Sup PCSI 2 — Colle n◦ 5 et 6 — Quinzaine du 15/10 au 26/10
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’unI se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 R´ evisions : calculs 2 R´ ecurrence
ID´emonstrations par r´ecurrence.
•Toute partie non vide de Nposs`ede un plus petit ´el´ement ; toute partie deNnon vide et major´ee poss`ede un plus grand ´el´ement.
3 Op´ erateurs
Pet
QIManipulation des op´erateursP etQ
: propri´et´es alg´ebriques, changement d’indices, t´elescopage.
•Calcul de Snp= X
16k6n
kp, pour p∈[[1,3]].
IPermutation des op´erateurs dans le cas de sommeshhdoublesii.
•Formule deBernoulli:an−bn= X
06k<n
akbn−1−k.
•Simplification de X
06k6n
cos(kx) et X
16k6n
sin(kx).
•Formule du binˆome : preuve par r´ecurrence.
4 ´ Equations diff´ erentielles du premier ordre
•D´efinition d’une solution sur un intervalleIdeRde l’´equation diff´erentielley0=ϕ(x, y) o`uϕ: I×R7→R. Notion de condition initiale. Courbes int´egrales.
•IR´esolution de l’´equation diff´erentielley0+a(x)y= 0, o`uaappartient `aC(I,R) ; structure de l’ensemble des solutions ; existence et unicit´e de la solution v´erifiant une condition initiale (x0, y0)∈I×R; ´ecriture de cette solution au moyen d’une int´egrale.
•IR´esolution de l’´equation diff´erentielley0+a(x)y=b(x), o`uaet bappartiennent `aC(I,R) ; structure de l’ensemble des solutions. M´ethode dite devariation de la constante.
5 ´ Equations diff´ erentielles lin´ eaires du deuxi` eme ordre
• Equation diff´erentielle´ ay00+by0+cy= 0, o`u a6= 0, b, csont des complexes : structure de l’ensemble des solutions. ´Etude du cas o`u a,bet csont r´eels.
•IR´esolution de l’´equationay00+by0+cy= P
16k6n
Pk(x)eλkxo`u lesPk sont des fonctions polynˆomes et les λk des scalaires : technique de recherche d’une solution particuli`ere.
N’oubliez pas d’indiquer sur la fiche de colle votre nom, et surtout le num´ero de la semaine en cours !
MPB : 89 AC : 15 CP : 130 BG :
