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Cours : tableau de signe d\'une fonction

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Signe de ax + b Premières Applications

Objectifs

L’étude des fonctions est un point central des programmes au lycée, quelque soit votre section.

L’objectif sera, l’année prochaine, de déterminer les variations d’une fonction juste par des méthodes algébriques (aucune lecture graphique !).

L’étude du signe d’une fonction s’inscrit dans cette optique : à l’aide du signe de ax + b, nous allons être capable de déterminer le signe de la plupart des fonctions rencontrées au lycée…

A plus court terme, l’étude du signe d’une fonction permettra par exemple de savoir lorsqu’une entreprise est rentable ou lorsqu’elle produit à perte (si la fonction étudiée représente le bénéfice d’une entreprise).

(2)

I – Signe d’une fonction affine

f désigne une fonction affine d’équation f(x) = ax + b avec a non nul (son signe est sinon évident). Le résultat fondamental est le suivant.

Je vous conseille de ne pas l’apprendre (!) mais de savoir le retrouver, à l’aide de la remarque qui suivra…

Propriété I-1.

Lorsque b est non nul, le tableau de signe de f(x) = ax + b est donné par :

Nous allons voir comment se souvenir de ce résultat sans l’apprendre, l’objectif étant de pouvoir le retrouver même dans plusieurs semaines, tant il est important.

f(x) = ax + b est une fonction affine, donc elle est représentée par une droite (non verticale).

Il est connu que « pour a > 0, la droite monte » et « pour a < 0, la droite descend ».

x -

b

a

+

ax +b signe de - a 0 signe de a

Note

Tous les exercices ou les démonstrations des

propriétés de ce chapitre se trouvent à la

fin de ce document.

Pour a > 0

La droite monte, donc f passe forcément des nombres négatifs aux nombres positifs.

-

0

+

Pour a < 0

La droite descend, donc f passe forcément des nombres positifs aux nombres négatifs.

-

0

+

(3)

II – Applications

Le point fondamental ici est la règle des signes connue depuis longtemps :

« + par + = + », « - par - = - « et « + par - = - »

Par exemple, pour déterminer le signe de la fonction f x( )= −

(

1 2x

)(

3x+1

)

, il suffira de dresser un tableau de signes des termes 1-2x et 3x+1.

Pour déterminer le signe de la fonction f x( )= +(x 1) 2

(

x+3

)(

− +4x 1

)

, il suffira de dresser un tableau de signes des termes x+1, 2x+3 et -4x+1.

La méthode sera la même pour les quotients : pour déterminer le signe, par exemple, de la fonction

(

(

)(

1)

)

( ) 2 3 4 1

f x x

x x

= +

+ − + , il suffira de dresser un tableau de signes des termes x+1, 2x+3 et -4x+1.

Exercice II-1.

1. Déterminer le tableau de signe de la fonction f x( )= −

(

1 2x

)(

3x+1

)

.

2. Résoudre l’inéquation g x( )≥0 où

(

(

)(

1)

)

( ) 2 3 4 1

g x x

x x

= +

+ − + . 3. Résoudre l’inéquation h x( )>0 où

2

4 2

( ) x

h x x

= + .

Exercice II-2.

1. Résoudre l’inéquation 1 4x 2>3

− .

2. Trouver tous les nombres supérieurs à leur inverse.

3. On cherche à résoudre l’inéquation (I) : 10 3 x+ ≥ x

a. Montrer que résoudre (I) est équivalent à résoudre

2 3 10

x x 0 x

+ − ≥ . b. Vérifier que x2+3x− =10

(

x2

)(

x+5

)

.

c. En déduire les solutions de (I).

(4)

Corrigé des exercices ou démonstrations

I – Signe d’une fonction affine

Démonstration propriété I-1.

1. Supposons que b soit non nul, et que a soit positif :

> 0 b

ax b ax b x

+ = ⇔ = − ⇔ = −a.

> 0 b

ax b ax b x

+ ≥ ⇔ ≥− ⇔ ≥−a car quand on divise par un nombre positif, le sens de l’inégalité ne change pas.

> le résultat est donc démontré pour b non nul, a > 0.

2. Supposons que b soit non nul, et que a soit négatif :

> 0 b

ax b ax b x

+ = ⇔ = − ⇔ = −a.

> 0 b

ax b ax b x

+ ≥ ⇔ ≥− ⇔ ≤−a car quand on divise par un nombre négatif, le sens de l’inégalité change.

> le résultat est donc démontré pour b non nul, a < 0.

II – Applications

Corrigé exercice II-1.

