Fonctions usuelles.

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

le 8 Janvier 2009

Fonctions usuelles

1 Fonctions trigonom´ etriques r´ eciproques.

1.1 arcsin(.).

sin : [−^π₂,^π₂] −→ R est continue strictement croissante. Donc sin : [−^π₂,^π₂] −→ sin([−^π₂,^π₂]) = [−1,1] est bijective.

On peut donc d´efinir son application r´eciproque :

arcsin : [−1,1] −→ [−^π₂,^π₂]

x 7→ y tel que siny =x Propri´et´es 1.0.1 i) arcsin est impair sur [−1,1].

[En effet arcsin(x) = y tel que siny=x et sin(−y) =−x donc arcsin(−x) = −y.]

ii) arcsin est d´erivable sur ]−1,1[ et

(arcsin)^′(x) = 1

cos(arcsin(x)) = 1

√1−sin²(arcsin(x)) = 1

√1−x²

ATTENTION : cela fonctionne car arcsin(x)∈[−^π₂,^π₂] et cos est positif sur cet intervalle.

iii) arcsin est continue sur [−1,1], croissante sur [−1,1].

Figure 1 – arcsin

Exercice 1.1 i) D´eterminer arcsin(√¹

2), arcsin(^√₂³).

ii) D´eterminer sin(arcsin(x)) et arcsin(sin(x)).

iii) D´eterminer cos(arcsin(x)).

iv) Trouver le d´eveloppement limit´e de arcsin `a l’ordre 4 en 0.

1.2 arccos(.).

cos : [0, π]−→Rest continue strictement d´ecroissante. Donc cos : [0, π]−→cos([0, π]) = [−1,1]

est bijective.

On peut donc d´efinir son application r´eciproque : arccos : [−1,1] −→ [0, π]

x 7→ y tel que cosy=x Propri´et´es 1.1.1 i) arccos n’est ni pair, ni impair sur [−1,1] (exo.).

ii) arccos est d´erivable sur ]−1,1[ et

(arccos)^′(x) =− 1

√1−x² (exo)

iii) arccos est continue sur [−1,1], d´ecroissante sur [−1,1].

Figure 2 – arccos

Remarque 1.2 ∀x∈]−1,1[, (arcsin)^′(x) + (arccos)^′(x) = 0. Donc, en int´egrant,∀x∈]−1,1[, arcsin(x) + arccos(x) =k ∈R. En posant x= 0, on trouve

∀x∈]−1,1[,arcsin(x) + arccos(x) = π 2.

Exercice 1.3 R´esoudre dans R l’´equation arcsin(x) = arccos(2x) (attention `a l’espace de d´efinition de cette ´equation).

Exercice 1.4 i) D´eterminer arccos(√¹

2), arccos(^√₂³).

ii) D´eterminer cos(arccos(x)) et arccos(cos(x)).

iii) D´eterminer sin(arccos(x)).

iv) Trouver le d´eveloppement limit´e de arccos `a l’ordre 4 en 0.

1.3 arctan(.).

tan :]−^π₂,^π₂[−→Rest continue strictement croissante. Donc tan :]−^π₂,^π₂[−→tan(]−^π₂,^π₂[) =R est bijective.

On peut donc d´efinir son application r´eciproque : arctan : R −→ ]− ^π₂,^π₂[

x 7→ y tel que tany=x Propri´et´es 1.4.1 i) arctan est impair R (exo.).

ii) arctan est d´erivable sur R et

(arctan)^′(x) = 1

1 +x² (exo)

iii)arctanest continue surR, croissante surRetlim_x→+∞arctan(x) = ^π₂,lim_x→−∞arctan(x) =

−^π₂.

Figure 3 – arctan

Exercice 1.5 i) Calculer (arctan(_x¹))^′. ii) Que peut-on en d´eduire ?

Exercice 1.6 Variation et graphe de arctan(tan(x)).

Exercice 1.7 Calculer ∫ _x3+3x²+2x+1 (x²+2x+2).(x²+1)dx.

2 Fonctions hyperboliques.

2.1 D´ efinitions-propri´ et´ es.

D´efinition 2.1 On appelle fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, les fonctions ch= cosh : R −→ R

x 7→ ^ex+e₂^−x

sh= sinh : R −→ R x 7→ ^ex−₂^e−x

Propri´et´es 2.1.1 cosh(x) + sinh(x) =e^x et cosh(x)−sinh(x) =e^−x, donc cosh²(x)−sinh²(x) = 1.

