1.5 THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL

(1)

cours 5

1.5 THÉORÈME

FONDAMENTAL DU

CALCUL

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

(3)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

(4)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

✓ Règles de sommation

(5)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

✓ Règles de sommation

(6)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

✓ Règles de sommation

(7)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

✓ Règles de sommation

(8)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

✓ Règles de sommation

✓ ^Induction

(9)

Au dernier cours, nous avons vu

(10)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Les sommations suivantes

(11)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Les sommations suivantes

(12)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Les sommations suivantes

(13)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Les sommations suivantes

(14)

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Les sommations suivantes

(15)

Aujourd’hui, nous allons voir

(16)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Intégrale définie

(17)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Intégrale définie

✓ Somme de Riemann

(18)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Intégrale définie

✓ Somme de Riemann

✓ Théorème fondamental du calcul

(19)

Depuis le début de la session, on a vu qu’il semble y avoir un lien

entre somme, primitive et aire sous la courbe.

(20)

Depuis le début de la session, on a vu qu’il semble y avoir un lien entre somme, primitive et aire sous la courbe.

Nous expliciterons ce lien ici.

(21)

Définition On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

(22)

Définition On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

(23)

Définition

-1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25

-0,75 -0,5 -0,25

0,25 0,5 0,75

On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

(24)

Définition

-1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25

-0,75 -0,5 -0,25

0,25 0,5 0,75

On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

(25)

Définition

-1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25

-0,75 -0,5 -0,25

0,25 0,5

Aire positive

0,75

On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

(26)

Définition

-1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25

-0,75 -0,5 -0,25

0,25 0,5

Aire positive

0,75

Aire négative

On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

(27)

Remarque:

Pour que l’intégrale définie ait un sens, il faut que

la fonction soit continue sur l’intervalle.

(28)

Remarque:

Pour que l’intégrale définie ait un sens, il faut que la fonction soit continue sur l’intervalle.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2 -1 1 2 3 4

(29)

Outre la notation et le nom, l’intégrale indéfinie et l’intégrale définie

sont deux concepts très différents.

(30)

Outre la notation et le nom, l’intégrale indéfinie et l’intégrale définie sont deux concepts très différents.

Un ensemble infini de primitives

(31)

Outre la notation et le nom, l’intégrale indéfinie et l’intégrale définie sont deux concepts très différents.

Un ensemble infini de primitives

Une aire délimitée par une fonction

(32)

Comprendre ce qu’est est une chose

(33)

Comprendre ce qu’est est une chose

mais la calculer en est une autre.

(34)

Comprendre ce qu’est est une chose mais la calculer en est une autre.

Quels sont les objets géométriques dont on sait calculer l’aire?

(35)

Comprendre ce qu’est est une chose mais la calculer en est une autre.

Quels sont les objets géométriques dont on sait calculer l’aire?

Les rectangles

(36)

Comprendre ce qu’est est une chose mais la calculer en est une autre.

Quels sont les objets géométriques dont on sait calculer l’aire?

Les rectangles

Les triangles

(37)

Comprendre ce qu’est est une chose mais la calculer en est une autre.

Quels sont les objets géométriques dont on sait calculer l’aire?

Les rectangles Les triangles

Les cercles

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

Somme de Riemann

Pour pousser un plus loin notre compréhension de l’intégrale, il nous

faut comprendre les sommes de Riemann.

(45)

Somme de Riemann

Pour pousser un plus loin notre compréhension de l’intégrale, il nous

faut comprendre les sommes de Riemann.

(46)

Faites les exercices suivants

Section 1.5 # 26

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

(68)

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

(69)

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

(70)

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

(71)

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

(72)

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

Pour avoir une meilleure approximation il faut prendre un

n plus grand.

(73)

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

Pour avoir une meilleure approximation il faut prendre un n plus grand.

Pour avoir exactement l’aire, il faut...

(74)

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

Pour avoir une meilleure approximation il faut prendre un n plus grand.

Pour avoir exactement l’aire, il faut...

