MPSI B Année 2015-2016 DM 4 pour vendredi 06/11/15 29 juin 2019
Problème 1
Exercice
1. Exprimer arcsin 1+x 2x
2en fonction de arctan x . (pas d'argumentation à base de dériva- tion)
2. a. Exprimer tan 4t en fonction de tan t b. Exprimer
arctan 4x − 4x 3 1 − 6x 2 + x 4
en fonction de arctan x . On ne cherchera pas à exprimer tan π 8 et tan 3π 8 à l'aide de racines carrées.
Problème
On dénit par récurrence deux suites de fonctions (P n ) n∈ N
∗et (Q n ) n∈ N
∗en posant
∀t ∈ R , P 0 (t) = 1, P 1 (t) = t
∀t ∈ R , Q 0 (t) = 0, Q 1 (t) = 1
∀n ∈ N , ∀t ∈ R , P n+2 (t) = 2tP n+1 (t) − P n (t)
∀n ∈ N , ∀t ∈ R , Q n+2 (t) = 2tQ n+1 (t) − Q n (t) 1. Calculer P 2 (t), P 3 (t), P 4 (t), Q 2 (t), Q 3 (t), Q 4 (t) .
2. Vérier que pour tout x réel,
P 4 (cos x) = cos(4x), sin x Q 4 (cos x) = sin(4x) 3. Montrer que pour tout entier x et tout réel n
P n (cos x) = cos nx, sin x Q n (cos x) = sin nx 4. Montrer que pour tout t ∈ ]−1, 1[ ,
P n 0 (t) = nQ n (t)
Problème 2
Dans cet exercice, la présentation de l'organisation des calculs intermédiaires est un élément important du barême.
1. Préciser l'ensemble des solutions de l'équation diérentielle 3y 00 (t) + 4y 0 (t) + y(t) = e −t sin t Trouver la solution particulière z vériant z(0) = 1 , z 0 (0) = 0 . 2. Former l'ensemble des solutions de
y 00 (t) + 2y 0 (t) + y(t) = te t cos t
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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