adjoint

une colonne de y _i







1 − 3 − 5 2 y ₁ 2 5 12 − 7 y 2

− 1 1 1 0 y 3

− 2 4 6 − 2 y 4





 .

En transformant cette matrice par la méthode du pivot partiel, préciser le rang de A , une base de Im A et des équations pour Im A et ker A .

25.

^(Emo25)

Soit A ∈ M m (K) . Les matrices extraites principales de A sont les matrices extraites A r = A

J 1,r KJ 1,r K

pour r ∈ J 1, m K.

Montrer que A vérie la condition assurant l'existence d'une décomposition LU (exercice 7) si et seulement si les matrices extraites principales sont inversibles.

26.

^(Emo26)

Soit n ≥ 2 naturel. Pour tout λ ∈ R et k ∈ J 2, n K, on pose

T k (λ) = I n + λ E k−1,k (n).

Quel est l'eet de la multiplication à gauche par T k (λ) ? Pour (λ ₁ , · · · , λ _n ) ∈ R ⁿ , préciser la matrice

T ₁ (λ ₁ ) · · · T _k (λ _k ).

Soit (x ₁ , · · · , x _n ) ∈ R ⁿ et V ∈ M n ( R ) dénie par

∀ (i, j) ∈ J 1, n K

2 , v ij = x ⁱ⁻¹ _j . À quoi ressemble la matrice V ? Préciser

T ₁ ( − x ₁ ) · · · T _k ( − x _k )V.

27.

^(Emo27)

Soit A = (a 1 , · · · , a p ) et B = (b 1 , · · · , b p ) deux bases d'un K -espace vectoriel E . Soit (α 1 , · · · , α p ) (resp (β 1 , · · · , β p ) ) la base duale des formes coordonnées dans A (resp dans B).

a. Pour tout (i, j) ∈ J 1, p K

2 , exprimer les termes (i, j) de P AB et de P BA avec ces formes coordonnées.

b. Pour tout λ 6 = 0 , on note

B λ = (b 1 , · · · , b p−1 , λb p ).

Comment P AB

_λ

est-elle obtenue à partir de P AB ?

c. Comment P B

_λ

A est-elle obtenue à partir de P BA ?

Donner trois argumentations : avec les formes coor-

données, avec une composition d'endomorphismes,

avec des opérations élémentaires.

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes : corrigés

1. pas de correction pour Emo01.tex

2.

^(Cmo02)

Pour la première matrice, on applique l'algorithme I dans un contexte formel avec un paramètre m . Pour ne pas introduire de cas particulier inutile, m ne doit pas gurer dans les valeurs pivots. On forme la liste des matrices transformées





m − 1 0

− 2 m − 2 0 − 1 m



 →





− 2 m − 2 m − 1 0

0 − 1 m





→





− 2 m − 2 0 − 1 + ^m ₂

²

− m

0 − 1 m





→





− 2 m − 2

0 − 1 m

0 − 1 + ^m ₂

²

− m



 →





− 2 m − 2

0 − 1 m

0 0 P(m)



 avec P (m) = − m +

− 1 + m ² 2

m = 1

2 m(m ² − 4).

Le rang est 3 sauf si m ∈ {− 2, 0, 2 }.

Si m = − 2 la matrice est équivalente à





− 2 − 2 − 2 0 − 1 − 2

0 0 0



 de rang 2.

Dans les deux autres cas, les deux premières colonnes forment une famille libre le rang est encore 2.

Pour la deuxième matrice, on fait des opérations élémen- taires qui conservent le rang







2 + a + b a 1 b 2 + a + b 1 b 1 2 + a + b b 1 a 2 + a + b 1 a 1







C ₁ ← C ₁ + C ₂ + C ₃ + C ₄

→







2 + a + b a 1 b

0 1 − a b − 1 1 − b

0 b − a 0 a − b

0 1 − a a − 1 1 − b







L i ← L i − L 1

→







2 + a + b a 1 b

0 1 − a b − 1 1 − b 0 b − a 0 a − b

0 0 a − b 0







L 4 ← L 4 − L 2

→







2 + a + b a + b 1 b 0 2 − a − b b − 1 1 − b

0 0 0 a − b

0 0 a − b 0





 C 2 ← C 2 + C 4

→







2 + a + b a + b b 1 0 2 − a − b 1 − b b − 1

0 0 a − b 0

0 0 0 a − b





 C 2 ↔ C 3

Sous cette forme il est clair que le rang est 4 sauf si une ou plusieurs des conditions suivantes sont vériées