1. Soit f x( )= −

(

1 2x

)(

3x+1

)

: 1 2 0 1 2 1

x x 2 x

− = ⇔ = ⇔ = et 1

3 1 0 3 1

x+ = ⇔ x= − ⇔ = −x 3. On en déduit le tableau de signe de f :

Illustration graphique (pour vérifier)

x -

∞ 1

−3 1

2

+

-2x +1 + | + 0 -

3x + 1 - 0 + | +

f(x) - 0 + 0 -

(5)

2. Soit

(

(

)(

1)

)

( ) 2 3 4 1

g x x

x x

= +

+ − + : x+ = ⇔ = −1 0 x 1

2 3 0 2 3 3

x+ = ⇔ x= − ⇔ = −x 2 4 1 0 1 4 1

x x 4 x

− + = ⇔ = ⇔ = Ainsi, le tableau de signe de g est :

Attention aux valeurs interdites (double barre) : lorsque le dénominateur s’annule, g n’est pas définie (on ne sait pas diviser par 0).

Ainsi 3 1

( ) 0 ] ; [ [ 1; [

2 4

g x ≥ ⇔ ∈ − ∞ −x .

3. Soit

2

4 2 ( ) x

h x x

= + : 1

4 2 0 4 2

x+ = ⇔ x= − ⇔ = −x 2.

2 0 0

x = ⇔ =x : remarquons aussi qu’un carré est toujours positif ! On a alors :

x -

∞ 3

−2

-1

1

4

+

x + 1 - | - 0 + | + 2x + 3 - 0 + | + | + -4x + 1 + | + | + 0 - g(x) + || - 0 + || -

x -

∞ 1

−2

0 +

4x +2 - 0 + | +

x² + | + 0 +

h(x) - 0 + || +

(6)

Ainsi 1

( ) 0 ] ; 0[ [0; [ h x > ⇔ ∈ −x 2 +∞ . Exercice II-2.

1. Résoudre l’inéquation

1 3

4x 2>

.

2. Trouver tous les nombres supérieurs à leur inverse.

3. On cherche à résoudre l’inéquation (I) : 10

3 x+ ≥ x

a. Montrer que résoudre (I) est équivalent à résoudre

2 3 10

x x 0 x

+ − ≥ . b. Vérifier que x2+3x− =10

(

x2

)(

x+5

)

.

c. En déduire les solutions de (I).

Corrigé exercice II-2.

1. Pour résoudre une telle inéquation, il faut ramener l’un des deux membres à 0.

( )

3 4 2

1 1 1 12 3

3 3 0 0 0

4 2 4 2 4 2 4 2 4 2

x x

x x x x x

− +

> ⇔ − > ⇔ > ⇔ >

− − − − −

− − (1).

Notons 12 3

( ) 4 2 f x x

x

− +

= −

:

12 3 0 3 12 1

x x x 4

− + = ⇔ = ⇔ =

4 2 0 4 2 1

x− = ⇔ x= ⇔ =x 2

Ainsi :

Les solutions de (1) sont donc les nombres de ] ; [1 1

4 2 .

(en bleu, on a tracé y = 3, en rouge, 1 4 2 y= x

).

x -

∞ 1

4 1

2

+

-12x + 3 + 0 - | -

4x – 2 - | - 0 +

f(x) - 0 + || -

(7)

2. Les nombres x supérieurs à leur inverse sont solutions de

( )( )

2 1 1

1 1 1

0 x 0 x x 0

x x

x x x x

− +

≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥

Notons

(

1

)(

1

)

( ) x x

f x x

− +

=

:

Ainsi, tous les nombres supérieurs à leur inverse sont les réels de [ 1; 0[ [1;− +∞[.

(en rouge, on a tracé y = x, en bleu, 1 y= x

).

3. On cherche à résoudre l’inéquation (I) : 10 3 x+ ≥ x

a. 10 10

(

3

)

10 2 3 10

3 3 0 x x 0 x x 0

x x

x x x x x

+ + −

+ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ .

b. On a

(

x2

)(

x+ =5

)

x2+5x2x10=x2+3x10.

c. Par conséquent, 10

(

2

)(

5

)

3 x x 0

x x x

− +

+ ≥ ⇔ ≥

L’ensemble des solutions est donc [ 5; 0[ [2;− +∞[.

(en rouge, on a tracé y = x+3, en bleu, 10 y= x

).

x -

-1 0 1 +

x - 1 - | - | - 0 + x + 1 - 0 + | + | + x - | - 0 + | + f(x) - 0 + || - 0 +

x -

-5 0 2 +

x – 2 - | - | - 0 +

x + 5 - 0 + | + | +

x - | - 0 + | +

f(x) - 0 + || - 0 +

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