(75)

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

Pour avoir une meilleure approximation il faut prendre un n plus grand.

Pour avoir exactement l’aire, il faut...

(76)

Somme

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

Pour avoir une meilleure approximation il faut prendre un n plus grand.

Pour avoir exactement l’aire, il faut...

(77)

de hauteurs Somme

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

Pour avoir une meilleure approximation il faut prendre un n plus grand.

Pour avoir exactement l’aire, il faut...

(78)

fois des bases.

de hauteurs Somme

L’approximation de l’aire si on subdivise en n partie est

Pour avoir une meilleure approximation il faut prendre un n plus grand.

Pour avoir exactement l’aire, il faut...

(79)

De cette égalité

(80)

De cette égalité

et notre connaissance des sommes, on peut déduire que

(81)

De cette égalité

et notre connaissance des sommes, on peut déduire que

(82)

De cette égalité

et notre connaissance des sommes, on peut déduire que

(83)

Exemple _Calculer

(84)

Exemple _Calculer

(85)

Exemple _Calculer

(86)

Exemple _Calculer

(87)

Exemple _Calculer

(88)

Exemple _Calculer

(89)

Exemple _Calculer

(90)

Exemple _Calculer

(91)

Exemple _Calculer

(92)

Exemple _Calculer

(93)

Exemple _Calculer

(94)

Exemple _Calculer

(95)

Exemple _Calculer

(96)

Exemple _Calculer

(97)

Exemple _Calculer

(98)

Exemple _Calculer

(99)

Exemple _Calculer

(100)

Exemple _Calculer

(101)

Exemple _Calculer

(102)

Exemple _Calculer

(103)

Exemple _Calculer

(104)

Exemple _Calculer

(105)

Exemple _Calculer

(106)

Exemple _Calculer

(107)

Exemple _Calculer

(108)

Exemple _Calculer

(109)

Exemple _Calculer

(110)

Exemple _Calculer

(111)

Exemple _Calculer

(112)

Exemple _Calculer

(113)

Exemple _Calculer

(114)

Exemple _Calculer

(115)

Exemple _Calculer

(116)

Exemple _Calculer

(117)

Exemple _Calculer

(118)

Exemple _Calculer

(119)

Exemple _Calculer

(120)

Exemple _Calculer

(121)

Exemple _Calculer

(122)

Exemple _Calculer

(123)

Exemple _Calculer

(124)

Exemple _Calculer

(125)

Exemple _Calculer

(126)

Exemple _Calculer

(127)

Exemple _Calculer

(128)

Exemple _Calculer

(129)

Exemple _Calculer

(130)

Exemple _Calculer

(131)

Faites les exercices suivants

Section 1.5 # 27 et 28

(132)

Ouin, ça marche, mais ce n’est pas simple!

(133)

Ouin, ça marche, mais ce n’est pas simple!

Ça serait bien d’avoir une méthode pour faire tout

ça qui soit moins compliquée.

(134)

(135)

(136)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

(137)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

(138)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

(139)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

(140)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

(141)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(142)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(143)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(144)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(145)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(146)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(147)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(148)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(149)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(150)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(151)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(152)

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 0,5

1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8

0,5 1 1,5

2 2,5

3

(153)

En d’autres termes

(154)

En d’autres termes

(155)

En d’autres termes

(156)

En d’autres termes

c’est-à-dire

(157)

En d’autres termes

c’est-à-dire

(158)

En d’autres termes

c’est-à-dire

est une primitive de

(159)

En d’autres termes

c’est-à-dire

est une primitive de

On peut donc écrire

(160)

En d’autres termes

c’est-à-dire

est une primitive de

On peut donc écrire

(161)

(162)

Ici on est en mesure de trouver la constante

(163)

Ici on est en mesure de trouver la constante

(164)

Ici on est en mesure de trouver la constante

(165)

Ici on est en mesure de trouver la constante

(166)

Ici on est en mesure de trouver la constante

(167)

Ici on est en mesure de trouver la constante

(168)

Ici on est en mesure de trouver la constante

(169)

Ici on est en mesure de trouver la constante

(170)

Ici on est en mesure de trouver la constante

(171)

Le théorème fondamental du calcul.