 

 

2 + a + b = 0 2 − a − b = 0 a − b = 0

Ces conditions traduisent dans le plan R ² l'appartenance du point (a, b) à certaine droites.

b

a

a = b a + b = −2

a + b = 2 rg = 3

rg = 2

rg = 1

Fig. 1 Ex 2 (Emo02) Rangs dans R ² . 3.

^(Cmo03)

a. Notons A la matrice à étudier, C 1 , · · · , C n ses colonnes et X 1 , · · · X n les colonnes canoniques. On introduit la colonne C qui ne contient que des 1.

On va essayer d'exprimer les X i en fonction des C i . Remarquons que

C = X ₁ + · · · + X _n On peut écrire

∀ i ∈ J 1, n K , C i = C + a i X i ⇒ X i = 1 a i

C i − 1 a i

C En sommant, on obtient

C =

n

X

i=1

1 a i

C i

!

− sC où s =

n

X

i=1

1 a i

.

s = − 1 ⇒ P n i=1

1 a

_i

C i = 0 . La famille des C i est liée, A n'est pas inversible.

s 6 = − 1 ⇒ C combinaison des C i ⇒ les X j com- binaisons des C i ⇒ (C 1 , · · · , C n ) génératrice ⇒ base ⇒ A inversible.

Calculons A ⁻¹ dans ce cas. Notons α = 1 + s . C =

n

X

i=1

1 αa _i C _i ⇒ X _i = −

n

X

j=1

1 αa _i a _j C _j + 1 a _i C _i Ceci donne la j -ème colonne de A ⁻¹ qui s'écrit







1 a

1

0 · · · 0

0 ... ...

... 0 0 ... 0 _a ¹

n







− 1 α







1 a

1

a

1

· · · _a

₁

¹ _a

_n

... ...

1 a

n

a

1

· · · _a

_n

¹ _a

_n





 .

b. Notons M la matrice à étudier, T est la matrice de rang 1 dont les trois colonnes sont U . De plus

M = 2T − (α + β + γ)I ₃ .

Si α +β +γ = 0 , alors M = 2T n'est pas inversible.

Si α + β + γ 6 = 0 , multiplions la relation par T :

M T = 2T ² − (α + β + γ)I,

(5)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes : corrigés

puis calculons T ² :

t V U = α + β + γ (matricette)

⇒ T ² = U ^t V U t V = (α + β + γ)T

⇒ M T = (α + β + γ)T.

Notons s = α + β + γ 6 = 0 . M = 2T − sI 3 × − s M T = sT × 2

)

⇒ M ( − sI 3 + 2T ) = s ² I 3

⇒ M ⁻¹ = − 1 s I 3 + 2

s ² T.

4. pas de correction pour Emo04.tex 5. pas de correction pour Emo05.tex

6.

^(Cmo06)

