Calcul intégral
Dans tout le chapitre, F et G sont des primitives respectivement de f et g sur un intervalle I . a et b sont deux points de I .
I. Intégrale d'une fonction positive.
Définitions :
• Dans un repère orthogonal (O ; I , J), on appelle unité d'aire l'aire du rectangle de côtés [OI] et [OJ].
• Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I =[a ; b] et c sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; I , J).
On appelle intégrale de f entre a et b l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation x = a et x = b, exprimée en unités d'aires.
On le note
∫
a b
f (x)dx.
Remarque :
Dans la notation, la variable est dite « muette » donc
∫
a b
f(x)dx =
∫
a b
f (y)dy , par exemple.
Exemple : Estimation de
∫
0 1
x2dx :
II. Intégrale d'une fonction continue.
Définition :
Le nombre F(b)−F(a), indépendant du choix de F, est appelé intégrale de a à b de f . On le note
∫
a b
f (x)dx=F(b)−F(a).
Propriétés :
•
∫
a a
f(x)dx=0
•
∫
a b
f(x)dx = -
∫
b a
f (x)dx
•
∫
a b
λ f(x)dx=λ
∫
a b
f(x)dx où λ est un réel
•
∫
a b
[f (x)+g(x)]dx=
∫
a b
f(x)dx+
∫
a b
g(x)dx
• Relation de Chasles Si b∈[a ;c] , alors
∫
a c
f (x)dx=
∫
a b
f(x)dx+
∫
b c
f(x)dx
• Si, pour tout x∈[a ; b] , on a f(x)⩾0 , alors
∫
a b
f(x)dx⩾0
• Si, pour tout x∈[a ; b] , on a f(x)⩽g(x), alors
∫
a bf(x)dx⩽
∫
a b
g(x)dx.
}
Remarque :
La réciproque de la positivité n'est pas forcément vraie, on peut avoir
∫
a b
f(x)dx⩾0 sans avoir f positive sur [ a ; b ].
∫
0 3
(2x−1)dx=[x2−x]03=6 . Donc
∫
0 3
(2x−1)dx⩾0 . Cependant, la fonction x 2x – 1 n'est pas positive sur [ 0;3 ] .
III. Applications.
1. Aires.
Définitions :
Si f est une fonction positive sur [ a ; b ], alors
∫
a b
f (x)dx est égal à l'aire du domaine compris entre la courbe de f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b exprimé en unité d'aire. (U.A.)
linéarité de l'intégrale
Inégalité Positivité
Si f est une fonction négative sur [ a ; b ], alors −
∫
a b
f (x)dx est égale à l'aire du domaine compris entre la courbe de – f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b.
Dans ce cas, A=
∫
a b
[−f(x)]dx.
Remarque : Aire d'une fonction quelconque ; découpage d'aire
Pour calculer l'aire d'un domaine définie par une fonction changeant de signe, il faut découper l'intervalle en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant.
Exemple :
On considère la fonction f définie sur [ 0 ; 2 ] par f(x) = x3 – x2. On veut déterminer l'aire de la partie grisée.
f est négative sur l'intervalle [ 0 ; 1 ]. Pour calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 0 et x = 1, il suffit de calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de – f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 0 et x = 1.
Ensuite, on calcule l'aire du domaine compris entre la courbe de f , l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 1 et x = 2.
a = –
∫
0 1
f (x)dx +
∫
1 2
f (x)dx = – [x4
4−x3
3 ]01 + [x4 4−x3
3 ]12 = – 1
4 + 1
3 + 4 – 8 3 – 1
4 + 1 3 = 2 – 1
2 = 3
2 u.a.
2. Valeur moyenne de f . Définition :
Soit f une fonction continue sur [ a ; b ]. On appelle valeur moyenne de f sur [ a ; b ] le nombre réel μf
défini par μf= 1 b−a
∫
a b
f(x)dx.
Interprétation graphique :
La droite d'équation y=μf est la droite horizontale telle l'aire des parties de plan délimitées par l'axe des abscisses, les droites d'équation x=a et x=b d'une part et les courbes d'équation y=f(x) et y=μf
soient de même valeur.
Exemple :
La valeur moyenne sur [ 1 ; 2 ] de la fonction f(x) = x3 – x2 est : μf= 1
2−1
∫
1 2
f(x)dx = [x4 4−x3
3 ]12 = 4 – 8 3 – 1
4 + 1 3 = 17
12 .
Exercices à faire :
• Ex 1, 3, 4, 5, 6 et 9 p 160 ;
• Ex 11, 12 14 et 17 p 161 ;
• Ex 25 et 27 p 162 ;
• Ex 31 et 32 p 163 ;
• Ex 45 p 168.
