Fonctions usuelles

MPSI1 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 3 (du lundi 8 au vendredi 12 octobre) lyc´ee Chaptal

Fonctions usuelles

1. Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances : d´efinition, propri´et´es fonc- tionnelles, d´erivabilit´e, croissances compar´ees.

2. Fonctions circulaires r´eciproques : d´efinition, domaine, d´eriv´ee et graphe de arcsin, arccos et arctan.

3. Fonctions hyperboliques : d´efinition, domaine, d´eriv´ee et graphe de sh, ch et th.

Relation de trigonom´etrie hyperbolique : ch²= 1 + sh².

4. Fonctions hyperboliques r´eciproques : d´efinition, domaine, d´eriv´ee et graphe de argsh, argch et argth.

5. exponentielle complexe :t7→e^at aveca∈C. Rappel de la d´efinition, calcul de la d´eriv´ee (d´eriver une fonction `a valeurs dansCrevient `a d´eriver ses parties r´eelles et imaginaires). D´eriv´ee det7→e^g(t).

Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires

I. G´ en´ eralit´ es

D´efinitions : ´equations diff´erentielles, ´equations diff´erentielles lin´eaires, ´equations homo- g`enes. Structure de l’espace des solutions (S0 est un sous-e.v. de F(I,K), si f ∈ S, S =f+S0). Probl`eme de Cauchy (probl`eme aux conditions initiales).

Rappels d’analyse.

II. Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires d’ordre 1

Equation normalis´´ ee :y⁰(t) =a(t)y(t) +b(t) o`uaetbsont continues sur un intervalleI deR.

R´esolution de l’´equation homog`ene associ´ee.

R´esolution de l’´equation g´en´erale : solution^hhparticuli`ereⁱⁱ, principe de superposition, m´ethode de variation de la constante.

Condition initiale : unicit´e de la solution.

Exemple d’´equation o`u a n’est pas continue : normalisation, intervalles de r´esolution, questions de recollement.

M´ethode d’Euler pour les ´equations diff´erentielles d’ordre 1 : description de la m´ethode, algorithme et programmation `a l’aide de Maple.

III. Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires d’ordre 2 ` a coeffi- cients constants

On s’int´eresse aux ´equationsay⁰⁰+by⁰+cy=d(t) o`ua,b,csont des constantes, r´eelles ou complexes,a6= 0 etdune application continue deI dansK.

R´esolution de l’´equation homog`ene : cas o`u les coefficients sont complexes et o`u ils sont r´eels.

R´esolution de l’´equation avcc second membre : forme des solutions, principe de superpo- sition, cas particulier d’un second membre de la formee^αtP(t) o`uP est un polynˆome `a coefficients r´eels ou complexes.

Unicit´e de la solution `a condition initiale donn´ee.

Questions de cours

Les domaines de d´efinition, de d´erivation, les d´eriv´ees des applications usuelles

Tous les r´esultats donnant les solutions des ´equations diff´erentielles ´etudi´ees doivent ˆetre sus par cœur et sans h´esitation (expression et structure). Premier et deuxi`eme ordre.

Q1. Soit (E) an(t)y⁽ⁿ⁾(t) +· · ·+a0(t)y(t) = b(t) une ´equation diff´erentielle lin´eaire lin´eaire d´efinie sur un intervalleIdeR. D´emontrer que l’ensembleS0 des solutions de l’´equation homog`ene associ´ee est un sous-espace vectoriel deF(I,R).

(Les ´etudiants ne savent pas pour le moment ce qu’est un espace vectoriel. Il ne connaissent que la d´efinition d’un s.e.v. deF(I,R).)

Q2. D´emontrer que pour l’´equation de (E) pr´ec´edente, sif∈ S (ensemble des solutions de (E)), alorsS=f+S0.

Q3. Soit (E0)y⁰(t) +a(t)y(t) = 0 o`ua:I→Kest continue sur un intervalleIdeR. D´eterminer (et le d´emontrer !) l’ensemble des solutionsS0.

Q4. Soit (E)y⁰(t) +a(t)y(t) =b(t) o`ua, b:I→Ksont continues sur un intervalleIde R. On suppose connu le r´esultat de la question Q3.

D´eterminer (et le d´emontrer !) l’expression int´egrale des solutionsS.

Q5. D´eterminer la forme des primitives det7→e^λtP(t) o`uP∈K[X] etλ∈K. Applica- tion `a la d´etermination pratique d’une telle primitive.

Q6. Soit (E0)ay⁰⁰(t) +by⁰(t) +cy(t) = 0 aveca, b, c∈C,a6= 0 tels queb²−4ac6= 0.

D´eterminer (et le d´emontrer !) l’ensemble des solutionsS0.

Q7. Soit (E0)ay⁰⁰(t) +by⁰(t) +cy(t) = 0 aveca, b, c∈C,a6= 0 tels queb²−4ac= 0.

D´eterminer (et le d´emontrer !) l’ensemble des solutionsS0.

Q8. Ecrire une proc´´ edure Maple qui trace une solution approch´ee d’une ´equation diff´e- rentielle du premier ordre `a l’aide de la m´ethode d’Euler.

( Il faut savoir ´ecrire la proc´edure, mais aussi ˆetre capable d’expliquer la m´ethode et de justifier l’algorithme utilis´e.)

A venir : encore les ´` equations diff´erentielles, l’ensembleN, ensembles finis.

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