Après calculs, on trouve les matrices inverses suivantes

1 2





1 − i − i

1 + i 1 + i 1 − 3i

− i 1 − 1



 ,





− j 1 − j

− j − j ² 1 1 − j ² − j ²



 ,





1 − 2 1 0 1 − 2

0 0 1



 ,





5 − 1 − 2

− 5 − 1 1

2 1 0



 ,





− 3 8 1 4 − 11 − 1

− 2 6 1



 Détail du calcul pour la dernière





− 5 − 2 3 1 0 0

− 2 − 1 1 0 1 0

2 2 1 0 0 1









1 4 6 1 0 3

− 2 − 1 1 0 1 0

2 2 1 0 0 1



 L ₁ ← L ₁ + 3L ₃





1 4 6 1 0 3

0 7 13 2 1 6

0 − 6 − 11 − 2 0 − 5





L 2 ← L 2 + 2L 1

L 3 ← L 3 − 2L 1





1 4 6 1 0 3

0 1 2 0 1 1

0 − 6 − 11 − 2 0 − 5



 L 2 ← L 2 + L 3





1 0 − 2 1 − 4 − 1

0 1 2 0 1 1

0 0 1 − 2 6 1





L 1 ← L 1 − 4L 2

L 3 ← L 3 + 6L 2





1 0 0 − 3 8 1

0 1 0 4 − 11 − 1

0 0 1 − 2 6 1





L 1 ← L 1 + 2L 3

L ₂ ← L ₂ − 2L ₃ 7.

^(Cmo07)

On suppose que l'algorithme du pivot partiel ne

nécessite pas de permutations de lignes. Il procède donc de haut en bas. Pour chaque i entre 1 et p la ligne i permet de nettoyer la colonne i des lignes i + 1 à p . Ces opérations se font avec des matrices élémentaires triangulaires inférieures.

Il existe donc des matrices élémentaires triangulaires in- férieures P 1 , · · · , P s telles que

P s · · · P 1 A = U ⇒ A = L U avec U triangulaire supérieure et

L = (P s · · · P 1 ) ⁻¹ triangulaire inférieure.

Comment calculer L sans avoir à stocker les matrices élémentaires P _i ?

En remarquant que

L = I P ₁ ⁻¹ · · · P _s ⁻¹

ce qui permet, à partir de I _p d'opérer sur les colonnes avec l'inverse de la matrice élémentaire.

Pour l'exemple de

A =





5 2 1

5 − 6 2

− 4 2 1



 . présentons en parallèle les opérations codées

L ₂ ← L ₂ − L ₁ C ₁ ← C ₁ + C ₂ L ₃ ← L ₃ + 4

5 L ₁ C ₁ ← C ₁ − 4 5 C ₃ L ₃ ← L ₃ + 9

20 L ₂ C ₂ ← C ₂ − 9 20 C ₃ On obtient après calculs :

L =





1 0 0

1 1 0

− ⁴ ₅ − ₂₀ ⁹ 1



 , U =





5 2 1

0 − 8 1 0 0 ⁹ ₄



 . 8.

^(Cmo08)

Commençons par montrer l'implication suggérée

t AAX = 0 _M

_q,1

₍ _R ₎ ⇒ ^t X ^t AAX = 0 _R

⇒ ^t (AX) AX = 0 _R

⇒ y ₁ ² + · · · + y ² _p = 0 avec AX =





 y 1

...

y p





 On en déduit ker( ^t AA) ⊂ ker(A) .

L'inclusion réciproque étant évidente, les noyaux sont égaux. On conclut en utilisant la version matricielle du théorème du rang : le rang d'une matrice est égale à son nombre de colonne mois la dimension de son noyau.

9. pas de correction pour Emo09.tex

10.

(Cmo10)

On eectue des calculs de rang de familles de vecteurs.

On trouve que, pour tout m , le rang de (a m , b m ) est 2 . On en déduit que pour tout m , dim(V m ) = 2 et (a m , b m ) base de V m .

On trouve que, pour tout m , le rang de (c m , d m ) est 2 . On en déduit que pour tout m , dim(W m ) = 2 et (c m , d m ) base de W m .

Le calcul du rang de la famille (a m , b m , c m , d m ) est

4 si m n'est pas égal à 0 ou − 1

(6)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes : corrigés

3 si m est égal à 0 ou − 1

Lorsque ce rang est 4 , les vecteurs forment une base.

Les sous-espaces V _n et W _n sont donc supplémentaires : dim(V m ∩ W m ) = 0 .

Lorsque ce rang est 4 , la dimension de l'intersection est forcément 1 . On forme les deux cas particuliers pour donner une base.

11. pas de correction pour Emo11.tex 12. pas de correction pour Emo12.tex

13.

(Cmo13)

La matrice est inversible car elle est triangulaire inférieure avec des termes non nuls sur la diagonale. Cela entraine que les colonnes forment une famille libre.

