• Aucun résultat trouvé

Chapitre VIII: Calcul intégral, partie 1/3

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Chapitre VIII: Calcul intégral, partie 1/3"

Copied!
14
0
0

Texte intégral

(1)

1/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

Chapitre VIII: Calcul intégral, partie 1/3

Objectifs :

1. Connaître la définition de l'intégrale d'une f° continue et positive sur [a;b] comme aire sous la courbe.

[calcul approché d'aire de parabole, d'hyperbole,etc, possible]

.

2. Connaître la notation

a b

f (x)dx .

3. Connaître le théorème : Si f est une fonction continue et positive sur [a;b], alors la fonction F définie par F(x)=

a x

f (t) dt est dérivable sur [a;b] et a pour dérivée f.

[ On peut présenter le principe de démonstration quand f est positive et croissante].

Activité d'approche n°1 :

Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; ⃗ i , ⃗ j ) d’unité graphique 1 cm.

a et b désignent deux réels tels que a < b.

Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur [a;b].

c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗ i , ⃗ j ).

d

f

le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.

Cas n°1 : f est une fonction constante positive sur [a;b].

Soit c un réel positif tel que, pour tout x appartenant à [a;b], f(x)=c.

a. Déterminer l’aire a du domaine d

f

en cm².

...

...

...

On appelle a l’intégrale de f entre a et b et on note : a = ∫

a b

f ( x) dx .

1/10

(2)

2/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

b. Soit M un point de [DC] et x

M

son abscisse. Soit F la fonction qui à x

M

associe l'aire du domaine d

M

délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=x

M

. Exprimer F(x

M)

) .

...

...

c. Dériver F par rapport à x

M

. Que constate-t-on ?

...

...

Cas n°2 : f est une fonction de la forme f (x)=mx + p , où m et p sont des réels fixés avec m non nul.

On suppose de plus que f est positive sur l’intervalle [a;b].

a. Déterminer l’aire a du domaine d

f

en cm².

...

...

...

...

...

...

...

b. Soit M un point de [DC] et x

M

son abscisse. Soit F la fonction qui à x

M

associe l'aire du domaine d

M

délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=x

M

. Exprimer F(x

M)

) .

...

...

...

...

...

...

c. Dériver F par rapport à x

M

. Que constate-t-on ?

...

...

...

...

...

2/10

(3)

3/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

Activité d'approche n°2

Cas n°3 : f est la fonction définie sur [0;1] par : f (x) = x

2

.

On veut déterminer a = ∫

0 1

f ( x) dx 1. De quel domaine s'agit-il ?

...

...

2. En utilisant le

quadrillage de la figure ci-contre, donner un encadrement de a en

« petits carreaux ».

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

3. OI et OJ sont les unités des axes. Encadrer a en unité d'aire.

...

...

...

...

4. Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1

n , où n est un entier naturel non nul. Les bornes des intervalles sont appelées a

0

= 0, a

1

= 1

n , a

2

= 2

n ,... , a

k

= k

n , …., a

n

= 1.

Sur chaque intervalle, on construit des rectangles R

min

(k) de hauteurs f (a

k

), qui ne « dépasse pas » la courbe.

3/10

(4)

4/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

De même, on des rectangles R

max

(k) de hauteurs f (a

k+1

), qui « dépassent » la courbe.

On appelle U

n

la somme des aires des rectangles R

min

(k) et V

n

la somme des aires des rectangles R

max

(k) , pour k variant de 0 à n – 1.

1. Calculer U

4

et V

4 .

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

…...

…...

2. Conjectures pour n quelconque.

Illustration avec Geogebra

3. Dans le cas général, exprimer U

n

et V

n

en fonction n.

...

...

...

...

...

...

...

...

4. Dans le cas général, donner un encadrement de a.

...

...

...

5. Etablir par récurrence que :

k=1 n

k

2

= n( n+1)(2 n +1) 6

...

...

...

...

4/10

(5)

5/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

...

...

...

...

...

...

...

6. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de a.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Cours n°1

Chapitre VIII: Calcul intégral, partie 1/3

I) Intégrale d'une fonction continue positive Définition n°1

Soit une fonction f définie et positive sur [a;b].

c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗ i , ⃗ j ).

d

f

désigne le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b .

