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Chapitre VIII: Calcul intégral, partie 1/3

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

Chapitre VIII: Calcul intégral, partie 1/3

Objectifs :

1. Connaître la définition de l'intégrale d'une f° continue et positive sur [a;b] comme aire sous la courbe.

[calcul approché d'aire de parabole, d'hyperbole,etc, possible]

.

2. Connaître la notation

a b

f (x)dx .

3. Connaître le théorème : Si f est une fonction continue et positive sur [a;b], alors la fonction F définie par F(x)=

a x

f (t) dt est dérivable sur [a;b] et a pour dérivée f.

[ On peut présenter le principe de démonstration quand f est positive et croissante].

Activité d'approche n°1 :

Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; ⃗ i , ⃗ j ) d’unité graphique 1 cm.

a et b désignent deux réels tels que a < b.

Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur [a;b].

c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗ i , ⃗ j ).

d

f

le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.

Cas n°1 : f est une fonction constante positive sur [a;b].

Soit c un réel positif tel que, pour tout x appartenant à [a;b], f(x)=c.

a. Déterminer l’aire a du domaine d

f

en cm².

...

...

...

On appelle a l’intégrale de f entre a et b et on note : a = ∫

a b

f ( x) dx .

1/10

(2)

2/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

b. Soit M un point de [DC] et x

M

son abscisse. Soit F la fonction qui à x

M

associe l'aire du domaine d

M

délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=x

M

. Exprimer F(x

M)

) .

...

...

c. Dériver F par rapport à x

M

. Que constate-t-on ?

...

...

Cas n°2 : f est une fonction de la forme f (x)=mx + p , où m et p sont des réels fixés avec m non nul.

On suppose de plus que f est positive sur l’intervalle [a;b].

a. Déterminer l’aire a du domaine d

f

en cm².

...

...

...

...

...

...

...

b. Soit M un point de [DC] et x

M

son abscisse. Soit F la fonction qui à x

M

associe l'aire du domaine d

M

délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=x

M

. Exprimer F(x

M)

) .

...

...

...

...

...

...

c. Dériver F par rapport à x

M

. Que constate-t-on ?

...

...

...

...

...

2/10

(3)

3/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

Activité d'approche n°2

Cas n°3 : f est la fonction définie sur [0;1] par : f (x) = x

2

.

On veut déterminer a = ∫

0 1

f ( x) dx 1. De quel domaine s'agit-il ?

...

...

2. En utilisant le

quadrillage de la figure ci-contre, donner un encadrement de a en

« petits carreaux ».

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

3. OI et OJ sont les unités des axes. Encadrer a en unité d'aire.

...

...

...

...

4. Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1

n , où n est un entier naturel non nul. Les bornes des intervalles sont appelées a

0

= 0, a

1

= 1

n , a

2

= 2

n ,... , a

k

= k

n , …., a

n

= 1.

Sur chaque intervalle, on construit des rectangles R

min

(k) de hauteurs f (a

k

), qui ne « dépasse pas » la courbe.

3/10

(4)

4/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

De même, on des rectangles R

max

(k) de hauteurs f (a

k+1

), qui « dépassent » la courbe.

On appelle U

n

la somme des aires des rectangles R

min

(k) et V

n

la somme des aires des rectangles R

max

(k) , pour k variant de 0 à n – 1.

1. Calculer U

4

et V

4 .

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

…...

…...

2. Conjectures pour n quelconque.

Illustration avec Geogebra

3. Dans le cas général, exprimer U

n

et V

n

en fonction n.

...

...

...

...

...

...

...

...

4. Dans le cas général, donner un encadrement de a.

...

...

...

5. Etablir par récurrence que :

k=1 n

k

2

= n( n+1)(2 n +1) 6

...

...

...

...

4/10

(5)

5/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

...

...

...

...

...

...

...

6. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de a.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Cours n°1

Chapitre VIII: Calcul intégral, partie 1/3

I) Intégrale d'une fonction continue positive Définition n°1

Soit une fonction f définie et positive sur [a;b].

c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗ i , ⃗ j ).

d

f

désigne le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b .

On appelle intégrale de f entre a et b …... de d

f

.

Ce nombre est noté ∫

a b

f ( x) dx et se lit « intégrale de a à b de f ».

Exemple n°1 :

Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1

4 x + 2 et c

f

sa

5/10

(6)

6/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3 représentation graphique. Déterminer

2 6

f ( x) dx .

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Exercice n°1 Ex.2 p.176 Exercice n°2

Ex.4 p.176 Exercice n°3

Ex.38 p.178 Exercice n°4

Ex.39 p.178

Cours n°2

II) Fonction définie par une intégrale Propriété n°1

Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F définie sur [a ; b] par F(x)= ∫

a x

f (t ) dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est …...

Démonstration :

On ne démontre ce théorème que dans le cas où f est strictement croissante et positive sur [a ; b].

6/10

a x0 x0+h

M N

P S R Q

(7)
(8)
(9)

7/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

On définit : F(x)= ∫

a x

f (t ) dt

1. Hachurer sur la figure ci-contre la quantité T(h)= F(x

0

+ h) – F(x

0

).

2. Encadrer T(h) par les aires de deux rectangles : ...

...

3. Calculer, en fonction de h, f(x

0

) et f(x

0

+ h), les aires de MNPS et de MNQR.

…...

…...

4. En déduire un encadrement de T (h ) h .

...

...

...

...

...

5. Conclure.

...

...

...

...

...

...

Définition n°2

Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I.

Une primitive de f sur I est une fonction F , dérivable sur I, telle que F' = f.

Exemple n°2 :

Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par f(x)=4x + 4.

...

...

7/10

(10)

8/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

Exemple n°3

Démontrer que la fonction F définie sur ]–∞ 3[ par F ( x )= 2 x− 4

3− x est une

primitive de f définie sur ]–∞ 3[ par f ( x)= 2 (3− x )

2

.

...

...

...

...

(Pour les exercices, on admettra que les résultats vus pour les fonctions continues positives sont aussi vrais pour les fonctions continues quelconques)

Exercice n°5 Ex.5 p.176 Exercice n°6

Ex.6 p.176 Exercice n°7

Ex.7 p.176 Exercice n°8

Ex.14 p.176 Exercice n°9

Ex.17 p.176 Exercice n°10

Ex.20 p.176 Exercice n°11

Ex.54 p.179

Résultats ou indices

Ex.1 (2 p.176) : 1. f(x)=x. 2. 3. 4,5.

Ex.2 (4 p.176) : 1. 2. 2/3.

8/10

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9/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

Ex.3 (38 p.178) : 1. 2.6 et 4.

Ex.4 (39 p.178) : 1. 2. I=2 et J=1,5.

Ex.5 (5 p.176) : dans le désordre : 1 3 x

3

; 1

2 x

2

; 1 2 x

2

+ 1

3 x

3

Ex.6 (6 p.176) : dans le désordre : 7x – 2x

4

; 7x ; 1

4 x

4

. Ex.7 (7 p.176) : … – 1.

Ex.8 (14 p.176) : / Ex.9 (17 p.176) : 4;8;4;7 Ex.10 (20 p.176) : 8

Ex.11 (54 p.179) : décroissante sur ]- ∞ ;-4].

9/10

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10/10 T.S. 2015 – Chap.8 : Calcul intégral , partie 1/3

10/10

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

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Travail à faire pour la prochaine fois :

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