On note Y i les colonnes de A et X i les colonnes de I n

(base canonique des matrices colonnes). Il s'agit d'exprimer les X en fonction des Y . On tire de l'écriture des colonnes de A :

X n = 1 n Y n

Y n−1 = (n − 1)X n−1 + X n

⇒ X _n−1 = 1

n − 1 Y _n−1 − 1 n(n − 1) Y n

Y _n−2 = (n − 2)X _n−2 + X _n−1 + X _n

⇒ X _n−2 = 1

n − 2 Y _n−1 − 1

(n − 1)(n − 2) Y _n−1

− 1

n(n − 1) Y n

On en déduit que la matrice inverse est la matrice B telle que

b i,j =



 



 



1 j si i = j

− 1

i(i − 1) si i > j 0 si i < j 14. pas de correction pour Emo14.tex 15. pas de correction pour Emo15.tex 16. pas de correction pour Emo16.tex 17.

^(Cmo17)

Diagonalisation de





− 2 − 1 0

− 1 0 1

0 1 2



 ,

à compléter Diagonalisation de







0 1 1 1

1 0 − 1 − 1 1 − 1 0 − 1 1 − 1 − 1 0







Calcul du polynôme caractéristique P







− λ 1 1 1 1 − λ − 1 − 1 1 − 1 − λ − 1 1 − 1 − 1 − λ













1 − 1 − 1 − λ 1 − λ − 1 − 1 1 − 1 − λ − 1

− λ 1 1 1







← L ₄

← L 1







1 − 1 − 1 − λ 0 1 − λ 0 − 1 + λ 0 0 1 − λ − 1 + λ 0 1 − λ 1 − λ 1 − λ ²







←

← L 2 − L 1

← L ₃ − L ₁

← L 4 + λL 1







1 − 1 − 1 − λ

0 1 − λ 0 − 1 + λ 0 0 1 − λ − 1 + λ 0 0 0 3 − λ ² − 2λ







←

← L 4 − λL 2 − L 3

P = (1 − X ) ² ( − X ² − 2X + 3) = (1 − X ) ³ (3 + X)

Les valeurs propres sont 1 et − 3 . Recherche du noyau de A − I 4 :



 

 

 

 

− x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ = 0 x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 0 x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 0 x ₁ − x ₂ − x ₃ − x ₄ = 0

⇔ x ₁ − x ₂ − x ₃ − x ₄ = 0

⇔





 x ₁ x ₂ x 3

x 4







= x ₂





 1 1 0 0





 + x ₃





 1 0 1 0





 + x ₄





 1 0 0 1







(7)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes : corrigés

Recherche du noyau de A + 3I 4 :



 

 

 

 

3x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x ₁ + 3x ₂ − x ₃ − x ₄ = 0 x 1 − x 2 + 3x 3 − x 4 = 0 x 1 − x 2 − x 3 + 3x 4 = 0

⇔



 

 

 

 

x 1 − x 2 − x 3 + 3x 4 = 0 x ₁ + 3x ₂ − x ₃ − x ₄ = 0 x 1 − x 2 + 3x 3 − x 4 = 0 3x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ = 0

L ₁ ← L ₄ L 4 ← L 1

⇔



 

 

 

 

x ₁ − x ₂ − x ₃ + 3x ₄ = 0 4x 2 − 4x 4 = 0 4x 3 − 4x 4 = 0 4x ₂ + 4x ₃ − 8x ₄ = 0

L ₂ ← L ₂ − L ₁ L 3 ← L 3 − L 1

L ₄ ← L ₄ − 3L ₁

⇔



 

 

 

 

x 1 − x 2 − x 3 + 3x 4 = 0 x 2 − x 4 = 0 x 3 − x 4 = 0 x 2 + x 3 − 2x 4 = 0

L 2 ← 1 4 L 2

L ₃ ← 1 4 L ₃ L ₄ ← 1

4 L ₄

⇔



 

 

 

 

x ₁ + x ₄ = 0 x 2 − x 4 = 0 x 3 − x 4 = 0 0 = 0

L 1 ← L 1 + L 2 + L 3

L 4 ← L 4 − L 2 − L 3

⇔





 x ₁ x ₂ x ₃ x ₄







= x ₄







− 1 1 1 1





 On en déduit

D =







1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 3







P =







1 1 1 − 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1





 .