D´efinition 2.2 On appelle tangente hyperbolique la fonction th= tanh : R −→ R

x 7→ ^e_e^xx⁻+e^e−x−x

Propri´et´es 2.2.1 i) tanh est impair.

ii) sinh est impair, sinh^′(x) = cosh(x).

iii) cosh est pair, cosh^′(x) = sinh(x).

iv) tanh^′(x) = _cosh¹2(x) = ^cosh2_cosh^(x)−2^sinh(x)^2(x) = 1−tanh²(x).

v) cosh(x) = ^e₂^x(1 +e^−2x) donc cosh(x)∼+∞ e^x 2 . vi) sinh(x) = ^e₂^x(1−e^−2x) donc sinh(x)∼+∞ e^x

2

Figure 4 – sinh, cosh, tanh

2.2 Relations et formules.

2.2.1 additions.

sinh(a+b) = sinh(a) cosh(b) + sinh(b) cosh(a), sinh(a−b) = sinh(a) cosh(b)−sinh(b) cosh(a), cosh(a+b) = cosh(a) cosh(b) + sinh(b) sinh(a), cosh(a−b) = cosh(a) cosh(b)−sinh(b) sinh(a), Exercice 2.3 En d´eduire

i) tanh(a+b) et tanh(a−b) en fonction de tanh(a) et tanh(b).

ii) cosh(p)±cosh(q) et sinh(p)±sinh(q) en fonction de sinh(^p±₂^q) et cosh(^p±₂^q).

2.2.2 Lin´earisation.

cosh²(x) = ^1+cosh(2x)₂ , sinh²(x) = ^cosh(2x)₂ ⁻¹,

2.2.3 Transformation en tanh(^x₂).

Posonst = tanh(^x₂). Alors,

sinh(x) = 2 sinh(^x₂) cosh(^x₂) = 2^sinh(

x 2)

cosh(^x₂).(cosh(^x₂))² = ₁₋^2t_t2.

cosh(x) = cosh²(^x₂) + sinh²(^x₂) = cosh²(^x₂)(1 + tanh²(^x₂)) = ^1+t_1−t²2.

Exercice 2.4 Retrouver le mˆeme genre de formules avec sin, cos, tan.

3 Fonctions hyperboliques r´ eciproques.

3.1 Argument cosinus hyperbolique.

cosh : R⁺ −→ R est continue strictement croissante. Donc cosh : R⁺ −→ cos(R⁺) = [1,+∞[ est bijective.

On peut donc d´efinir son application r´eciproque : arg cosh : [1,+∞[ −→ R⁺

x 7→ y tel que coshy=x

Propri´et´es 3.0.1 i) arg cosh est croissante sur R. ii) arg cosh est d´erivable sur ]1,+∞[ et

(arg cosh)^′(x) = 1

sinh(arg cosh(x)) = 1

√

cosh²(arg cosh(x))−1

= 1

√x²−1

Figure 5 – argcosh Exercice 3.1 D´eriver ln(x+√

x²−1). Que peut-on en d´eduire ?

3.2 Argument sinus hyperbolique.

sinh :R−→R est continue strictement croissante. Donc sinh :R−→sin(R) = Rest bijective.

On peut donc d´efinir son application r´eciproque : arg sinh : R −→ R

x 7→ y tel que sinhy=x

Propri´et´es 3.1.1 i) arg sinh est croissante et impair sur R. ii) arg sinh est d´erivable sur R et

(arg sinh)^′(x) = 1

cosh(arg sinh(x)) = 1

√

1 + sinh²(arg sinh(x))

= 1

√1 +x²

Figure 6 – argsinh

Exercice 3.2 D´eriver ln(x+√

x²+ 1). Que peut-on en d´eduire ?

3.3 Argument tangente hyperbolique.

tanh : R −→ R est continue strictement croissante. Donc tanh : R −→ tan(R) =]−1,1[ est bijective.

On peut donc d´efinir son application r´eciproque : arg tanh : ]−1,1[ −→ R

x 7→ y tel que tanhy=x Propri´et´es 3.2.1 i) arg tanh est croissante et impair sur ]−1,1[.

ii) arg tanh est d´erivable sur ]−1,1[ et

(arg tanh)^′(x) = 1 1−x²

Figure 7 – argtanh

Exercice 3.3 D´eriver ¹₂ln(^1+x_1−x). Que peut-on en d´eduire ?