On appelle intégrale de f entre a et b …... de d

f

.

Ce nombre est noté ∫

a b

f ( x) dx et se lit « intégrale de a à b de f ».

Exemple n°1 :

Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1

4 x + 2 et c

f

sa

5/10

(6)

6/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3 représentation graphique. Déterminer

2 6

f ( x) dx .

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Exercice n°1 Ex.2 p.176 Exercice n°2

Ex.4 p.176 Exercice n°3

Ex.38 p.178 Exercice n°4

Ex.39 p.178

Cours n°2

II) Fonction définie par une intégrale Propriété n°1

Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F définie sur [a ; b] par F(x)= ∫

a x

f (t ) dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est …...

Démonstration :

On ne démontre ce théorème que dans le cas où f est strictement croissante et positive sur [a ; b].

6/10

a x0 x0+h

M N

P S R Q

(7)
(8)
(9)

7/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

On définit : F(x)= ∫

a x

f (t ) dt

1. Hachurer sur la figure ci-contre la quantité T(h)= F(x

0

+ h) – F(x

0

).

2. Encadrer T(h) par les aires de deux rectangles : ...

...

3. Calculer, en fonction de h, f(x

0

) et f(x

0

+ h), les aires de MNPS et de MNQR.

…...

…...

4. En déduire un encadrement de T (h ) h .

...

...

...

...

...

5. Conclure.

...

...

...

...

...

...

Définition n°2

Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I.

Une primitive de f sur I est une fonction F , dérivable sur I, telle que F' = f.

Exemple n°2 :

Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par f(x)=4x + 4.

...

...

7/10

(10)

8/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

Exemple n°3

Démontrer que la fonction F définie sur ]–∞ 3[ par F ( x )= 2 x− 4

3− x est une

primitive de f définie sur ]–∞ 3[ par f ( x)= 2 (3− x )

2

.

...

...

...

...

(Pour les exercices, on admettra que les résultats vus pour les fonctions continues positives sont aussi vrais pour les fonctions continues quelconques)

Exercice n°5 Ex.5 p.176 Exercice n°6

Ex.6 p.176 Exercice n°7

Ex.7 p.176 Exercice n°8

Ex.14 p.176 Exercice n°9

Ex.17 p.176 Exercice n°10

Ex.20 p.176 Exercice n°11

Ex.54 p.179

Résultats ou indices

Ex.1 (2 p.176) : 1. f(x)=x. 2. 3. 4,5.

Ex.2 (4 p.176) : 1. 2. 2/3.

8/10

(11)
(12)

9/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

Ex.3 (38 p.178) : 1. 2.6 et 4.

Ex.4 (39 p.178) : 1. 2. I=2 et J=1,5.

Ex.5 (5 p.176) : dans le désordre : 1 3 x

3

; 1

2 x

2

; 1 2 x

2

+ 1

3 x

3

Ex.6 (6 p.176) : dans le désordre : 7x – 2x

4

; 7x ; 1

4 x

4

. Ex.7 (7 p.176) : … – 1.

Ex.8 (14 p.176) : / Ex.9 (17 p.176) : 4;8;4;7 Ex.10 (20 p.176) : 8

Ex.11 (54 p.179) : décroissante sur ]- ∞ ;-4].

9/10

(13)
(14)

10/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

10/10

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Références

Documents relatifs

Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1.. n , où n est un entier

[On peut démontrer ce théorème dans le cas d'un intervalle fermé borné, en admettant que la fonction a un minimum – cas général admis – faire remarquer que certaines f° n'ont

[r]

4) Déterminer le plus petit entier p tel que le nombre pa soit un carré parfait. 5) Déterminer le plus petit entier q tel que le nombre qb soit un cube parfait.. Exercice

• Pour déterminer les incertitudes il faudrait refaire des étalonnages dans tout le domaine des grandeurs d’influence et rechercher la val abs..

Les mémoires doivent avoir été vidées avant le début de

Vous devrez utiliser une variable n qui désignera globalement l’entier

Pour ranger les valeurs du tableau A par ordre croissant, on le parcourt autant de fois que nécessaire en permutant A i et A i+1 lorsque A i &gt; A i+11. Écrire une procédure