Diagonalisation de





1 2 3 1 2 3 1 2 3





Les deux dernières colonnes sont colinéaires à la pre- mière. Le rang est 1 donc 0 est une valeur propre dont l'espace propre est le noyau qui est de dimension 2 et d'équation x ₁ + 2x ₂ + 3x ₃ = 0 . Une base du noyau est

(





− 2 1 0



 ,





− 3 0 1



)

Comme le rang est 1 , les colonnes non nulles de l'image sont propres, en particulier,



 1 1 1



 colonne propre de valeur propre 6.

On en déduit D =





0 0 0 0 0 0 0 0 6



 , P =





− 2 − 3 1

1 0 1

0 1 1



 .

18.

^(Cmo18)

Notons p le nombre de colonnes de A et q celui de B (et de C ). Notons α = rg(A) et γ = rg(C) . Considérons une base C 1 (A), · · · , C α (A) de l'espace en- gendré par les colonnes de A et C 1 (C), · · · , C γ (C) une base de l'espace engendré par les colonnes de C . Considérons une famille de grandes colonnes de M

C 1 (A) 0

, · · · ,

C α (A) 0

,

C 1 (B) C 1 (C)

, · · · ,

C γ (B) C γ (C) On montre facilement que cette famille est libre à cause du bloc de 0 . On considère une combinaison linéaire nulle de ces colonnes. On regarde d'abord les dernières lignes.

On en déduit que les derniers coecients sont nuls car les colonnes sélectionnées dans C forment une famille libre. On termine avec les premières lignes et la famille libre de colonnes extraites de A .

19. pas de correction pour Emo19.tex

20.

^(Cmo20)

D'après le résultat cité, chaque hyperplan matriciel est associé à une matrice A non nulle dénissant son équation avec la trace. Pour montrer que l'hyperplan matriciel contient une matrice inversible, il sut de montrer que : pour toute matrice non nulle A il existe M ∈ GL _p (K) telle que tr(AM) = 0 .

Soit r = rg(A) > 0 . Il existe des matrices inversibles P et Q , produit de matrices élémentaires telles que

A = Q J _r P.

Comme la trace se conserve par permutation, tr(AM) = tr (J r (P M Q))

Il sut donc de trouver une matrice inversible S telle que tr(J r S ) = 0 .

Si r ≥ 2 , on peut trouver S diagonale. Si r = 1 , on prend une matrice diagonale par bloc avec

0 1 1 0

en haut à gauche et I _p−2 en bas à droite.

21.

^(Cmo21)

a. Dans ce cas, C est de rang 3 donc inversible. Après calcul de l'inverse,

B = AC ⁻¹ = A





2 − 2 − 3 1 − 1 − 1 3 − 4 − 5



 =





1 1 1

1 1 − 1 1 − 1 − 1



 b. Cette fois rg C = 2 donc C n'est pas inversible.

Analyse.

Soit a , b , c les endomorphismes de R ³ dont les matrices dans la base canonique sont A , B , C .

BC = A ⇔ b ◦ c = a ⇒ ker c ⊂ ker a.

Donc k doit vérier ker c ⊂ ker a . De plus

(x, y, z) ∈ ker c ⇔



 

 

x + 2y − z = 0 2x − y − z = 0

− 5x + 3z = 0

⇔ (x, y, z) = z

5 (3, 1, 5).

(8)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes : corrigés

Alors ker c ⊂ ker a entraine





− 2 1 1 8 1 − 5

4 3 k







 3 1 5



 =



 0 0 0



 ⇒ k = − 3.

Synthèse.

Introduisons C = (e ₁ , e ₂ , e ₃ ) la base canonique et u = (3, 1, 5) un générateur du noyau.

Alors U = (c(e ₁ ), c(e ₂ ), u) est une base. Dénissons b par prolongement linéaire

b(c(e 1 )) = a(e 1 ), b(c(e 2 )) = a(e 2 ), b(u) = 0.

