Fonctions usuelles

Stanislas

Exercices

Fonctions usuelles

Chapitre II MPSI 1

2015/2016

I - Quelques gammes

Exercice 1. (-)Déterminer si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives ou bijectives.

1. f1 : R→R, x7→x³. 2.f2 : C→C, z7→z³. 3. f3 : R→R, x7→2bxc −x.

Exercice 2. (-)Les fonctions injectives sont-elles strictement monotones ?

Exercice 3. (-)On considère la fonction f : x7→ln(1 +e^x).

1. Donner le domaine de dénition def puis étudier ses variations et limites.

2. Montrer que la courbe C de f admet des asymptotes en −∞ et +∞. Donner des équations de ces asymptotes, ainsi que de la tangente àC au point d'abscisse nulle.

3. Donner l'allure de la courbeC.

4. Soit aun réel. Donner une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse asous la forme y=t_a(x). Montrer que, pour tout x réel,f(x)>t_a(x).

Exercice 4. (-)Soitf : ]0,1]→R, x7→ ₁

x

−1

.

1. Quels sont les points de discontinuité de la fonctionf? 2. Préciser la limite def en 0.

3. Donner l'allure de la courbe représentative def.

Exercice 5. (Décomposition en éléments simples, -) Déterminer la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles suivantes.

1. F₁ = _(X2−1)(X^{X2 2}+1). 2. F2 = _X3−X^X22+1−X+1. 3. F3 = _X^X+22−1.

4. F₄= _(X−1)4²(X²+1). 5. F5= _(X−1)2¹(X+1)².

Exercice 6. (Expression sous forme de radicaux,-,♥)

1. Exprimercos^π₈ en fonction decos^π₄ puis en déduire la valeur decos^π₈.

2. Exprimer cos₁₂^π en fonction de cos^π₆, puis en fonction des valeurs des fonctions cosinus et sinus en ^π₄ et ^π₃. Montrer que ces deux méthodes permettent d'obtenir le même résultat.

3. Pour tout réelx, exprimer cos 5x en fonction decosx. En déduire la valeur de cos₁₀^π.

Exercice 7. (Sinusoïdes, !)Soientf, g deux sinusoïdes de pulsations non nullesω etω⁰, c'est-à- dire que pour toutt∈R,

f(t) = cos(ωt), g(t) = cos(ω⁰t).

1. Montrer quef +g est une fonction périodique si et seulement si _ω^ω0 ∈Q.

2. Construire deux fonctions sinusoïdales dont la somme n'est pas périodique.

Stanislas A. Camanes

Exercices. Fonctions usuelles MPSI 1

II - Résolution d'(in)équations

Exercice 8. (-)Résoudre dans Rles équations suivantes.

1. √

3 cosx+ sinx+ 2 = 0. 2. sin³x+ cos³x= 3

4(sinx+ cosx). 3. cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0.

4. 2 arcsin(x) = arcsin 2x√

1−x² . 5. 2x= arcsin

2 tanx 1−tan²x

.

6. arctan(x) + arctan(3x) + arctan(9x) = ^3π₂ .

Exercice 9.Déterminer l'ensemble des réelsx tels que

1. tan(2x)>tan(x). 2. cos(x) + cos(3x)>0. 3. Déterminer l'ensemble des couples de réels(x, y) tels que

x+y >2

4y+x²−2x+ 3 < 0 . III - Inégalités

Exercice 10. (Encadrements classiques,♥)Montrer que pour tout réelx positif 1. x−^x₆³ 6sinx6x. 2. 1−^x₂² 6cosx61−^x₂² +^x₂₄⁴.

Exercice 11. (Inégalités de convexité,♥)Montrer les inégalités suivantes.

1. ∀x∈[0,^π₂], _π²x6sinx6x. 2. ∀x∈[0,^π₄], x6tanx6 ⁴_πx.

3. ∀x∈[0,^π₂],1−_π²x6cosx6 ^π₂ −x.

4. ∀ u∈]−1,+∞[,ln(1 +u)6u. 5. ∀ u∈R,1 +u6e^u.

Exercice 12. (!)Sans calculatrice, comparer les réels e^π etπ^e. Exercice 13.Montrer que pour tout réelθ∈

0,^π₂

et pour tout p∈]0,1[,cos^pθ6cos(pθ). IV - Trigonométrie

Exercice 14. (-)Simplier les expressions suivantes.

1. arcsin(sinx), x∈

−^3π₂ , π . 2. cos(2 arccosx), x∈[−1; 1].

3. arctan

√ 1+x²−1

x , x∈R^?. 4. arcsin

q

1+sinx 2

−^x₂, x∈[−π;π].

Exercice 15. Soient a, b deux réels. Montrer que si a² +b² 6 1, alors arcsina + arcsinb = arcsin

a√

1−b²+b√

1−a² .

Exercice 16. (-)Soit (a, b)∈R×R^?. Calculer Pⁿ

k=0

cosh(a+kb).

Stanislas A. Camanes