Chapitre n°9: Calcul intégral, partie 1/3 Objectifs :
Niveau a eca n
C9.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
C9.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f
Activité d'approche n°1 :
Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; ⃗ i , ⃗ j ) d’unité graphique 1 cm. a et b désignent deux réels tels que a < b.
Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur [a;b] . c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗ i , ⃗ j ) .
d
fle domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites
d’équation x=a et x=b .
Cas n°1 : f est une fonction constante positive sur [a;b] .
Soit c un réel positif tel que, pour tout
x appartenant à [a;b] , f(x)=c .
a. Déterminer l’aire a du domaine d
fen cm².
...
...
...
On appelle a l’intégrale de f entre a et b et on note : a = ∫
a b
f ( x ) dx .
b. Soit M un point de [DC] et x
Mson abscisse. Soit F la fonction qui à x
Massocie l'aire du domaine d
Mdélimité par le segment [DM] , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=x
M. Exprimer F(x
M)) .
...
...
c. Dériver F par rapport à x
M. Que constate-t-on ?
2/12 -
...
...
Cas n°2 : f est une fonction de la forme f (x)=mx + p , où m et p sont des réels fixés avec m non nul.
On suppose de plus que f est positive sur l’intervalle [a;b] .
a. Déterminer l’aire a du domaine
d
fen cm².
...
...
...
...
...
...
...
...
b. Soit M un point de [DC] et x
Mson abscisse. Soit F la fonction qui à x
Massocie l'aire du domaine d
Mdélimité par le segment [DM] , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=x
M. Exprimer F(x
M)) .
...
...
...
...
...
...
...
c. Dériver F par rapport à x
M. Que constate-t-on ?
...
...
...
...
...
...
Activité d'approche n°2
Cas n°3 : f est la fonction définie sur [0;1] par : f (x) = x
2. On veut déterminer a = ∫
0 1
f ( x ) dx 1. De quel domaine s'agit-il ?
2/12
...
...
...
...
2. En utilisant le quadrillage de la figure ci-contre, donner un
encadrement de a en
« petits carreaux ».
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. OI et OJ sont les unités des axes. Encadrer a en unité d'aire.
...
...
...
...
...
4. Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1
n , où n est un entier naturel non nul. Les bornes des intervalles sont appelées a
0= 0 , a
1= 1
n , a
2= 2
n ,... , a
k= k
n , …., a
n= 1.
Sur chaque intervalle, on construit des rectangles R
min(k) de hauteurs f (a
k) , qui ne « dépasse pas » la courbe.
De même, on des rectangles R
max(k) de hauteurs f (a
k+1) , qui « dépassent » la courbe.
On appelle U
nla somme des aires des rectangles R
min(k) et V
nla somme des aires des rectangles R
max(k) , pour k variant de 0 à n – 1 .
1. Calculer U
4et V
4 ....
...
4/12 -
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
…...
…...
2. Conjectures pour n quelconque.
Illustration avec Geogebra
3. Dans le cas général, exprimer U
net V
nen fonction n .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4. Dans le cas général, donner un encadrement de a .
...
...
...
...
5. Établir par récurrence que :
∑
k=1 nk
2= n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6
...
...
...
...
4/12
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de a .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°9: Calcul intégral, partie 1/3
I) Intégrale d'une fonction continue positive Définition n°1
Soit une fonction f définie et positive sur [a;b] .
c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗ i , ⃗ j ) .
d
fdésigne le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b .
On appelle intégrale de f entre a et b …... de d
f. Ce nombre est noté ∫
a b
f ( x ) dx et se lit « intégrale de a à b de f ».
Exemple n°1 :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
4 x + 2 et c
fsa représentation graphique. Déterminer ∫
2 6
f ( x ) dx .
6/12 -
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°1 - C9.1 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C9.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 (/4) :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
8 x + 3 et c
fsa représentation
graphique. Déterminer géométriquement ∫
2 6
f ( x ) dx
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
6/12
Interrogation n°1 Objectifs :
C9.a_Niv1 : savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 Ex.2 p.176 Exercice n°2
Ex.4 p.176 Exercice n°3
Ex.38 p.178 Exercice n°4
Ex.39 p.178
Cours n°2
II) Fonction définie par une intégrale Propriété n°1
Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] , la fonction F définie sur [a ; b] par F(x)= ∫
a x
f ( t ) dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est
…...
Démonstration :
On ne démontre ce théorème que dans le cas où f
est strictement croissante et positive sur [a ; b] . On définit : F(x)= ∫
a x
f ( t ) dt
1. Hachurer sur la figure ci-contre la quantité
T(h)= F(x
0+ h) – F(x
0).
2. Encadrer T(h) par les aires de deux rectangles : ...
...
3. Calculer, en fonction de h, f(x
0) et f(x
0+ h) , les aires de MNPS et de MNQR .
…...
…...
a x
0 x
0+h
M N
S P R Q
...
4. En déduire un encadrement de T ( h ) h .
...
...
...
...
...
5. Conclure.
...
...
...
...
...
...
Définition n°2
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I .
Une primitive de f sur I est une fonction F , dérivable sur I , telle que F' = f .
Exemple n°2 :
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par f(x)=4x + 4 .
...
...
...
Exemple n°3 :
Démontrer que la fonction F définie sur ] – ∞ ; 3[ par F ( x ) = 2 x − 4
3− x est une primitive de f définie sur ] – ∞ ; 3[ par f ( x ) = 2
( 3− x )
2.
...
...
...
...
Se Tester n°2 - C9.2 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C9.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f.
Exercice n°1 (/2) :
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par :
f(x)=4 +4 .
...
...
...
Exercice n°2 (/2) :
Démontrer que la fonction F définie par 7 x + 7
6 − x est une primitive de la fonction f
définie par f(x)= 33 ( 7− x )
2...
...
... ...
...
...
Interrogation n°2 Objectifs :
C9.b_Niv1 : savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f.
(Pour les exercices, on admettra que les résultats vus pour les fonctions continues positives sont aussi vrais pour les fonctions continues quelconques) Exercice n°5
Ex.5 p.176 Exercice n°6
Ex.6 p.176 Exercice n°7
Ex.7 p.176 Exercice n°8
Ex.14 p.176 Exercice n°9
Ex.17 p.176 Exercice n°10
Ex.20 p.176 Exercice n°11
Ex.54 p.179
10/12 -
Résultats ou indices
Ex.1 (2 p.176) : 1. f(x)=x. 2. 3. 4,5.
Ex.2 (4 p.176) : 1. 2. 2/3.
Ex.3 (38 p.178) : 1. 2.6 et 4.
Ex.4 (39 p.178) : 1. 2. I=2 et J=1,5 .
Ex.5 (5 p.176) : dans le désordre : 1 3 x
3; 1
2 x
2; 1 2 x
2+ 1
3 x
3Ex.6 (6 p.176) : dans le désordre : 7x – 2x
4; 7x ; 1 4 x
4. Ex.7 (7 p.176) : … – 1 .
Ex.8 (14 p.176) : /
Ex.9 (17 p.176) : 4;8;4;7 Ex.10 (20 p.176) : 8
Ex.11 (54 p.179) : décroissante sur ]- ∞ ;-4].
Ex.12** (Approfondissement p.187)
10/12
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...