Elle vérie bien b ◦ c = a . Ceci se traduit par

Mat U C b =





− 2 1 0 8 1 0 4 3 0



 . On en tire

B = Mat

C b = Mat

U C b Mat

CU Id

E = Mat

U C b P _CU ⁻¹ . Après calculs ;

P CU = 1 10





1 2 3

2 − 1 1

− 5 0 5





P _CU ⁻¹ = 1 10





1 2 − 1 3 − 4 − 1

1 2 1





B = 1 10





1 − 8 1 11 12 − 9 13 − 4 − 7





Il y a plusieurs B solutions. On peut multiplier le générateur u du noyau par un scalaire non nul. Cela ne change pas Mat _{U C} (b) mais change les matrices de passage.

Code pour la vérication en Python import numpy as np

import numpy.linalg as la

C = np.array([[1,2,-1],[2,-1,-1]

,[-5,0,3]]) P = np.array([[1,2,3],[2,-1,1]

,[-5,0,5]]) Q = la.inv(P)

M = np.array([[-2,1,0],[8,1,0],[4,3,0]]) B = np.matmul(M,Q)

#Vérification A = np.matmul(B,C) 22. pas de correction pour Emo22.tex

23.

^(Cmo23)

En formant un système de 4 équations à 4 incon- nue et en éliminant les inconnues dans ce système, on trouve

(a, b, c, d) ∈ V ⇔ b + 3c − 2d = 0

24.

^(Cmo24)

On transforme la matrice par l'algorithme du pivot partiel.







1 − 3 − 5 2 y ₁ 2 5 12 − 7 y ₂

− 1 1 1 0 y ₃

− 2 4 6 − 2 y 4













− 1 1 1 0 y 3

2 5 12 − 7 y 2

1 − 3 − 5 2 y 1

− 2 4 6 − 2 y 4







L 1 ↔ L 3







− 1 1 1 0 y 3

0 7 14 − 7 y 2 + 2y 3

0 − 2 − 4 2 y 1 + y 3

0 2 4 − 2 y ₄ − 2y ₃







L ₂ ← L ₂ + 2L ₁ L 3 ← L 3 + L 1

L 4 ← L 4 − 2L 1







− 1 1 1 0 y ₃ 0 1 2 − 1 ¹ ₇ (y ₂ + 2y ₃ ) 0 1 2 − 1 − ¹ ₂ (y ₁ + y ₃ ) 0 1 2 − 1 ¹ ₂ (y ₄ − 2y ₃ )







L 2 ← 1 7 L 2

L 3 ← − 1 2 L 3

L 4 ← 1 2 L 4

Avec L 4 ← L 4 − L 3 et L 2 ← L 2 − L 3 on aboutit (après une permutation des lignes) à la forme réduite







− 1 1 1 0 y 3

0 1 2 − 1 − ¹ ₂ (y 1 + y 3 )

0 0 0 0 A

0 0 0 0 B





 avec

A = 1

7 (y ₂ + 2y ₃ ) + 1

2 (y ₁ + y ₃ ) B = 1

2 (y ₄ − 2y ₃ ) + 1

2 (y ₁ + y ₃ )

Sur la partie gauche de la forme réduite, on lit que le rang est 2 . Le noyau est invariant par les opérations sur les lignes (multiplication à gauche par des matrices inversibles. Le système d'équations du noyau est donc

( − x ₁ + x ₂ + x ₃ = 0 x 2 + 2x 3 − x 4 = 0 ⇔

( x ₁ = − x ₃ + x ₄ x 2 = − 2x 3 + x 4

Une base du noyau est

(







− 1

− 2 1 0





 ,





 1 1 0 1





 ).

Le système d'équations de l'image est ( A = 0

B = 0 ⇔

( 7y 1 + 2y 2 + 9y 3 = 0 y 1 − y 3 + y 4 = 0

Toutes les colonnes de la matrice de départ sont dans

l'image. Comme le rang est 2 , si on en prend 2 formant

une famille libre c'est une base de l'image. Par exemple

les deux premières ne sont clairement pas colinéaires et

(9)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes : corrigés

Lycée Hoche MPSI B Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes 1.