07/10/2005 Terminale ES 2 M.WEISLINGER
FICHE M ´ETHODE : ´ETUDIER LE SIGNE D’UNE FONCTION
• L’OBJECTIF :
En Math´ematiques, on est souvent amen´e `a ´etudier le signe d’une expression. Cela peut se produire lors de l’´etude des variations d’une fonction(car le signe de la d´eriv´ee donne le sens de variation de la fonction). Cela peut ´egalement se produire lors de l’´etude de la position d’une courbe par rapport `a une autre. Ou, tout simplement, pour ´etablir certaines in´egalit´es.
Le probl`eme de l’´etude du signe, c’est que, suivant la nature de l’expression, la strat´egie n’est pas toujours la mˆeme.
Tantˆot, le signe est imm´ediat,tantˆot on proc`ede `a une factorisation puis on dresse un tableau de signes, tantˆot on peut obtenir le signe en manipulant des in´egalit´es. L’objectif de cette fiche m´ethode est de vous pr´esenter ces diff´erentes strat´egies possibles.
• LES BASES :
1. Si l’expression est une somme de plusieurs termeson ne peut conclure rapidement que si ceux-ci ont le mˆeme signe:
– Par exemple le signe def(x) = 5 + (x−1)2 est imm´ediat car 5>0 et (x−1)2>0 doncf(x)>0 pour toutx. – Pour le signe def(x) = 1− 4
x2 on ne peut pas conclure rapidement il faut transformer l’´ecriture def(x).
2. Dans les tous les autres cas pour ´etudier le signe d’une expressionE(x) il faut en g´en´eral suivre les ´etapes suivantes1: (a) R´eduireE(x) au mˆeme d´enominateur .
(b) FactoriserE(x) autant que n´ecessaire.
(c) Etudier le signe de chacun des facteurs (aussi bien au num´erateur qu’au d´enominateur).
(d) Faire figurer tous ces signes dans un tableau (Ne pas oublier les ´eventuelles valeurs interdites dans le tableau.) (e) Indiquer le signe deE(x) dans la derni`ere ligne du tableau en appliquantles r`egles de signe d’un produit
ou d’un quotient.
(f) Conclure en ´enon¸cant le signe .
• UN EXEMPLE SIMPLE POUR COMPRENDRE : Etudions le signe def(x) = 4x+x2
x+ 1 −x2 d´efinie pour toutx6= -1.
R´eduisonsf(x) au mˆeme d´enominateur :f(x) =4x+x2
x+ 1 −x2(x+ 1) x+ 1 Simplifions :f(x) = 4x−x3
x+ 1 Factorisons :f(x) =x(4−x2)
x+ 1 =x(2−x)(2 +x) x+ 1 Dressons un tableau de signe :
x −∞ −2 −1 0 2 +∞ justifications
x − | − | − 0 + | +
2−x + | + | + | + 0 − 2−x>0⇔x62
2 +x − 0 + | + | + | + 2 +x>0⇔x>−2
x+ 1 − | − 0 + | + | + x+ 1>0⇔x>−1
f(x) − 0 + || − 0 + 0 −
conclusion :
. f(x)>0 pour toutx∈]−2;−1[∪]0; 2[
. f(x)<0 pour toutx∈]− ∞;−2[∪]−1; 0[∪]2; +∞[.
. f(x) = 0 pourx∈ {−2; 0; 2}.
• DES EXERCICES POUR S’ENTRAˆINER :
Exercice 1 :cas o`u le signe est imm´ediatement visible (ou presque !) Soitf la fonction d´efinie, surRpar :f(x) = (x2−7)3.
D´eterminer le sens de variation de la fonctionf.
Exercice 2 :cas o`u l’on dresse un tableau de signe ( la m´ethode la plus courante en ES) Soitf la fonction d´efinie parf(x) = −2
2−2x etgla fonction d´efinie parg(x) = 2 1−2x. 1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition def puis celui deg.
2. R´esoudre l’inequation :f(x)>g(x) 3. Interpr´eter ce r´esultat graphiquement.
Exercice 3 :cas o`u l’on peut manipuler directement des in´egalit´es ou faire un tableau de signe Soitgla fonction d´efinie sur [1; +∞[ parg(x) = 1,1x+1
x. Etudier les variations de´ gsur [1; +∞[ . (BAC ES 2001) Exercice 4 :cas o`u l’on peut manipuler directement des in´egalit´es Soithla fonction d´efinie sur ]2; +∞[ parh(x) = 18−2(x+ 1)2. D´emontrer queg(x)<0 pour toutx >2.
1En fait le signe d’un produit ou d’un quotient est plus simple `a ´etudier que celui d’une somme en g´en´eral.
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