Inéquations et tableau de signe

Inéquations et tableau de signe

Seconde

1 Résoudre une inéquation

Résoudre un inéquation dans un ensemble de réels D, c’est trouver tous les éléments de l’ensemble D qui vérifient l’inéga- lité donnée. L’ensemble des solutions peut être : un ou une union d’intervalles ; l’ensemble vide∅ouRtout entier.

Définition 1

Exemple 1

(I1) : 2x+ 1<5−4x (I¹) ⇐⇒ 6x <4

(I¹) ⇐⇒ x < 2 3 S1=

−∞; 2 3

Exemple 2

(I²) : 2x+ 1<5 + 2x (I2) ⇐⇒ 0<4

S2=R

Exemple 3

(I³) : 2x²+ 1< x²+ 2x (I³) ⇐⇒ x²−2x+ 1<0 (I3) ⇐⇒ (x−1)²<0

or ∀x∈R, (x−1)²≥0

S3=∅

2 Étude du signe du binôme ax+b

Soit le binômeax+b, oùaetbsont des réels etfla fonction affine qui à tout réelxassocieax+b, de courbe représentativeC_f.

2.1 Cas trivial : Si a = 0

Dans le cas oùa= 0,f(x) =ax+b=best donc trivialement du signe deb.

2.2 Cas n˚2 : Si a > 0

Tableau de signe (aveca >0):

x signe deax+b

(a > 0)

−∞ −b

a +∞

− 0 +

− b

× a

C

x

variations def

−∞ −b +∞

a

0

2.3 Cas n˚3 : Si a < 0

Tableau de signe (aveca <0):

x signe deax+b

(a < 0)

−∞ −b

a +∞

+ 0 −

− b a

×

C

x

variations def

−∞ −b +∞

a

0

Seconde Inéquations et tableau de signe

3 Tableau de signes

Méthode: Pour étudier le signe d’une expression composée de produits ou de quotients de facteurs : 1. on détermine les valeurs interdites dans le cas d’un quotient ;

2. on étudie le signe de chaque facteur ;

3. on résume l’étude dans un tableau de signe et on conclut si on cherche à résoudre une inégalité.

Exemple: Étudions le signe de l’expression :f(x) = 2(2x+ 1)(1−3x) (x+ 5)(−4x) 1. Valeurs interdites

• x+ 56= 0soitx6=−5; • −4x6= 0soitx6= 0.

Les valeurs interdites sont donc−5 et 0donc l’étude de signe sera faite surR\ {−5 ; 0}

2. Étude du signe de chaque facteur

Les quatre types de rédactions proposée sont possibles. Cette partie peut être allégée en rappelant par exemple :

x signe deax+b

(aveca 6= 0)

−∞ −b

a +∞

Signe de(−a) 0 Signe dea

• Étude du signe de2x+ 1: 2x+ 1 = 0⇐⇒x= −1

2 et donc on a(2x+1)positif aprèsx= −1

2 et négatif avant.

• Étude du signe de1−3x: 1−3x= 0⇐⇒x=1

3 et donc

on a d’après le cours1−3x >0⇐⇒x < 1 3

• Étude du signe dex+ 5: x+ 5 = 0⇐⇒x=−5.

Donc(x+5)est positif six >5et négatif six <5.

• Étude du signe de−4x:

−4x >0⇐⇒x <0 et−4x= 0⇐⇒x= 0

3. Tableau de signes x

signe de2x + 1

signe de1 −3x

signe dex + 5

signe de−4x

signe de 2(2x+ 1)(1−3x) (x+ 5)(−4x)

−∞ −5 −1

2 0 1

3 +∞

− − 0 + + +

+ + + + 0 −

− 0 + + + +

+ + + 0 − −

+ − 0 + − 0 +

On a donc

f(x)>0⇐⇒x∈]−∞; −5[∪

−1 2 ; 0

∪ 1

3 ; +∞

et f(x) = 0⇐⇒x∈

−1 2 ; 1

3 Exemple 1

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