Ici on est en mesure de trouver la constante

(172)

Théorème fondamental du calcul (version 2)

(173)

Théorème fondamental du calcul (version 2) Z

f (x)dx = F (x) + C

(174)

Théorème fondamental du calcul (version 2) Z

f (x)dx = F (x) + C Z

f (x)dx = Z

F

⁰

(x)dx

(175)

Théorème fondamental du calcul (version 2) Z

f (x)dx = F (x) + C Z

f (x)dx = Z

F

⁰

(x)dx

y = F (x)

(176)

Théorème fondamental du calcul (version 2) Z

f (x)dx = F (x) + C Z

f (x)dx = Z

F

⁰

(x)dx

y = F (x)

dy = F

⁰

(x)dx

(177)

Théorème fondamental du calcul (version 2) Z

f (x)dx = F (x) + C Z

f (x)dx = Z

F

⁰

(x)dx

y = F (x)

dy = F

⁰

(x)dx

= Z

dy

(178)

Théorème fondamental du calcul (version 2) Z

f (x)dx = F (x) + C Z

f (x)dx = Z

F

⁰

(x)dx

y = F (x)

dy = F

⁰

(x)dx

= Z

dy

Z

_b

a

f (x)dx =

Z

_b

a

dy

(179)

Théorème fondamental du calcul (version 2) Z

f (x)dx = F (x) + C Z

f (x)dx = Z

F

⁰

(x)dx

y = F (x)

dy = F

⁰

(x)dx

= Z

dy

Z

_b

a

f (x)dx =

Z

_b

a

dy

(180)

Théorème fondamental du calcul (version 2) Z

f (x)dx = F (x) + C Z

f (x)dx = Z

F

⁰

(x)dx

y = F (x)

dy = F

⁰

(x)dx

= Z

dy

Z

_b

a

f (x)dx =

Z

_b

a

dy

F (x)

(181)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

(182)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

(183)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

(184)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

(185)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

(186)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

(187)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

(188)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(189)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(190)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(191)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(192)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(193)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(194)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(195)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(196)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(197)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(198)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(199)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

(200)

y = F (x) Z

b

a

f (x)dx =

Z

b

a

dy

F (x)

a b

y₁

y₂

y₃

1.5 THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL

cours 5

1.5 THÉORÈME

FONDAMENTAL DU

CALCUL

Au dernier cours, nous avons vu

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

✓ Règles de sommation

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

✓ Règles de sommation

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

✓ Règles de sommation

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

✓ Règles de sommation

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Notation sigma

✓ Règles de sommation

✓ Induction

Au dernier cours, nous avons vu

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Les sommations suivantes

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Les sommations suivantes

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Les sommations suivantes

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Les sommations suivantes

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Les sommations suivantes

Aujourd’hui, nous allons voir

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Intégrale définie

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Intégrale définie

✓ Somme de Riemann

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Intégrale définie

✓ Somme de Riemann

✓ Théorème fondamental du calcul

Depuis le début de la session, on a vu qu’il semble y avoir un lien

entre somme, primitive et aire sous la courbe.

Depuis le début de la session, on a vu qu’il semble y avoir un lien entre somme, primitive et aire sous la courbe.

Nous expliciterons ce lien ici.

Définition On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

Définition On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

Définition

On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

Définition

On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

Définition

Aire positive

On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

Définition

Aire positive

Aire négative

On nomme l’aire signée entre une fonction et l’axe

des et entre et , l’intégrale définie de

et on la note.

Remarque:

Pour que l’intégrale définie ait un sens, il faut que

la fonction soit continue sur l’intervalle.

Remarque:

Pour que l’intégrale définie ait un sens, il faut que la fonction soit continue sur l’intervalle.

Outre la notation et le nom, l’intégrale indéfinie et l’intégrale définie

✓ ^Induction

Exemple _Calculer

Exemple _Calculer

Exemple _Calculer