Chapitre n°9: Calcul intégral, partie 1/3 Objectifs :
Niveau a eca n
C9.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
C9.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f
Activité d'approche n°1 :
Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; ⃗ i , ⃗ j ) d’unité graphique 1 cm. a et b désignent deux réels tels que a < b .
Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur [a;b].
c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗ i , ⃗ j ).
d
fle domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
Cas n°1 : f est une fonction constante positive sur [a;b].
Soit c un réel positif tel que, pour tout x appartenant à [a;b], f(x)=c.
a. Déterminer l’aire a du domaine d
fen cm².
...
...
...
On appelle a l’intégrale de f entre a et b et on note : a = ∫
a b
f ( x) dx .
b. Soit M un point de [DC] et x
Mson abscisse. Soit F la fonction qui à x
Massocie
l'aire du domaine d
Mdélimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les
droites d’équation x=a et x=x
M. Exprimer F(x
M)) .
...
...
c. Dériver F par rapport à x
M. Que constate-t-on ?
...
...
Cas n°2 : f est une fonction de la forme f (x)=mx + p , où m et p sont des réels fixés avec m non nul.
On suppose de plus que f est positive sur l’intervalle [a;b].
a. Déterminer l’aire a du domaine d
fen cm².
...
...
...
...
...
...
...
...
b. Soit M un point de [DC] et x
Mson abscisse. Soit F la fonction qui à x
Massocie l'aire du domaine d
Mdélimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=x
M. Exprimer F(x
M)) .
...
...
...
...
...
...
...
c. Dériver F par rapport à x
M. Que constate-t-on ?
...
...
...
...
...
...
Activité d'approche n°2
Cas n°3 : f est la fonction définie sur [0;1] par : f (x) = x
2.
2/10
On veut déterminer a = ∫
0 1
f ( x) dx 1. De quel domaine s'agit-il ?
...
...
...
...
2. En utilisant le quadrillage de la figure ci-contre, donner un
encadrement de a en
« petits carreaux ».
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. OI et OJ sont les unités des axes. Encadrer a en unité d'aire.
...
...
...
...
...
4. Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1
n , où n est un entier naturel non nul. Les bornes des intervalles sont appelées a
0= 0, a
1= 1
n , a
2= 2
n ,... , a
k= k
n , …., a
n= 1.
Sur chaque intervalle, on construit des rectangles R
min(k) de hauteurs f (a
k), qui ne
« dépasse pas » la courbe.
De même, on des rectangles R
max(k) de hauteurs f (a
k+1), qui « dépassent » la courbe.
On appelle U
nla somme des aires des rectangles R
min(k) et V
nla somme des aires
des rectangles R
max(k) , pour k variant de 0 à n – 1.
1. Calculer U
4et V
4 ....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
…...
…...
2. Conjectures pour n quelconque.
Illustration avec Geogebra
3. Dans le cas général, exprimer U
net V
nen fonction n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4. Dans le cas général, donner un encadrement de a .
...
...
...
...
5. Établir par récurrence que :
∑
k=1 nk
2= n( n+1)(2 n +1) 6
...
...
4/10
...
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...
...
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...
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...
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6. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de a .
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Cours n°1
Chapitre n°9: Calcul intégral, partie 1/3
I) Intégrale d'une fonction continue positive
Définition n°1
Soit une fonction f définie et positive sur [a;b].
c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗ i , ⃗ j ).
d
fdésigne le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
On appelle intégrale de f entre a et b …... de d
f.
Ce nombre est noté ∫
a b
f ( x) dx et se lit « intégrale de a à b de f ».
Exemple n°1 :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
4 x + 2 et c
fsa représentation graphique. Déterminer ∫
2 6
f ( x ) dx .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°1 Objectifs :
C9.a_Niv1 : savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 Ex.2 p.176 Exercice n°2
Ex.4 p.176 Exercice n°3
Ex.38 p.178 Exercice n°4
Ex.39 p.178
Cours n°2
II) Fonction définie par une intégrale
Propriété n°1
Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F définie sur [a ; b] par F(x)= ∫
a x
f ( t )dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est
…...
Démonstration :
On ne démontre ce théorème que dans le cas où f est strictement croissante et positive sur [a ; b]. On définit : F(x)= ∫
a x
f (t ) dt
6/10
a x
0 x
0+h
M N
P S R Q
1. Hachurer sur la figure ci-contre la quantité T(h)= F(x
0+ h) – F(x
0).
2. Encadrer T(h) par les aires de deux rectangles : ...
...
3. Calculer, en fonction de h, f(x
0) et f(x
0+ h), les aires de MNPS et de MNQR.
…...
…...
...
4. En déduire un encadrement de T (h) h .
...
...
...
...
...
...
5. Conclure.
...
...
...
...
...
...
...
Définition n°2
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F , dérivable sur I, telle que F' = f.
Exemple n°2 :
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par f(x)=4x + 4.
...
...
...
Exemple n°3 :
Démontrer que la fonction F définie sur ]–∞ ; 3[ par F ( x)= 2 x− 4
3− x est une primitive de f définie sur ]–∞ ; 3[ par f ( x)= 2
(3− x )
2.
...
...
...
...
...
Interrogation n°2 Objectifs :
C9.b_Niv1 : savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f.
(Pour les exercices, on admettra que les résultats vus pour les fonctions continues positives sont aussi vrais pour les fonctions continues quelconques) Exercice n°5
Ex.5 p.176 Exercice n°6
Ex.6 p.176 Exercice n°7
Ex.7 p.176 Exercice n°8
Ex.14 p.176 Exercice n°9
Ex.17 p.176 Exercice n°10
Ex.20 p.176 Exercice n°11
Ex.54 p.179
8/10
Résultats ou indices
Ex.1 (2 p.176) : 1. f(x)=x. 2. 3. 4,5.
Ex.2 (4 p.176) : 1. 2. 2/3.
Ex.3 (38 p.178) : 1. 2.6 et 4.
Ex.4 (39 p.178) : 1. 2. I=2 et J=1,5.
Ex.5 (5 p.176) : dans le désordre : 1 3 x
3
; 1 2 x
2
; 1 2 x
2
+ 1 3 x
3
